數(shù)學(xué)分析11匯總

1、章節(jié)題目：實數(shù)集與函數(shù)學(xué)時分配：共5學(xué)時 1 實數(shù)（1學(xué)時） 2 數(shù)集.確界原理 （2學(xué)時） 3 函數(shù)概念 ( 1學(xué)時 ) 4 具有某些特性的函數(shù) (1學(xué)時 )教學(xué)目的：通過教學(xué)，使學(xué)生正確理解函數(shù)、極限與連續(xù)的基本概念，熟練掌握極限的運算。教學(xué)要求：1、 掌握實數(shù)的各條性質(zhì)，初步理解上下確界的定義及確界原理的實質(zhì)。2、正確理解和掌握函數(shù)的概念、性質(zhì),四則運算,復(fù)合函數(shù),反函數(shù)的定義。3、掌握基本初等函數(shù)的性質(zhì)及其圖形。4、掌握初等函數(shù)的性質(zhì),了解幾個常見非初等函數(shù)的定義及性質(zhì)。5、理解函數(shù)的單調(diào)性,周期性,奇偶性等,會對初等函數(shù)是否具備這些性質(zhì)。其他：注: 第一章大部分內(nèi)容中學(xué)學(xué)過。課堂教學(xué)

2、方案課題名稱、授課時數(shù)： 1 實數(shù) 1學(xué)時 2 數(shù)集確界原理 2學(xué)時授課類型：理論課教學(xué)方法與手段：講授為主（部分內(nèi)容自學(xué)）教學(xué)目的與要求：1掌握實數(shù)的基本概念、基本性質(zhì)和最常見的不等式,并熟練運用實數(shù)的有序性、稠密性和封閉性、實數(shù)絕對值的有關(guān)性質(zhì)以及幾個常見的不等式2. 掌握實數(shù)的區(qū)間與鄰域概念，掌握集合的有界性和確界概念，要求理解實數(shù)確界的定義及確界原理，并在有關(guān)命題的證明中正確地加以運用。教學(xué)重點： 1.實數(shù)集的概念性質(zhì)及應(yīng)用,；2.數(shù)集有界、無界及確界的概念，確界原理。教學(xué)難點：數(shù)集確界的定義及其應(yīng)用，確界原理的證明。教學(xué)內(nèi)容首先簡要介紹“數(shù)學(xué)分析”課程的內(nèi)容：分三個學(xué)期；所有內(nèi)容可分

3、為四部分：1）極限理論，包括數(shù)列極限、函數(shù)極限及函數(shù)的連續(xù)性；2）一元函數(shù)的微積分，包括導(dǎo)數(shù)和微分及其應(yīng)用、不定積分、定積分及其應(yīng)用、反常積分；這之間包括第七章實數(shù)的完備性；3）級數(shù)理論，包括數(shù)項級數(shù)、函數(shù)項級數(shù)、冪級數(shù)、傅里葉級數(shù)；4）多元函數(shù)的極限與連續(xù)，多元函數(shù)的微積分，包括多元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)與全微分、隱函數(shù)定理及其應(yīng)用、含參變量積分、二重積分、三重積分、曲線積分及曲面積分.數(shù)學(xué)分析是數(shù)學(xué)專業(yè)的一門重要理論基礎(chǔ)課，在之后要學(xué)習(xí)的課程：復(fù)變函數(shù)、常微分方程、實變函數(shù)都是它最直接的后繼課，學(xué)好數(shù)學(xué)分析對這些后繼課程的學(xué)習(xí)是極其重要的，故一定要打好數(shù)學(xué)分析課程這個理論基礎(chǔ).第一章 實數(shù)集與函數(shù)

4、1 實 數(shù)復(fù)習(xí)引新：回顧中學(xué)中關(guān)于實數(shù)集的定義.2.實數(shù)集性質(zhì)：四則運算封閉性；三歧性( 即有序性 )；Rrchimedes性； 稠密性: 由有理數(shù)和無理數(shù)的稠密性, 給出實數(shù)稠密性的定義；實數(shù)集的 幾何表示 數(shù)軸: 3.兩實數(shù)相等的充要條件:二. 重要不等式1. 絕對值不等式: 定義 1P3 的六個不等式.2. 其他不等式: （1） （2） 均值不等式（3） Bernoulli 不等式:有不等式 （4) 由二項展開式對 有.在應(yīng)用時根據(jù)需要確定右邊的某一項(k的值)。教學(xué)內(nèi)容：數(shù)學(xué)分析研究的對象是定義在實數(shù)集上的函數(shù)，因此先簡要敘述實數(shù)的有關(guān)概念.一實數(shù)及其性質(zhì)：回顧中學(xué)中關(guān)于有理數(shù)和無理數(shù)

5、的定義.有理數(shù)：無理數(shù)：無限十進不循環(huán)小數(shù).規(guī)定：對于正有限小數(shù)（包括正整數(shù)），當(dāng)時，其中為非負整數(shù)，記而當(dāng)為正整數(shù)時，則記例如：記為；對于負無限小數(shù)（包括負整數(shù)），則先將表示為無限小數(shù)，再在所得無限小數(shù)之前加負號，例如-8記為 ；又規(guī)定數(shù)0 記為.于是任何實數(shù)都可用一個確定的無限小數(shù)來表示. 我們已經(jīng)熟知比較兩個有理數(shù)大小的方法.先定義兩個實數(shù)的大小關(guān)系.實數(shù)大小的比較定義1 給定兩個非負實數(shù)其中為非負整數(shù)，為整數(shù)，若有則稱與相等，記為；若，或存在非負整數(shù)，使得則稱大于（或小于），分別記為（或）. 對于負實數(shù)，若按上述規(guī)定分別有與，則分別稱與（或）.另外，自然規(guī)定任何非負實數(shù)大于任何負實數(shù).

6、實數(shù)的有理數(shù)近似表示定義2設(shè)為非負實數(shù)，稱有理數(shù)為實數(shù)的位不足近似值，而有理數(shù)稱為的位過剩近似值。對于負實數(shù)的位不足近似值規(guī)定為：；的位過剩近似值規(guī)定為：例如 ，則它的3位不足近似是，3位過剩近似是.4位不足近似是，4位過剩近似是.注不難看出，實數(shù)的不足近似當(dāng)增大時不減，即有，而過剩近似當(dāng)增大時不增，即有.比如，則1.4, 1.41, 1.414, 1.4142, 稱為的不足近似值；1.5, 1.42, 1.415, 1.4143, 稱為的過剩近似值。我們有以下的命題設(shè)，為兩個實數(shù)，則例1 設(shè)為實數(shù)，.證明：存在有理數(shù)滿足證 由，故存在非負整數(shù)，使得，令則顯然為有理數(shù)，且有即得 實數(shù)有如下一些

7、主要性質(zhì)1、四則運算封閉性:任兩個實數(shù)的和、差、積、商（除數(shù)不為0）仍是實數(shù)。2、有序性:任意兩個實數(shù)必滿足下面三個關(guān)系之一：，。3、實數(shù)大小傳遞性：4、阿基米德性（Archimedes）：，若，則，使得.5、稠密性: 有理數(shù)和無理數(shù)的稠密性.6、實數(shù)集的幾何表示 數(shù)軸（實數(shù)的連續(xù)性或完備性）例2設(shè) .證明:若對證 （反證）倘若結(jié)論不成立，則根據(jù)實數(shù)的有序性，有.令，則為正數(shù)且，但這與假設(shè).練習(xí)：習(xí)題 3:設(shè) .證明：證 倘若結(jié)論不成立，假設(shè)那么設(shè)，則取，有這與已知的矛盾.從而必有.二 絕對值與不等式實數(shù)的絕對值定義為：從數(shù)軸上看，數(shù)的絕對值就是到原點的距離.實數(shù)的絕對值有如下一些主要性質(zhì) 性

8、質(zhì)4（三角不等式）的證明：三. 幾個重要不等式（補充）: 1、 2、 對記(算術(shù)平均值)(幾何平均值)(調(diào)和平均值)有均值不等式: 等號當(dāng)且僅當(dāng)時成立.3、Bernoulli 不等式: (在中學(xué)已用數(shù)學(xué)歸納法證明過) 對由二項展開式 有: 。課堂練習(xí)討論： （）(2)（1） 5(1)(2)作業(yè)：P4 3題,5題 2 數(shù)集 確界原理 本節(jié)中先討論R中兩類重要的數(shù)集-區(qū)間與鄰域，然后討論有界集并給出確界定義和確界原理。一、區(qū)間與鄰域無窮區(qū)間：0 a0 a鄰域：設(shè)，滿足絕對值不等式的全體實數(shù)集合稱為點鄰域，記作或，即點的空心鄰域為，簡記點的右鄰域為，簡記點的空心右鄰域為，簡記點的左鄰域為，簡記點的空

9、心左鄰域為，簡記鄰域：，其中為充分大的數(shù)。-M M鄰域：，鄰域：二 有界集確界原理定義1設(shè)為R中的一個數(shù)集，若存在數(shù)M（L），使得對一切，都有，則稱為有上界（下界）數(shù)集，數(shù)M（L）稱為一個上界（下界）。補充定義對任意，存在，使得，則稱S為無界集。 例如：等都是無界數(shù)集,若數(shù)集即有上界又有下界，則稱為有界集。若數(shù)集不是有界集，則稱為無界集.例1 證明數(shù)集有下界而無上界.證 顯然，任何一個不大于1的實數(shù)都是的下界，故為有下界的數(shù)集.為證無上界，按照定義只需證明：對于無論多么大的數(shù)，總存在某個正整數(shù)，使得.事實上，對任何正數(shù)（無論多么大），取則且這就證明了無上界.讀者還可自行證明：任何有限區(qū)間都是有

10、界集，無限區(qū)間都是無界集；由有限個數(shù)組成的數(shù)集是有界集.若數(shù)集有上界，則顯然它有無窮多個上界，而其中最小的一個上界常常具有重要的作用，稱它為數(shù)集的上確界.同樣，有下界數(shù)集的最大下界，稱為該數(shù)集的下確界. （直觀定義）下面給出數(shù)集的上確界和下確界的精確定義定義2設(shè)S是R中的一個數(shù)集，若數(shù)滿足：（i）對一切，有，即是數(shù)集S 的上界；（ii）對任何，存在，使得（即又是S的最小上界或任何一個比小的數(shù)都不是S的上界）則稱數(shù)為數(shù)集S的上確界.記作定義3設(shè)S是R中的一個數(shù)集，若數(shù)滿足：（i）對一切有，即是數(shù)集S 的下界；（ii）對任何存在,使得（即是S的最大下界或任何一個比大的數(shù)都不是S的下界）則稱數(shù)為數(shù)集

11、S的下確界.記作 上確界與下確界統(tǒng)稱為確界。補例 則 則 例2 設(shè)為區(qū)間（0,1）中的有理數(shù)。試按上、下確界定義驗證：。解 先驗證（i）對一切有，即1是數(shù)集S 的上界；（ii）對任何，若，則任取，都有；若，則由有理數(shù)集在實數(shù)集中的稠密性，在內(nèi)必有有理數(shù)即存在，使得. 類似可驗證易證：閉區(qū)間的上、下確界分別為1和0；對于數(shù)集，有正整數(shù)集有下確界，而沒有上確界.注1 由上（下）確界的定義可見，若數(shù)集存在上（下）確界，則一定是若數(shù)集存在上（下）確界，則有.注2 由上面一些例子可見，數(shù)集的確界可以屬于，也可以不屬于例3設(shè)數(shù)集有上確界，證明：證 設(shè)則對一切，有，而，故是數(shù)集的最大的數(shù)，即.設(shè)，則；下面驗

12、證.（i）對一切，有，即是數(shù)集的上界；(ii) 對任何，只需取，則.從而滿足確界與最值的關(guān)系:（補充）設(shè)是一個數(shù)集（1）若有最大值M（最小值m），則數(shù)集存在上（下）確界，且的最值必屬于, 但確界未必,確界是一種臨界點.（2）非空有界數(shù)集必有確界(見下面的確界原理), 但未必有最值.（3）若存在上（下）確界屬于，則S存在最大值M（最小值m），且定理1.1設(shè)為非空數(shù)集，若有上界，則必有上確界；若有下確界，則必有下確界. 在本書中確界原理是極限理論的基礎(chǔ)，讀者應(yīng)給予充分的重視.例4設(shè)和是非空數(shù)集，滿足對和都有證明：數(shù)集有上確界，數(shù)集有下確界，且 （2）證是的上界；是的下界，故由確界原理推知數(shù)集有上確

13、界，數(shù)集有下確界.現(xiàn)證不等式（2）.是的上界，而由上確界的定義知，是數(shù)集的最小上界，故有 而此式又表明是數(shù)集的一個下界，故由下確界的定義知，例5和為非空有界數(shù)集, 試證明: （i）（ii）證 由于顯然也是非空有界數(shù)集，因此的上、下確界都存在.（i） 對有或或從而有 即是的一個上界, 故得另一方面，對任何，有同理又有所以 綜上，即證得（ii）有或 由和分別是和的下界,有或即是的下界, 又的下界就是的下界,是的下界, 是的下界, 同理有 于是有. 綜上所述有 .若把補充道實數(shù)集中，并規(guī)定任意實數(shù)與的大小關(guān)系為：則確界概念可擴充為：若數(shù)集無上界，則定義為的非正常上確界，記作；若數(shù)集無下界，則定義為的非正常下確界，記作.相應(yīng)地，前面定義2和定義中所定義的確界分別稱為正常上、下確界.在上述擴充定義意義下，我們有推廣的確界原理 任一非空數(shù)集必有上、下確界（正常的或非正常的）.例如 對于正整數(shù)集