淺談度量空間

1、學(xué)生學(xué)號：0607140726長春師范學(xué)院本科畢業(yè)論文（設(shè)計）（理工類）題目：淺談度量空間專業(yè)：數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)作 者 姓名：吳丹指導(dǎo)教師姓名：趙虹指導(dǎo)教師職稱：副教授2010年5月長春師范學(xué)院本科畢業(yè)論文（設(shè)計）作者承諾保證書本人鄭重承諾：本篇畢業(yè)論文（設(shè)計）的內(nèi)容真實、可靠。如果存在弄虛作假、抄襲的情況，本人愿承擔(dān)全部責(zé)任。論文作者簽名：日期：年月 日長春師范學(xué)院本科畢業(yè)論文（設(shè)計）指導(dǎo)教師承諾保證書本人鄭重承諾：我已按有關(guān)規(guī)定對本篇畢業(yè)論文（設(shè)計）的選題與內(nèi)容進行指導(dǎo)和審核，堅持一人一題制，確認(rèn)由作者獨立完成。如果存在學(xué)風(fēng)問題，本人愿意承擔(dān)指導(dǎo)教師的相關(guān)責(zé)任。指導(dǎo)教師簽名：日期： 年 月

2、日目 錄承諾保證書I1度量空間的定義12 度量空間的一些例子23 度量空間的一些簡單性質(zhì)54 度量空間的緊致性與完備性84.1 度量空間的緊致性9度量空間的完備性10參考文獻13英文摘要14淺 談 度 量 空 間吳丹摘要：度量空間是一類特殊的拓?fù)淇臻g，并且它是理解拓?fù)淇臻g的一個重要過程.因此，本文通過度量空間的基本概念，力圖給出度量空間的一些重要性質(zhì).并且引入一些度量空間的其它性質(zhì).關(guān)鍵詞: 度量空間 導(dǎo)集 閉集 度量空間是現(xiàn)代數(shù)學(xué)中一種基本的、重要的、最接近于歐幾里得空間的抽象空間.19世紀(jì)末葉，德國數(shù)學(xué)家G.康托爾創(chuàng)立了集合論，為各種抽象空間的建立奠定了基礎(chǔ).20世紀(jì)初期,法國數(shù)學(xué)家M.-

3、R.弗雷歇發(fā)現(xiàn)許多分析學(xué)的成果從更抽象的觀點看來,都涉及函數(shù)間的距離關(guān)系,從而抽象出度量空間的概念.1 度量空間的定義度量空間是一類特殊的拓?fù)淇臻g，它對于拓?fù)淇臻g的理解起著非常重要的作用.因此，研究度量空間的一些性質(zhì)是必要的.為了證明這些性質(zhì)，首先介紹以下定義.定義1.1設(shè)是一個集合，若對于中任意兩個元素都有唯一確定的實數(shù)與之對應(yīng)，而且這一對應(yīng)關(guān)系滿足下列條件：(1)正定性,并且當(dāng)且僅當(dāng)；(2)對稱性；(3)三角不等式.則稱是集合的一個度量，同時將稱為度量空間或距離空間.中的元素稱為點，條件（3）稱為三點不等式.定義1.2 設(shè)是一個度量空間，.對于任意給定的實數(shù),集合，記作,稱為一個以為中心，

4、以為半徑的球形鄰域，簡稱為的一個球形鄰域.2度量空間的一些例子例離散的度量空間 設(shè)是任意的非空集合，對中的任意兩點，令容易驗證為離散的度量空間.由此可見，在任何非空集合上總可以定義距離.使它成為度量空間.例序列空間S令S表示實數(shù)列（或復(fù)數(shù)列）的全體，對S中任意兩點及，令，易知滿足距離條件的充要條件為. (2.1)下驗證滿足距離條件對任意都成立. (2.2)為此我們首先證明對任意兩個復(fù)數(shù)和，成立不等式事實上，考察上的函數(shù)由于在上，.所以在上單調(diào)增加，由不等式，我們得到.令，則，代入上面不等式，得.由此立即可知滿足距離條件(2.2)，即S按或一度量空. 間.例有界函數(shù)空間設(shè)是一給定的集合，令表示上

5、的有界實值（或復(fù)值）函數(shù)全體，對中任意兩點，定義.下面驗證滿足條件(2.1)和(2.2).等價于對一切，成立，所以，即滿足(2.1)，此外，對所有的成立.所以.即滿足條件(2.2).特別地，當(dāng)時，記為.例2.4 可測函數(shù)空間設(shè)為上的實值（或復(fù)值）的可測函數(shù)全體,m為 測度，若 ，對任意兩個可測函數(shù) 及，由于所以這是上的可積函數(shù)，令如果把中的兩個幾乎處處相等的函數(shù)視為中的同一個元，那么利用不等式及積分性質(zhì)很容易驗證是距離.因此按上述距離成為度量間.例空間令表示閉區(qū)間上的實值（或復(fù)值）連續(xù)函數(shù)全體，對中任意兩點定義容易驗證它滿足距離條件(2.1)和(2.2).例 記.設(shè)定義.則是的距離。距離條件(

6、2.1)是容易得出的，現(xiàn)檢驗條件(2.2). 對任何正整數(shù)n，和 都中的元素，由不等式再令右端 ，即得再令左端的，即得由此可得令取以 代入上式，即可得的三點不等式由上述例子可見，度量空間除了有限維的歐幾里德空間 之外，還包括其他的空間.3度量空間的一些簡單性質(zhì)定理3.1 設(shè)是一個度量空間，則拓?fù)淇臻g是一個離散空間當(dāng)且僅當(dāng)p是一個離散的度量.證 充分性若是一個離散的度量，則對于任意的，存在實數(shù)，使得對于任意的, ,有.于是的球形鄰域,所以，的任意性以及開集的性質(zhì)，故為離散空間.必要性若為離散空間，則對于任意的,單點集為開集，于是存在的球形鄰域 ,令，則對于任意的并且,有.所以,為離散的度量.定理

7、度量空間的每一個子集的導(dǎo)集都是閉集.證設(shè)為一個度量空間，是的導(dǎo)集為閉集，只需證.如果,顯然.如果,由于,所以對于任意,有或.若，則對于的任意一個球形鄰域,有.于是，對于任意的,則，取則,并且又由于,所以，因此.綜上，對于任意,有.所以，.定理3.3 度量空間中的每一個單點集都是閉集.證為一個度量空間，,對于任意,令，于是,并且,所以,于是=,因此，單點集的任意性，度量空間中的每一個單點集都是閉集.定理3.4 是一個度量空間，如果有一個基只含有有限個元素，則必為只含有有限多個點的離散空間.證假設(shè)是一個度量空間，由定理3.1可知，中的每一個單點集都是閉集，于是，對于任意，集合-都是開集.因此，拓?fù)?/p>

8、空間有一個基只含有有限個元素，它們中的任意多個元素之并只能組成有限個開集，所以中的開集只有有限個，這與上述矛盾！因此假設(shè)錯誤，只能是有限集.最后，由于含有有限多個點的度量空間都是離散的度量空間，故由定理1可知，是一個離散空間.定理度量空間中的任何一個收斂序列都只有惟一的極限.證設(shè)是一個度量空間，是至少有兩個極限和.由于,則.設(shè)=,于是對于的球形鄰域,存在,使得當(dāng)時，有;對于的球形鄰域,存在,使得當(dāng)時，有.則一方面.（3.1）另一方面，令,于是當(dāng)時，有，這與（3.1）式矛盾！所以假設(shè)錯誤.因此，度量空間只有一個極限.定理3.6 設(shè)是一個度量空間，,有一個序列在中并且收斂于當(dāng)且當(dāng)是集合的一個凝聚點

9、.證必要性設(shè)序列在中并且斂于.如果是的一個鄰域，則存在使,因此,從而.所以是的一個凝聚點.充分性如果是的一個凝聚點，則對于任意一個球形鄰域有,于是對于任給的正實數(shù)有,其中.并且.所以對于每一個,任取,則序列中并且收斂于.4度量空間的緊致性和完備性4.1度量空間的緊致性定義設(shè)是度量空間中的一個非空子集.集合的直徑定義為=定義設(shè)是一個度量空間，A是的一個開覆蓋.實數(shù)成為開覆蓋A的一個數(shù)，如果對于中的任何一個子集，只要，則包含于開覆蓋A的某一個元素之中.數(shù)不一定存在。例如考慮實數(shù)空間的開覆蓋則任何一個實數(shù)都不是它的數(shù).定理(數(shù)定理)序列緊致的度量空間的每一個開覆蓋有一個數(shù). 證設(shè)是一個序列緊致的度量

10、空間，A是的一個開覆蓋.假若開覆蓋A沒有數(shù)，則對于任何，實數(shù)不是A的數(shù)，所以有一個子集使得并且不包含于A的任何元素之中.在每一個之中任意選取一個點，由于是一個序列緊致空間，所以序列有一個收斂的子序列設(shè)這個子序列收斂于.由于A是的一個開覆蓋，故存在A使得，并且存在實數(shù)使得球形鄰域.由于序列收斂于，所以存在整數(shù)使得當(dāng)時.令k為任意一個整數(shù)，使得,則對于任何有這證明A與的選取矛盾. 定理每一個序列緊致列緊致的度量空間都是緊致空間.證 設(shè)是一個序列緊致的度量空間,A是的一個開覆蓋.根據(jù)數(shù)定理，的開覆蓋A有一個數(shù)，設(shè)為. 令B=，它是的開覆蓋，我們先來證明B有一個有限覆蓋假設(shè)B沒有有限覆蓋，任意選取一點

11、，對于,假定點,，已經(jīng)取定，由于不是的覆蓋，選取使得，按照歸納原則，序列，已經(jīng)取定，易見對于任意,，有，序列,，沒有任何收斂的子序列，（因為任何的球形鄰域中最多只能包含這個序列中的一個點.）這與是序列緊致空間相矛盾.現(xiàn)在設(shè)是開覆蓋B的一個有限子覆蓋.由于其中每一個元素的直徑都小于，所以對于每一個=1，2,n 存在A似的.于是， 是A的一個子覆蓋.定理設(shè)是一個度量空間，則下列條件等價（1） 是一個緊致空間；（2） 是一個列緊空間；（3） 是一個序列緊致空間；（4） 是一個可數(shù)緊致空間.4.2度量空間的完備性定理設(shè)是緊致的當(dāng)且僅當(dāng)是一個完全有界的完備度量空間.證 設(shè)度量空間，由球形鄰域構(gòu)成的集族是

12、的開覆蓋，它有一個有限子覆蓋，設(shè)為.易見有限集合是的一個是完全有界的.為證明是完備的，設(shè)序列是中的一個序列.由于緊致的度量空間是序列緊致的，所以序列有一個收斂的子序列，設(shè)這個子序列收斂于這時序列也必收斂于.這證明中的每一個序列都收斂. 另一方面，設(shè)是一個完備度量空間，這又只要證明中的每一個序列有一個子序列是序列.設(shè)是定義一個序列如下：首先，令.其次對于，假定是的一個網(wǎng)，因此球形鄰域構(gòu)成的集族覆蓋.由于可以再從某一個（其中）中選取的一個子序列.根據(jù)定義立即可見，對與每一個序列是序列的一個子序列，并且對于任何有.于是序列的子序列串的“對角線”序列是序列的一個子序列，由于對于任意，有，所以是一個序列

13、.定理4.2.2（Baire）設(shè)是中的可數(shù)個稠密的開集,則是中的一個稠密子集.證設(shè)是是中的一個稠密子集，只要證明對于中的任何一個非空開集有.設(shè)是，定義一個球形鄰域如下：任意選取和于是有對于，假設(shè)是一個稠密的開集，所以和使得.根據(jù)以上做法，我們有：對于任何,(1);(2);(3) 根據(jù)定理4.2.1，由于(1)和(2)，可見由于(3)，所以.參考文獻：1熊金城.點集拓?fù)渲v義M.北京：高等教育出版社，2003.2尤承業(yè).基礎(chǔ)拓?fù)鋵W(xué)講義M.北京：北京大學(xué)出版社，1997.3方嘉琳.點集拓?fù)鋵W(xué)M.沈陽：遼寧人民出版社，1983.4程其襄等.實變函數(shù)與泛函分析基礎(chǔ)M .北京：高等教育出版社，2003.5張恭慶.泛函分析講義M.北京:北京大學(xué)出版社,1990.6梁方豪.實變函數(shù)講義M.濟南:山東大學(xué)出版社,1990.7劉培德.泛函分析基礎(chǔ)M .武漢:武漢大學(xué)出版社,2001.8蔣繼光.一般拓?fù)鋵W(xué)專題選講M.四川教育出版社，1990年3月第1版.9高國士.拓?fù)淇臻g論M.科學(xué)出版社，2000年7月第1版.On the metric spaceWU danAbstract：Metric space is a specific topological spaceand it is an important process to understand topologi