積分中值定理的推廣及其應(yīng)用

1、摘要1關(guān)鍵詞1Abstract1Keywords1前言11.積分中值定理11.1 積分第一中值定理1積分第二中值定理22積分中值定理的推廣42.1 積分第一中值定理的推廣42.2 積分第二中值定理的推廣63積分中值定理的應(yīng)用8積分第一中值定理的應(yīng)用8用于確定數(shù)列極限8用于確定函數(shù)極限83.1.3用于判別級數(shù)的收斂性10積分第二中值定理的應(yīng)用10定理的直接應(yīng)用10積分第二中值定理在不等式中的應(yīng)用11參考文獻11積分中值定理的推廣及其應(yīng)用摘 要：本文根據(jù)討論積分中值定理及其若干改進與推廣形式,結(jié)合積分中值定理及其推廣形式的相關(guān)證明,例舉了積分中值定理的一些典型應(yīng)用.關(guān)鍵詞：積分中值定理;推廣;應(yīng)用

2、The Integral Mean Value Theorem for Its Spreading and ApplicationAbstract: This paper discussesthe integral mean value theorem anditsimprovedand promoted form, combining the integral mean value theorem and its promoted form, and giving examples for its typical applications.Keywords:the integral mean

3、 value theorem；spreading;application前言積分中值定理是數(shù)學(xué)分析中的一個基本定理之一，對一元函數(shù)的積分中值定理進入了深入討論，更加深對此問題的理解，同時對于學(xué)習(xí)重積分及曲線曲面積分的中值定理都有很大的意義.本文將借助積分上限函數(shù)的性質(zhì)及微分中值定理證明積分中值定理，給出了積分中值定理幾種推廣形式，同時給出了它們確定數(shù)列極限及函數(shù)極限等方面的應(yīng)用,使我們對它有了更深一層的理解.1.積分中值定理1.1 積分第一中值定理定理1 若在上連續(xù),則至少存在一點,使得.證由于在上連續(xù),因此存在最大值和最小值.由,使用積分不等式性質(zhì)得到,或.再由連續(xù)函數(shù)的介值性，至少存在一點

4、,使得,即有.定理2若在上連續(xù),則至少存在一點,使得.證由于在上連續(xù)，從而在上可積.設(shè)其原函數(shù)為，則根據(jù)原函數(shù)存在定理可知，在上連續(xù)，且在上可導(dǎo)，由由拉格朗日中值定理知存在一點使得，則得顯然定理2的結(jié)論要強于定理1的結(jié)論,所以將積分第一中值定理敘述成定理2的形式更好一些,這不僅是由于在很多應(yīng)用中要用到這個“內(nèi)”字,而且也與微分中值定理的敘述相一致.積分第二中值定理積分中值定理無論在理論上還是在應(yīng)用上在積分學(xué)中都有重要意義,所謂積分第二中值定理則比積分第一中值定理更為精細,下面給出該定理與其證明.定理3設(shè)函數(shù)在上可積，在上單調(diào)且在上連續(xù)，那么存在一點，使得在上可積. 證假設(shè)在上單調(diào)減少且非負，將

5、區(qū)間分成幾部分，即而,記則:,由于在上單調(diào)減少且非負,即而,根據(jù)阿貝爾引理有:,當(dāng)時,有即:,所以，當(dāng)時有:（時成立的）,而當(dāng)時也成立.由介值定理知連續(xù)函數(shù)在上某點處取得上、下確界之間的中間值即：令,由于單調(diào)減少,則單調(diào)減少且非負,由得：,即如果在處不一定連續(xù),則公式可改寫為:.如果在上具有連續(xù)導(dǎo)數(shù),在上連續(xù)則上述定理可用一個較簡單的方法證明,在證明過程中主要使用分部積分法和積分第一中值定理.證由于在上連續(xù),則為其原函數(shù),現(xiàn)對使用分部積分,其中令,對使用積分第一中值定理所以.2積分中值定理的推廣積分第一中值定理的推廣定理4若在上連續(xù)且單調(diào),則存在唯一一點,使得.上述定理4是在加強了定理1與定理

6、2的條件的基礎(chǔ)上得出的.定理5若函數(shù)與在上連續(xù)且在上不變號,則至少存在一點,使得.注若本定理中的條件“在上連續(xù)”減弱為“在上可積”時,定理仍然是成立的.定理5的逆命題為:若函數(shù)在上連續(xù)且嚴格單調(diào),且在上可積且不變號,則任意的一點,必存在,使得,且滿足.在該定理中的條件“嚴格單調(diào)”的條件是必不可少的,否則便不能保證結(jié)論成立.定理6若在上連續(xù),在上可積且不變號,則至少存在一點,使得.注在上連續(xù)且嚴格單調(diào),在上可積且不變號,則任意的一點,必存在,使得,且滿足.相對于定理6中的結(jié)論,本文進一步討論如下一些更一般的推廣結(jié)論.定理7若在上連續(xù),在上可積且不變號,則至少存在一點,使得.為了給出積分第一中值定

7、理的推廣形式,先引入下面的兩個引理:引理1設(shè)是上有的可積的非負函數(shù)且，那么對任意，存在的子區(qū)間，使得對任意的都有.引理2 設(shè)是上有的可積的非負函數(shù),而且有;則的充要條件是在中稠密.定理8設(shè)是上有原函數(shù)的可積函數(shù),在上可積且不變號,且,則至少存在一點,使得.上述定理8與定理7、定理6相比較,在上連續(xù)的條件被減弱為在上存在原函數(shù),而且結(jié)論中的點精確到內(nèi),這不僅方便應(yīng)用而且與微分中值定理相一致.注由積分中值定理知,若函數(shù)和在上連續(xù),在上可積且不變號,則有故有等式.式中與一般不相等,但如下的定理給出了一般性結(jié)論.特別地,當(dāng)時,就是定理8.定理9設(shè)與都是上的可積函數(shù),且在上不變號,則至少存在一點,使得.

8、 其中,.特別地，當(dāng)在上連續(xù)時，式可以改寫為.定理10若函數(shù)和分別在內(nèi)連續(xù)且在上可積,在內(nèi),則至少存在一點,使得.定理11 若在內(nèi)連續(xù)且在上可積,在內(nèi),則至少存在一點,使得.2.2 積分第二中值定理的推廣上面我們介紹了積分第二中值定理及其證明,下面我們把它推廣,于是我們有以下定理.定理12函數(shù)在上可積,在上單調(diào)遞減,且,則存在,使得:. 函數(shù)在上可積,在上單調(diào)遞增,且,則存在,使得:.定理13函數(shù)在上可積,在上單調(diào),則存在,使得:.定理14函數(shù)在上連續(xù)可微,為連續(xù)可微的單調(diào)函數(shù),則存在,使得:.注:與定理13相比,這里的條件要強的多.定理15 設(shè)函數(shù)在上單調(diào)遞增且非負,在上可積,且,則存在,使

9、得:設(shè)函數(shù)在上單調(diào)遞減且非負,在上可積,且,則存在,使得:定理16 設(shè)函數(shù)在上單調(diào)且非負,在上可積,且,則有以下幾點:函數(shù)在上單調(diào)遞增時,存在,使得.函數(shù)在上單調(diào)遞減時，存在，使得.定理17 設(shè)是上有原函數(shù),在上可積且不變號,則至少存在一點,使得:.3積分中值定理的應(yīng)用積分中值定理的理論非常復(fù)雜,證明方式也很多,這里不做過多的討論,下面我們給出它在各個方面的應(yīng)用.積分第一中值定理的應(yīng)用用于確定數(shù)列極限例1證明分析此數(shù)列通項含有定積分,而定積分不易求出,可用推廣的積分第一中值定理化解積分.證應(yīng)用推廣的積分第一中值定理有3.1.2用于確定函數(shù)極限例2設(shè)函數(shù)連續(xù),且,求極限.分析先做變量代換,然后用

10、羅比塔法則,因為不能判斷是否存在,所以不能用羅比塔法則,可用積分中值定理.解令則因為所求函數(shù)極限為行=型不定式，由羅比塔法則及積分中值定理有此處在0與之間,由于函數(shù)連續(xù)有.例3設(shè)在上不恒為零,且其導(dǎo)數(shù)連續(xù),并有,試證明:存在一點,使得.證由及在上不恒為零,可知在上不恒為常數(shù).如果,則結(jié)論成立.下面考慮的情形.由定理2、及拉格朗日中值定理可知,存在一點,使得=,其中,于是得到.注顯然本題的條件可以減弱,結(jié)論可以加強.3.1.3用于判別級數(shù)的收斂性例3設(shè)單調(diào)下降且非負,證明與有相同的斂散性.分析此題目的關(guān)鍵在于:由積分判別法將的斂散性等價于的斂散性,而將表示為積分項級數(shù),再利用積分中值定理及函數(shù)的

11、非負遞減性即可.證因為遞減非負,則有，故有這表明與有相同的斂散性,另一方面,根據(jù)積分判別法與有相同的斂散性,由此即得所要的結(jié)論.積分第二中值定理的應(yīng)用.1定理的直接應(yīng)用例5若在上可積,在上單調(diào)遞增且非負,在上連續(xù),則存在,使.證令，因為非負且單調(diào)遞減利用公式有:.而由即.2積分第二中值定理在不等式中的應(yīng)用例6證明時.證取,由積分中值定理及其推廣可得:例7證明極限證由積分中值定理和它的推論可得：令可知在上連續(xù)，而且不變號，所以存在使得：，因此有以下式子.則有注:在一些比較復(fù)雜的極限證明過程中應(yīng)用積分第二中值定理可以都到很好的結(jié)果,而且計算過程簡單易懂.參考文獻1吉林大學(xué)數(shù)學(xué)系.數(shù)學(xué)分析（上冊）M.北京:人民教育出版社，1979:191207.2華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系.數(shù)學(xué)分析（第三版）M.北京:高等教育出版社，2001,6.3金渝光.關(guān)于積分中值定理J.重慶師范學(xué)院學(xué)報（自然科學(xué)版）,1998,15（增刊）：3637.4原華麗.關(guān)于積分中值定理的探究J.山東師范大學(xué)學(xué)報（自然科學(xué)版）,2004，19（3）:8385.5邢富沖.定積分第一中值定理的改進與應(yīng)用J.中央民族大學(xué)學(xué)