數(shù)形結(jié)合例題選集

1、一、在一些命題證明中的應(yīng)用舉例：1、 證明勾股定理：解析：上圖中，四個(gè)小三角形（陰影部分）的面積加上中間小正方形的面積等于大正方形的面積，化簡(jiǎn)后得到勾股定理。2、 證明乘法公式（平方差與完全平方）：解析：在上圖中，利用正方形和小正方形面積的轉(zhuǎn)化，能更進(jìn)一步理解平方差公式與完全平方公式的運(yùn)算過(guò)程以及公式的本質(zhì)問(wèn)題。3、 證明基本不等式：解析：如上圖所示，直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，長(zhǎng)度為，根據(jù)直角三角形的相似關(guān)系，可以得到直角三角形斜邊上的高的長(zhǎng)度為，顯然在直角三角形中，斜邊上的中線的長(zhǎng)度會(huì)大于等于高，利用這樣簡(jiǎn)潔明了的幾何圖解，對(duì)基本不等式的理解也就更加簡(jiǎn)單了。4、 證明正（余）弦定

2、理：解析：（1）如上圖所示，；即；根據(jù)圓的性質(zhì)（等弧對(duì)等角）；綜上，得正弦定理：。（2）根據(jù)勾股定理；整理可得余弦定理：；同理得出cosA、cosC的余弦定理。5、 證明結(jié)論解析：如上圖所示，根據(jù)y=tanx、y=x、y=sinx在上的圖像可看出tanx>x>sinx，。當(dāng)然，實(shí)際考試作圖不可能如此精確，那么轉(zhuǎn)化到右圖的單位圓中，當(dāng)時(shí)，角的終邊始終在第一象限內(nèi)，根據(jù)三角函數(shù)線可知，藍(lán)線表示正弦線，紅線表示正切線，再根據(jù)弧長(zhǎng)公式，即圖中黑色弧線的長(zhǎng)度表示x，顯而易見。紅線長(zhǎng)度>弧線長(zhǎng)度>藍(lán)線長(zhǎng)度，即tanx>x>sinx，。6、證明兩角差的余弦公式：解析：如上

3、圖所示，根據(jù)三角比的定義及單位圓的定義可知單位圓上的點(diǎn)的坐標(biāo)表示。左圖中，將B點(diǎn)旋轉(zhuǎn)至（1，0）處（右圖所示）。此時(shí)，因?yàn)榫€段AB的長(zhǎng)度沒(méi)有發(fā)生變化，即，化簡(jiǎn)：。當(dāng)然也可以用向量的方法證明，利用向量數(shù)量積定義，證明更加簡(jiǎn)潔。如左圖，。二、在考試中的具體應(yīng)用：1、與函數(shù)的綜合運(yùn)用，主要體現(xiàn)在求零點(diǎn)、交點(diǎn)、解的個(gè)數(shù)及參數(shù)范圍等方面：例1（14奉賢）已知定義在R上的函數(shù)y=f（x）對(duì)任意x都滿足f（x+2）=-f（x），當(dāng)只有四個(gè)零點(diǎn)，則a的取值范圍是 答案：解析：根據(jù)已知條件，f（x）的周期為4，先畫f（x）一個(gè)周期圖像，當(dāng)1x<3時(shí)，由此畫出-1，3）的圖像，此為一個(gè)周期，圖像如下，只有四

4、個(gè)零點(diǎn)即f（x）與y=只有四個(gè)交點(diǎn)，需分類討論：（1）當(dāng)0<a<1時(shí)，有兩個(gè)界值，如下圖所示：此時(shí)5個(gè)交點(diǎn)，代入點(diǎn)（-5，-1），解得a=此時(shí)3個(gè)交點(diǎn)，代入點(diǎn)（3，-1），解得a=（2）當(dāng)a>1時(shí)，也有兩個(gè)界值，如下圖所示：此時(shí)3個(gè)交點(diǎn)，代入（-3，1），解得a=3。評(píng)注：數(shù)形結(jié)合體型，一定要結(jié)合圖像分析，并且一些用于定位的特殊點(diǎn)要善于把握；另一方面，必須熟悉初等函數(shù)的所有性質(zhì)及函數(shù)圖像的變換。例2 （14閔行），若a、b、c、d互不相同，且f（a）=f（b）=f（c）=f（d），則abcd的取值范圍是答案：（32，35）解析：根據(jù)題意，如下圖所示，ab=1，abcd=cd=

5、，4<c<5，所以答案是（32，35）。評(píng)注：這類題出現(xiàn)很多，典型的數(shù)形結(jié)合題型，要讓學(xué)生熟悉各類函數(shù)圖像及相關(guān)性質(zhì)，尤其是對(duì)稱性和周期性；在草稿紙上作圖時(shí)，雖說(shuō)是草圖，但有必要做出一些特殊點(diǎn)進(jìn)行定位；寫區(qū)間時(shí)，務(wù)必考慮區(qū)間的開閉情況。變式 已知函數(shù)f（x）=|x-1|-1|，若關(guān)于x的方程f（x）=t（tR）恰有四個(gè)互不相等的實(shí)數(shù)根的取值范圍是答案：（3，4）解析：根據(jù)題意，如下圖所示，=。例3 （14楊浦）定義一種新運(yùn)算：。已知函數(shù)f（x）=（1+，若函數(shù)g（x）=f（x）-k恰有兩個(gè)零點(diǎn)，則k的取值范圍是（ ）A.（1，2；B.（1，2）；C.（0，2）；D.（0，1）答案：

6、B解析：，如下圖所示：令g（x）=f（x）-k=0，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)y=f（x）與函數(shù)y=k有兩個(gè)交點(diǎn)，則k（1，2）。評(píng)注：本題考查分段函數(shù)表達(dá)式求法，函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題轉(zhuǎn)化成兩函數(shù)交點(diǎn)問(wèn)題，數(shù)形結(jié)合很容易求解，可以作適當(dāng)?shù)难由?，比如，有一個(gè)零點(diǎn)，求k的取值范圍等。例4 （14寶山）關(guān)于函數(shù)f（x）=，給出下列四個(gè)命題：當(dāng)x>0時(shí)，y=f（x）單調(diào)遞減且無(wú)最值；方程f（x）=kx+b（k0）一定有解；如果方程f（x）=k有解，則解的個(gè)數(shù)一定是偶數(shù)；y=f（x）是偶函數(shù)且有最小值。則其中真命題是答案：、解析：含絕對(duì)值、分類討論。先畫x>1和0<x<1的部分，然后根據(jù)偶函數(shù)的性質(zhì)

7、（關(guān)于y軸對(duì)稱）畫出左半部分，函數(shù)圖像如下圖所示：明顯錯(cuò)誤；k=0時(shí)，解的個(gè)數(shù)為1；、正確。評(píng)注：含絕對(duì)值的數(shù)形結(jié)合題型，根據(jù)絕對(duì)值內(nèi)的情況，進(jìn)行分類討論，畫出函數(shù)圖像，再結(jié)合函數(shù)性質(zhì)，一般是對(duì)稱性或奇偶性，然后根據(jù)函數(shù)圖像對(duì)各項(xiàng)進(jìn)行分析篩選。例5 （14奉賢）定義在上的函數(shù)f（x）滿足：當(dāng)時(shí)，；f（3x）=3f（x）。設(shè)關(guān)于x的函數(shù)F（x）=f（x）-1的零點(diǎn)從小到大依次記為、，則答案：50解析：結(jié)合已知條件，分析函數(shù)性質(zhì)，畫出函數(shù)圖像，如下圖所示，2+4+8+10+26=50評(píng)注：數(shù)學(xué)結(jié)合最直觀，或根據(jù)函數(shù)的對(duì)稱性，找到對(duì)稱關(guān)系，圖像就畫出來(lái)了，答案也就呼之欲出，這就是數(shù)形結(jié)合在直觀呈現(xiàn)方

8、面的快捷。2、與三角函數(shù)的綜合運(yùn)用：例1 （14十三校聯(lián)考）已知f（x）=asin2x+bcos2x（a、b為常數(shù)），若對(duì)于任意答案：x=解析：根據(jù)“若對(duì)于任意”可知，當(dāng)x=時(shí)，函數(shù)圖像取最低點(diǎn)，再結(jié)合函數(shù)解析式可知函數(shù)周期為，因?yàn)楹瘮?shù)的最值橫坐標(biāo)與相鄰零點(diǎn)之間相差個(gè)周期，即，所以在區(qū)間0，內(nèi)的解（即在區(qū)間0，內(nèi)的零點(diǎn)）為x=。評(píng)注：本題看似復(fù)雜，因?yàn)橛凶帜竌、b，但只要理解了“三角函數(shù)的最值橫坐標(biāo)與相鄰零點(diǎn)急間相差個(gè)周期”這樣的圖像性質(zhì)，結(jié)合圖像原理，就迎刃而解了。例2 （14閘北）設(shè)a>0且a1，已知函數(shù)f（x）=至少有5個(gè)零點(diǎn)，則a的取值范圍為答案：（0，1）（1，2）解析：就是求

9、函數(shù)上的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，分兩種情況：（1）當(dāng)0<a<1時(shí)，在兩個(gè)函數(shù)圖像有無(wú)數(shù)個(gè)交點(diǎn)，如下圖所示：所以0<a<1時(shí)，滿足至少有5個(gè)交點(diǎn)（2）當(dāng)a>1時(shí)，如下圖所示，在要至少5個(gè)交點(diǎn)，在x=1處要大于0即2-a>0，a<2，滿足至少有5個(gè)交點(diǎn)。評(píng)注：這是一道典型的數(shù)形結(jié)合的題型，將零點(diǎn)問(wèn)題轉(zhuǎn)化成函數(shù)交點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題，注意理解題意、審清題意及數(shù)與形之間的轉(zhuǎn)化。例3 （14虹口）函數(shù)f（x）=2sin與函數(shù)的圖像所有交點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和為答案：17解析：畫出函數(shù)f（x）=2sin與函數(shù)的圖像，如下圖所示：這倆圖像都是關(guān)于點(diǎn)（1，0）對(duì)稱，所以它們的交點(diǎn)也是關(guān)于點(diǎn)（1，0）

10、對(duì)稱，即一對(duì)對(duì)稱交點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和為2，總共有8對(duì)關(guān)于點(diǎn)（1，0）對(duì)稱的點(diǎn)，再加上（1，0）點(diǎn)本身，即所有交點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和為17。評(píng)注：本題首先要熟悉函數(shù)的圖像變換，精確畫出函數(shù)圖像，然后再研究交點(diǎn)的特性，在這道題中，交點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)（1，0）對(duì)稱的，在這個(gè)前提下，求橫坐標(biāo)之和就轉(zhuǎn)化成簡(jiǎn)單的中點(diǎn)問(wèn)題。例4 已知函數(shù)y=f（x），任取tR，定義集合：，設(shè)，記（1）若函數(shù)f（x）=x，則h（1）=（2）若函數(shù)f（x）=sin，則h（t）的最大值為答案：（1）2；（2）2解析：定義的意思是函數(shù)y=f（x）在以定點(diǎn)P（點(diǎn)P在函數(shù)圖像上）為圓心半徑為的圓內(nèi)的部分，這部分函數(shù)圖像的值域即（1）定點(diǎn)P（1，1），如

11、下圖所示，藍(lán)色實(shí)線段部分為符合定義的圖像部分，這部分圖像最大值為2，最小值為0，所以h（1）=2（2）對(duì)于f（x）=sin，函數(shù)最大值與最小值之差2，如下圖所示，通過(guò)理解觀察，可得出能夠同時(shí)包含最大值和最小值，所以h（t）的最大值為2，此時(shí)t=2k，k。評(píng)注：這是一道理解性的定義體型，理解題目的定義很重要，然后結(jié)合函數(shù)圖像分析就不難了。例5 （14閔行）對(duì)于函數(shù)f（x）=，有以下四個(gè)命題：任取恒成立；f（x）=2kf（x+2k）（k），對(duì)于一切x恒成立；函數(shù)y=f（x）-In（x-1）有3個(gè)零點(diǎn)；對(duì)任意x>0，不等式f（x）恒成立，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是則其中所有命題的序號(hào)是答案：、解析：

12、根據(jù)下圖所示可知：選項(xiàng)是，選項(xiàng)反比例函數(shù)圖像至少要滿足點(diǎn)（）上，此時(shí)，評(píng)注：數(shù)形結(jié)合的思想，國(guó)家題意畫圖幫助理解，然后利用一些特殊點(diǎn)定位，圖像盡量做到精確，才能避免差錯(cuò)3、與解析幾何的綜合運(yùn)用：例1 （14閘北）設(shè)曲線C：，則曲線C所圍封閉圖形的面積為答案：解析：因?yàn)閳D像關(guān)于x軸、y軸對(duì)稱，所以可以先畫第一象限的圖像，第一象限x>0，y>0，絕對(duì)值直接去掉，可得一段圓弧，然后關(guān)于x軸、y軸對(duì)稱翻折，如下圖所示，根據(jù)題目數(shù)據(jù)，可得，AB=2，可以先算第一象限的面積，由一個(gè)扇形與一個(gè)四邊形構(gòu)成，然后再乘以4，全面積為。評(píng)注：方程圖像問(wèn)題，含絕對(duì)值，所以根據(jù)象限分類討論，根據(jù)相關(guān)性質(zhì)畫出

13、方程圖像，割補(bǔ)法求面積。變式 由曲線所圍成的封閉圖形的面積為答案：2+例2 （14金山）已知直線：4x-3y+6=0，拋物線C：圖像上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)P到直線與y軸的距離之和的最小值是答案：1解析：結(jié)合題意，畫出直線與拋物線的草圖，找到點(diǎn)P到直線與y軸的距離之和，如下圖所示，即PH+PA=PH+PB-1=PH+PF-1用點(diǎn)到直線距離公式求出來(lái)等于2，所以答案為1。評(píng)注：注意圓錐曲線的相關(guān)定義，進(jìn)行巧妙的轉(zhuǎn)化，如本題中用到了“拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離等于這個(gè)點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離”這個(gè)性質(zhì)，然后結(jié)合圖像進(jìn)行轉(zhuǎn)化。例3 （14金山）已知有相同焦點(diǎn)的橢圓=0（）A.；B.答案：解析：法一：如下圖所示，由題意得：法

14、二：對(duì)于橢圓而言，焦點(diǎn)三角形的面積為，對(duì)于雙曲線而言焦點(diǎn)三角形面積，而這是同一個(gè)三角形，所以，所以。評(píng)注：熟悉圓錐曲線的定義非常重要，根據(jù)條件找到變量之間恒定的關(guān)系，做數(shù)學(xué)題時(shí)，很多時(shí)候要辯證思考，透過(guò)變化的表象，發(fā)現(xiàn)不變的內(nèi)在聯(lián)系，動(dòng)靜結(jié)合，有機(jī)分析，以靜制動(dòng)，以不變應(yīng)萬(wàn)變。例（14金山）設(shè)雙曲線上動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)的距離三最小值是（）A.；B.；C.答案：解析：雙曲線方程兩邊同時(shí)除以，得到，即方程，即求點(diǎn)的距離，選評(píng)注：這是一類要考慮極限位置的極限體型，在高考中出現(xiàn)過(guò)類似的題目，一般找到了極限的位置，題目就很容易解的，很多同學(xué)不會(huì)因?yàn)闆](méi)有想到極限的位置，而像想把。例（14閔行）若曲線上存在兩個(gè)不同

15、點(diǎn)處的切線重合，則稱這條切線為曲線的自公切線，下列方程的曲線有自公切線的是（）A.；B.；C.；D.答案：解析：A、B、C、D選項(xiàng)圖像依次如下圖所示，根據(jù)題意，選評(píng)注：利用數(shù)形結(jié)合的方法，考查了含絕對(duì)值曲線方程的畫法，一般根據(jù)圖像的對(duì)稱性，或者分區(qū)間、分象限進(jìn)行分類討論函數(shù)方程在各個(gè)象限的圖像，再結(jié)合題意解題。、與向量的運(yùn)用：例（14徐匯）如下圖所示，已知點(diǎn)兩邊分別交于答案：解析：法一：，因?yàn)榉ǘ喝√厥庵?，。評(píng)注：作為填空題，本題的第一做法是法二，同時(shí)也要知道具體過(guò)程，注意向量一些常用知識(shí)點(diǎn)及一些轉(zhuǎn)化技巧。例（14閔行）設(shè)答案：解析：根據(jù)題意，的幾何意義為一個(gè)點(diǎn)到的距離加上這個(gè)點(diǎn)到的距離等于

16、，如下圖所示，即到點(diǎn)的距離加上到點(diǎn)的距離等于，而，所以這個(gè)點(diǎn)的軌跡為線段，而我們要求的取值范圍的幾何意義即轉(zhuǎn)化成線段上的點(diǎn)到點(diǎn)（）的距離的取值范圍，最短距離是下圖中的長(zhǎng)度，用點(diǎn)到直線的距離公式或等面積法可求得。評(píng)注：用代數(shù)的方法計(jì)算，因?yàn)橛懈?hào)，過(guò)程很復(fù)雜，結(jié)合向量的模的幾何意義，轉(zhuǎn)化成圖形問(wèn)題就簡(jiǎn)明了，易于理解，教學(xué)過(guò)程中注意引導(dǎo)數(shù)形結(jié)合的使用。例3 （14徐匯）如下圖所示，在邊長(zhǎng)為的正六邊形中，動(dòng)圓的半徑為，圓心在線段答案：解析：如上圖所示，。評(píng)注：本題結(jié)合動(dòng)態(tài)圖像考查了向量的分解，要求能夠理解題意，本題也可建系分析5、與其他知識(shí)點(diǎn)的綜合運(yùn)用：例1 （14浦東）用有序三元組。如果集合的所有有序三元組中，最小相交的有序三元組的個(gè)數(shù)為答案：解析：設(shè)，如下圖所示，因?yàn)橐粋€(gè)元素，將的元素排入，有種方法，由題意得，還剩下的一個(gè)元素，可排在種方法，由分步原理得。評(píng)注：本題要注意分步原理與分類原理的綜合運(yùn)用，抽象出解題模型，從而使問(wèn)題得到解決，當(dāng)然也可以用列舉法，顯然中為含有列舉即可求解。對(duì)于新定義題型，要善于將陌生問(wèn)題化為熟悉模型，注