上半連續(xù)和下半連續(xù)教案

1、函數(shù)的上、下半連續(xù)性一、上、下半連續(xù)性的定義設(shè)函數(shù)在集合上有定義，為的一個聚點。在處連續(xù)，用語言描述，即：當時，有 若將此條件減弱，在不等式中，只使用其中的一個不等式，那么就得到半連續(xù)。定義 設(shè)在及其附近有定義，所謂在處上半連續(xù)，是指：當時，恒有。在處下半連續(xù)，是指：當時，恒有。推論 在及其附近有定義，則在處連續(xù)的充要條件是，在處既上半連續(xù)又下半連續(xù)。例1 函數(shù) 在有理點處上半連續(xù)，但不下半連續(xù)。 在無理點的情況恰恰相反。 例2 考慮函數(shù)。 當時，跟的結(jié)論一樣， 當時，跟的結(jié)論相反， 當時，既上半連續(xù)又下半連續(xù)，因而在處連續(xù)。例3 函數(shù) 在無理點處既上半連續(xù)又下半連續(xù)。 在有理點處上半連續(xù)，但

2、不下半連續(xù)。二、上、下半連續(xù)性的等價描述 定理1 設(shè)在集合上有定義，為的一個聚點且。則如下斷言等價：、在處上半連續(xù)（即：當時，恒有）、，必有證明：明顯，因當時，有 對上式取極限，并注意的任意性，即得。由 ，直接可得。 （用反證法）設(shè)在處不上半連續(xù)，則，使得。這與已知條件矛盾。 當且僅當集合中處處上（下）半連續(xù)時稱在中上（下）半連續(xù)。定理2 設(shè)為閉集，在上有定義，則在中上半連續(xù)的充要條件是：，集合為閉集。證明 必要性 為了證明為閉集，即要證明，必有，此時，而為閉集，所以。要證，只要證。事實上，由知，從而有。因在上半連續(xù)，根據(jù)定理1有 充分性（反證法）若不在中上半連續(xù)，則至少存在一點，在不上半連續(xù)

3、，即 ，但。取數(shù)，使，于是根據(jù)的定義 但（當），為閉集，應(yīng)有矛盾，證畢。注（1）上半連續(xù)與下半連續(xù)是對偶的概念。一方有什么結(jié)論，另一方也有相應(yīng)的結(jié)論。定理2的對偶結(jié)論留給學生做為習題。 （2）定理2給出了半連續(xù)的又一等價形式，其中未用語言，只用了閉集的概念。這為半連續(xù)推廣到一般拓撲空間，作了準備。三、上、下半連續(xù)的性質(zhì)1、運算性質(zhì)定理3（1）若在，函數(shù),上、下半連續(xù)，則它們的和亦在中上、下半連續(xù)。 （2）若在上上下半連續(xù)，則-在中為下、上半連續(xù)。 （3）若在上，函數(shù)及，且上半連續(xù)（或及，且下半連續(xù)）則它們的積·在上為上半連續(xù)。若上、下半連續(xù)，為下（上）半連續(xù)，則·下（上）半

4、連續(xù)。 （4）若在上，上（下）半連續(xù)，則在上為下（上）半連續(xù)。這里只對（1）中上半連續(xù)的情況進行證明，證法1 （利用半連續(xù)的定義）因,上半連續(xù)，當時有 所以 故 在上上半連續(xù)。證法2 （利用上半連續(xù)的等價描述）因,在中上半連續(xù)，有（定理1）但 故在中上半連續(xù)。2、保號性 上半連續(xù)函數(shù)有局部保負性（即：若在處上半連續(xù)，則，使得時有）。同樣，下半連續(xù)函數(shù)有局部保正性，這些由定義直接可得。3、無介值性 半連續(xù)函數(shù)，介值定理不成立。例如： 在上是上半連續(xù)的，但，無使得=。4、關(guān)于的界定理4 有界閉區(qū)間上的上半連續(xù)函數(shù)，必有上界，且達到上確界，具體來說，若在上上半連續(xù)，則（1）在上有上界（使）。（2）在

5、上達到上確界（即使得）證明 先證明（1）（反證法）若無界，則，使得由致密性原理，在中存在收斂的子序列，使（當）。因為閉的，故，但，當時，所以 。但在上上半連續(xù)，應(yīng)有，故=+矛盾。下證（2）因上有界，若在上達不到上確界，則所以在上上半連續(xù)（定理3），從而有上界，即使有 即： 這與矛盾。 證法2 利用有限覆蓋定理進行證明。 思考題：對于下半連續(xù)相應(yīng)的定理如何敘述？若把閉區(qū)間改為任意的閉集合，結(jié)論是否正確。 事實上，上面的定理4可做如下推廣。定理：假定為緊集，是上半連續(xù)的，則在上必有最大值。證明：因是上半連續(xù)的實值函數(shù)故，必在的某一鄰域內(nèi)有上界，故，必在的某一鄰域內(nèi)有上確界，設(shè)在的鄰域內(nèi)的上確界為構(gòu)

6、造鄰域簇 ，顯然 而由條件為緊集，故存在自然數(shù)使得： 用分別表示在中的上確界，其中令 顯然必為在上的最大值。定理5 若函數(shù)在內(nèi)半連續(xù)，則必存在內(nèi)閉區(qū)間，使在上保持有界。證：以下半連續(xù)為例進行證明。設(shè)在內(nèi)下半連續(xù)，來證使得在上有界，用反證法，設(shè)，總在上無上界，于是：1、使得，因下半連續(xù)，故（不妨令），使得且有2、因在任何內(nèi)閉區(qū)間上無上界，所以對，使得進而由的下半連續(xù)性，知（不妨令）使得時，有。3、如此繼續(xù)下去，我們得到一串閉區(qū)間：，區(qū)間長（當時）且在每個區(qū)間上，恒有。 4、根據(jù)區(qū)間套定理。因此，矛盾。我們已經(jīng)知道，連續(xù)函數(shù)單調(diào)序列的極限不一定是連續(xù)的。例如在上連續(xù)，當增加時單調(diào)下降有極限但極限函

7、數(shù)在上不連續(xù)。定理6（保半連續(xù)性）設(shè)函數(shù)在上有定義，且上半連續(xù)，即： 且。則在上上半連續(xù)。證明（我們的任務(wù)在于證明：，當時有）1、，因，所以，當時有2 、 將固定，因在上上半連續(xù)，所以，當時有。3、 又 ，故更有 這就證明了在上上半連續(xù)。下面，我們提出相反的問題：是否半連續(xù)函數(shù)一定可以作為連續(xù)函數(shù)的單調(diào)極限呢？回答是肯定的。定理7 設(shè)在上有定義，且上半連續(xù)，則存在一個遞減的連續(xù)函數(shù)序列 使得 （即：上半連續(xù)函數(shù)，總可用連續(xù)函數(shù)從上方逼近）證明首先構(gòu)造函數(shù)序列，然后證明連續(xù)，有下界，從而，然后證明。 1、 構(gòu)造（）對于固定的與，函數(shù)是的連續(xù)函數(shù)，所以上半連續(xù)，已知是上半連續(xù)的，是的上半連續(xù)函數(shù)（定理3），從而在上有上界，且達到上確界（定理4），即使得 （1）（注意實際與有關(guān)，）今定義 （2）下面證明滿足各項要求。2 (證明連續(xù)）由（1）、（2）式知 （3）從而所以 此式對任意的都成立，互換也成立，因而得 此式表明在上連續(xù)。3、（證明）設(shè)，則 （由式3） （因） 所以。4、（序列有下界）對任一固定的，在（3）式中令，可知（對一切成立），故，有下界。5、由3、4知;存在且。6、（證明）因上半連續(xù)，當，時有 (4)又因為上半連續(xù)，所以在上上有界