電磁感應“桿類模型”綜合

1、一、電磁感應中的動力學問題F=BIL界狀態(tài)v與a方向關(guān)系運動狀態(tài)的分析a變化情況F=ma合外力運動導體所受的安培力感應電流確定電源（E，r）這類問題覆蓋面廣，題型也多種多樣；但解決這類問題的關(guān)鍵在于通過運動狀態(tài)的分析來尋找過程中的臨界狀態(tài)，如速度、加速度取最大值或最小值的條件等，基本思路是： 【例1】 如圖所示，AB、CD是兩根足夠長的固定平行金屬導軌，兩導軌間的距離為L，導軌平面與水平面的夾角為，在整個導軌平面內(nèi)都有垂直于導軌平面斜向上方的勻強磁場，磁感應強度為B，在導軌的 AC端連接一個阻值為 R的電阻，一根質(zhì)量為m、垂直于導軌放置的金屬棒ab，從靜止開始沿導軌下滑，求此過程中ab棒的最大

2、速度。已知ab與導軌間的動摩擦因數(shù)為，導軌和金屬棒的電阻都不計。解析：ab沿導軌下滑過程中受四個力作用，即重力mg，支持力FN 、摩擦力Ff和安培力F安，如圖所示，ab由靜止開始下滑后，將是（為增大符號），所以這是個變加速過程，當加速度減到a=0時，其速度即增到最大v=vm，此時必將處于平衡狀態(tài)，以后將以vm勻速下滑ab下滑時因切割磁感線，要產(chǎn)生感應電動勢，根據(jù)電磁感應定律： E=BLv 閉合電路AC ba中將產(chǎn)生感應電流，根據(jù)閉合電路歐姆定律： I=E/R 據(jù)右手定則可判定感應電流方向為aAC ba，再據(jù)左手定則判斷它受的安培力F安方向如圖示，其大小為：F安=BIL 取平行和垂直導軌的兩個方

3、向?qū)b所受的力進行正交分解，應有： FN = mgcos Ff= mgcos由可得以ab為研究對象，根據(jù)牛頓第二定律應有：mgsin mgcos-=maab做加速度減小的變加速運動，當a=0時速度達最大因此，ab達到vm時應有：mgsin mgcos-=0 由式可解得注意：（1）電磁感應中的動態(tài)分析，是處理電磁感應問題的關(guān)鍵，要學會從動態(tài)分析的過程中來選擇是從動力學方面，還是從能量、動量方面來解決問題。（2）在分析運動導體的受力時，常畫出平面示意圖和物體受力圖。二、電磁感應中的能量、動量問題無論是使閉合回路的磁通量發(fā)生變化，還是使閉合回路的部分導體切割磁感線，都要消耗其它形式的能量，轉(zhuǎn)化為回

4、路中的電能。這個過程不僅體現(xiàn)了能量的轉(zhuǎn)化，而且保持守恒，使我們進一步認識包含電和磁在內(nèi)的能量的轉(zhuǎn)化和守恒定律的普遍性。分析問題時，應當牢牢抓住能量守恒這一基本規(guī)律，分析清楚有哪些力做功，就可知道有哪些形式的能量參與了相互轉(zhuǎn)化，如有摩擦力做功，必然有內(nèi)能出現(xiàn)；重力做功，就可能有機械能參與轉(zhuǎn)化；安培力做負功就將其它形式能轉(zhuǎn)化為電能，做正功將電能轉(zhuǎn)化為其它形式的能；然后利用能量守恒列出方程求解?！纠?】如圖所示，兩根間距為l的光滑金屬導軌（不計電阻），由一段圓弧部分與一段無限長的水平段部分組成。其水平段加有豎直向下方向的勻強磁場，其磁感應強度為B，導軌水平段上靜止放置一金屬棒cd，質(zhì)量為2m。，電阻

5、為2r。另一質(zhì)量為m，電阻為r的金屬棒ab，從圓弧段M處由靜止釋放下滑至N處進入水平段，圓弧段MN半徑為R，所對圓心角為60°，求：（1）ab棒在N處進入磁場區(qū)速度多大？此時棒中電流是多少？（2）ab棒能達到的最大速度是多大？（3）ab棒由靜止到達最大速度過程中，系統(tǒng)所能釋放的熱量是多少？解析：（1）ab棒由靜止從M滑下到N的過程中，只有重力做功，機械能守恒，所以到N處速度可求，進而可求ab棒切割磁感線時產(chǎn)生的感應電動勢和回路中的感應電流。ab棒由M下滑到N過程中，機械能守恒，故有： 解得進入磁場區(qū)瞬間，回路中電流強度為 （2）設ab棒與cd棒所受安培力的大小為F，安培力作用時間為

6、t，ab 棒在安培力作用下做減速運動，cd棒在安培力作用下做加速運動，當兩棒速度達到相同速度v時，電路中電流為零，安培力為零，cd達到最大速度。運用動量守恒定律得 解得 （3）系統(tǒng)釋放熱量應等于系統(tǒng)機械能減少量，故有 解得三、綜合例析（一）電磁感應中的“雙桿問題” 電磁感應中“雙桿問題”是學科內(nèi)部綜合的問題，涉及到電磁感應、安培力、牛頓運動定律和動量定理、動量守恒定律及能量守恒定律等。要求學生綜合上述知識，認識題目所給的物理情景，找出物理量之間的關(guān)系，因此是較難的一類問題，也是近幾年高考考察的熱點?？碱}回顧【例3】（2003年全國理綜卷）如圖所示，兩根平行的金屬導軌，固定在同一水平面上，磁感應

7、強度B=0.50T的勻強磁場與導軌所在平面垂直，導軌的電阻很小，可忽略不計。導軌間的距離l=0.20m。兩根質(zhì)量均為m=0.10kg的平行金屬桿甲、乙可在導軌上無摩擦地滑動，滑動過程中與導軌保持垂直，每根金屬桿的電阻為R=0.50。在t=0時刻，兩桿都處于靜止狀態(tài)?，F(xiàn)有一與導軌平行、大小為0.20N的恒力F作用于金屬桿甲上，使金屬桿在導軌上滑動。經(jīng)過t=5.0s，金屬桿甲的加速度為a=1.37m/s2，問此時兩金屬桿的速度各為多少？乙 甲F解析：設任一時刻t兩金屬桿甲、乙之間的距離為x，速度分別為v1和v2，經(jīng)過很短的時間t，桿甲移動距離v1t，桿乙移動距離v2t，回路面積改變由法拉第電磁感應

8、定律，回路中的感應電動勢回路中的電流 桿甲的運動方程由于作用于桿甲和桿乙的安培力總是大小相等，方向相反，所以兩桿的動量時為0）等于外力F的沖量聯(lián)立以上各式解得 代入數(shù)據(jù)得點評：題中感應電動勢的計算也可以直接利用導體切割磁感線時產(chǎn)生的感應電動勢公式和右手定則求解：設甲、乙速度分別為v1和v2，兩桿切割磁感線產(chǎn)生的感應電動勢分別為E1Blv1 ，E2Blv2 由右手定則知兩電動勢方向相反，故總電動勢為EE2E1Bl（v2v1）。分析甲、乙兩桿的運動，還可以求出甲、乙兩桿的最大速度差：開始時，金屬桿甲在恒力F作用下做加速運動，回路中產(chǎn)生感應電流，金屬桿乙在安培力作用下也將做加速運動，但此時甲的加速度

9、肯定大于乙的加速度，因此甲、乙的速度差將增大。根據(jù)法拉第電磁感應定律，感應電流將增大，同時甲、乙兩桿所受安培力增大，導致乙的加速度增大，甲的加速度減小。但只要a甲>a乙，甲、乙的速度差就會繼續(xù)增大，所以當甲、乙兩桿的加速度相等時，速度差最大。此后，甲、乙兩桿做加速度相等的勻加速直線運動。設金屬桿甲、乙的共同加速度為a，回路中感應電流最大值Im.對系統(tǒng)和乙桿分別應用牛頓第二定律有：F=2ma；BLIm=ma.由閉合電路敬歐姆定律有E=2ImR，而由以上各式可解得【例4】（2004年全國理綜卷）圖中a1b1c1d1和a2b2c2d2為在同一豎直平面內(nèi)的金屬導軌，處在磁感應強度為B的勻強磁場中

10、，磁場方向垂直于導軌所在平面（紙面）向里。導軌的a1b1段與a2b2段是豎直的，距離為l1；c1d1段與c2d2段也是豎直的，距離為l2。x1 y1與x2 y2為兩根用不可伸長的絕緣輕線相連的金屬細桿，質(zhì)量分別為和m1和m2，它們都垂直于導軌并與導軌保持光滑接觸。兩桿與導軌構(gòu)成的回路的總電阻為R。F為作用于金屬桿x1y1上的豎直向上的恒力。已知兩桿運動到圖示位置時，已勻速向上運動，求此時作用于兩桿的重力的功率的大小和回路電阻上的熱功率。解析：設桿向上的速度為v，因桿的運動，兩桿與導軌構(gòu)成的回路的面積減少，從而磁通量也減少。由法拉第電磁感應定律，回路中的感應電動勢的大小 回路中的電流 電流沿順時

11、針方向。兩金屬桿都要受到安培力作用，作用于桿x1y1的安培力為 方向向上，作用于桿x2y2的安培力為 方向向下，當桿作勻速運動時，根據(jù)牛頓第二定律有 解以上各式得 作用于兩桿的重力的功率的大小 電阻上的熱功率 由式，可得 下面對“雙桿”類問題進行分類例析1、“雙桿”向相反方向做勻速運動當兩桿分別向相反方向運動時，相當于兩個電池正向串聯(lián)。vv【例5】兩根相距d=0.20m的平行金屬長導軌固定在同一水平面內(nèi)，并處于豎直方向的勻強磁場中，磁場的磁感應強度B=0.2T，導軌上面橫放著兩條金屬細桿，構(gòu)成矩形回路，每條金屬細桿的電阻為r=0.25，回路中其余部分的電阻可不計.已知兩金屬細桿在平行于導軌的拉

12、力的作用下沿導軌朝相反方向勻速平移，速度大小都是v=5.0m/s，如圖所示.不計導軌上的摩擦.（1）求作用于每條金屬細桿的拉力的大小.（2）求兩金屬細桿在間距增加0.40m的滑動過程中共產(chǎn)生的熱量.解析：（1）當兩金屬桿都以速度v勻速滑動時，每條金屬桿中產(chǎn)生的感應電動勢分別為： E1=E2=Bdv由閉合電路的歐姆定律，回路中的電流強度大小為：因拉力與安培力平衡，作用于每根金屬桿的拉力的大小為F1=F2=IBd。由以上各式并代入數(shù)據(jù)得N（2）設兩金屬桿之間增加的距離為L，則兩金屬桿共產(chǎn)生的熱量為，代入數(shù)據(jù)得Q=1.28×10-2J.2.“雙桿”同向運動，但一桿加速另一桿減速當兩桿分別沿

13、相同方向運動時，相當于兩個電池反向串聯(lián)。Bv0Lacdb【例6】兩根足夠長的固定的平行金屬導軌位于同一水平面內(nèi)，兩導軌間的距離為L。導軌上面橫放著兩根導體棒ab和cd，構(gòu)成矩形回路，如圖所示兩根導體棒的質(zhì)量皆為m，電阻皆為R，回路中其余部分的電阻可不計在整個導軌平面內(nèi)都有豎直向上的勻強磁場，磁感應強度為B設兩導體棒均可沿導軌無摩擦地滑行開始時，棒cd靜止，棒ab有指向棒cd的初速度v0若兩導體棒在運動中始終不接觸，求：（1）在運動中產(chǎn)生的焦耳熱最多是多少（2）當ab棒的速度變?yōu)槌跛俣鹊?/4時，cd棒的加速度是多少？解析：ab棒向cd棒運動時，兩棒和導軌構(gòu)成的回路面積變小，磁通量發(fā)生變化，于是

14、產(chǎn)生感應電流ab棒受到與運動方向相反的安培力作用作減速運動，cd棒則在安培力作用下作加速運動在ab棒的速度大于cd棒的速度時，回路總有感應電流，ab棒繼續(xù)減速，cd棒繼續(xù)加速兩棒速度達到相同后，回路面積保持不變，磁通量不變化，不產(chǎn)生感應電流，兩棒以相同的速度v作勻速運動（1）從初始至兩棒達到速度相同的過程中，兩棒總動量守恒，有根據(jù)能量守恒，整個過程中產(chǎn)生的總熱量 （2）設ab棒的速度變?yōu)槌跛俣鹊?/4時，cd棒的速度為v1，則由動量守恒可知：此時回路中的感應電動勢和感應電流分別為：，此時棒所受的安培力： ，所以棒的加速度為 由以上各式，可得。3. “雙桿”中兩桿都做同方向上的加速運動?！半p桿”

15、中的一桿在外力作用下做加速運動，另一桿在安培力作用下做加速運動，最終兩桿以同樣加速度做勻加速直線運動。如【例3】（2003年全國理綜卷）4“雙桿”在不等寬導軌上同向運動。“雙桿”在不等寬導軌上同向運動時，兩桿所受的安培力不等大反向，所以不能利用動量守恒定律解題。如【例4】（2004年全國理綜卷）（二）電磁感應中的一個重要推論安培力的沖量公式感應電流通過直導線時，直導線在磁場中要受到安培力的作用，當導線與磁場垂直時，安培力的大小為F=BLI。在時間t內(nèi)安培力的沖量，式中q是通過導體截面的電量。利用該公式解答問題十分簡便，下面舉例說明這一點?！纠?】如圖所示，在光滑的水平面上，有一垂直向下的勻強磁

16、場分布在寬為L的區(qū)域內(nèi)，有一個邊長為a（a<L）的正方形閉合線圈以初速v0垂直磁場邊界滑過磁場后速度變?yōu)関（v<v0）那么LaaA完全進入磁場中時線圈的速度大于（v0+v）/2；B安全進入磁場中時線圈的速度等于（v0+v）/2；C完全進入磁場中時線圈的速度小于（v0+v）/2；D以上情況A、B均有可能，而C是不可能的解析：設線圈完全進入磁場中時的速度為vx。線圈在穿過磁場的過程中所受合外力為安培力。對于線圈進入磁場的過程，據(jù)動量定理可得：對于線圈穿出磁場的過程，據(jù)動量定理可得： 由上述二式可得，即B選項正確?！纠?】光滑U型金屬框架寬為L，足夠長，其上放一質(zhì)量為m的金屬棒ab，左端

17、連接有一電容為C的電容器，現(xiàn)給棒一個初速v0，使棒始終垂直框架并沿框架運動，如圖所示。求導體棒的最終速度。abCv0解析：當金屬棒ab做切割磁力線運動時，要產(chǎn)生感應電動勢，這樣，電容器C將被充電，ab棒中有充電電流存在，ab棒受到安培力的作用而減速，當ab棒以穩(wěn)定速度v勻速運動時，有：BLv=UC=q/C而對導體棒ab利用動量定理可得：-BLq=mv-mv0 由上述二式可求得： 四、針對練習habB1如圖所示，金屬桿a在離地h高處從靜止開始沿弧形軌道下滑，導軌平行的水平部分有豎直向上的勻強磁場B，水平部分導軌上原來放有一金屬桿b.已知桿的質(zhì)量為ma，且與b桿的質(zhì)量比為mamb=3，水平導軌足夠

18、長，不計摩擦，求：（1）a和b的最終速度分別是多大？（2）整個過程中回路釋放的電能是多少？aa/bb/dd/cc/efgh（3）若已知a、b桿的電阻之比RaRb=34，其余電阻不計，整個過程中a、b上產(chǎn)生的熱量分別是多少？2如圖所示，abcd和a/b/c/d/為水平放置的光滑平行導軌，區(qū)域內(nèi)充滿方向豎直向上的勻強磁場。ab、a/b/間的寬度是cd、c/d/間寬度的2倍。設導軌足夠長，導體棒ef的質(zhì)量是棒gh的質(zhì)量的2倍?，F(xiàn)給導體棒ef一個初速度v0，沿導軌向左運動，當兩棒的速度穩(wěn)定時，兩棒的速度分別是多少？3如圖，甲、乙兩個完全相同的線圈，在距地面同一高度處由靜止開始釋放，A、B是邊界范圍、磁

19、感應強度的大小和方向均完全相同的勻強磁場，只是A的區(qū)域比B的區(qū)域離地面高一些，兩線圈下落時始終保持線圈平面與磁場垂直，則（ ）A. 甲先落地。B. 乙先落地。C. 二者同時落地。D. 無法確定。baR× × × ×× × × ×4 水平放置的平行金屬框架寬L=0.2m，質(zhì)量為m=0.1kg的金屬棒ab放在框架上，并且與框架的兩條邊垂直。整個裝置放在磁感應強度B=0.5T，方向垂直框架平面的勻強磁場中，如圖所示。金屬棒ab在F=2N的水平向右的恒力作用下由靜止開始運動。電路中除R=0.05外，其余電阻、摩擦阻力均不考

20、慮。試求當金屬棒ab達到最大速度后，撤去外力F，此后感應電流還能產(chǎn)生的熱量。（設框架足夠長）5如圖所示位于豎直平面的正方形平面導線框abcd，邊長為L=10cm，線框質(zhì)量為m=0.1kg，電阻為R=0.5，其下方有一勻強磁場區(qū)域，該區(qū)域上、下兩邊界間的距離為H（ H> L），磁場的磁感應強度為B=5T，方向與線框平面垂直。今線框從距磁場上邊界h=30cm處自由下落，已知線框的dc邊進入磁場后，ab 邊到達上邊界之前的某一時刻線框的速度已達到這一階段的最大值，問從線框開始下落到dc邊剛剛到達磁場下邊界的過程中，磁場作用于線框的安培力做的總功是多少？（g=10m/s2） v06如圖所示，在勻

21、強磁場區(qū)域內(nèi)與B垂直的平面中有兩根足夠長的固定金屬平行導軌，在它們上面橫放兩根平行導體棒構(gòu)成矩形回路，長度為L，質(zhì)量為m，電阻為R，回路部分導軌電阻可忽略，棒與導軌無摩擦，不計重力和電磁輻射，且開始時圖中左側(cè)導體棒靜止，右側(cè)導體棒具有向右的初速v0，試求兩棒之間距離增長量x的上限。7如圖所示，電動機牽引一根原來靜止的、長L為1m、質(zhì)量m為0.1kg的導體棒MN上升，導體棒的電阻R為1，架在豎直放置的框架上，它們處于磁感應強度B為1T的勻強磁場中，磁場方向與框架平面垂直。當導體棒上升h=3.8m時，獲得穩(wěn)定的速度，導體棒上產(chǎn)生的熱量為2J，電動機牽引棒時，電壓表、電流表的讀數(shù)分別為7V、1A，電

22、動機內(nèi)阻r為1，不計框架電阻及一切摩擦，求：（1）棒能達到的穩(wěn)定速度；（2）棒從靜止至達到穩(wěn)定速度所需要的時間。參考答案：1（1）va=vb=（2）E= magh（3）Qa=E=magh ， Q b=E=magh2解析：當兩棒的速度穩(wěn)定時，回路中的感應電流為零，設導體棒ef的速度減小到v1， 導體棒gh的速度增大到v2，則有2BLv1-BLv2=0，即v2=2v1。對導體棒ef由動量定理得：對導體棒gh由動量定理得：由以上各式可得：3解析：先比較甲、乙線圈落地速度的大小。乙進入磁場時的速度較大，則安培力較大，克服安培力做功較多，即產(chǎn)生的焦耳熱較多。由能量守恒定律可知，乙線圈落地速度較小。線圈穿過磁場區(qū)域時受到的安培力為變力，設受到的平均安培力為F，穿過磁場時間為，下落全過程時間為，落地時的速度為v，則全過程由動量定理得=。而