簡單線性規(guī)劃一

1、預(yù)習(xí)案一、 自學(xué)教材，思考下列問題1對(duì)于變量x、y的約束條件，都是關(guān)于的一次不等式，稱其為；z=f(x,y)是欲達(dá)到的最值所涉及的變量x、y的解析式，叫。當(dāng)z=f(x,y)是關(guān)于x、y的一次函數(shù)解析式時(shí)，z=f(x,y)叫做。2試說明可行解、可行域、最優(yōu)解的關(guān)系。 二、 一試身手1在直角坐標(biāo)系xOy中，AOB三邊所在直線方程分別為x=0,y=0,2x+3y=30，則AOB的內(nèi)部和邊上的整點(diǎn)（即橫、縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn)）的個(gè)數(shù)為（ ）A95 B91 C88 D752變量x、y滿足下列條件，則使y=3x+2y的值最小的最優(yōu)點(diǎn)坐標(biāo)為（ ）A（4.5，3） B（3，6） C（9，2） D（6，4）導(dǎo)學(xué)案

2、三、 學(xué)習(xí)目標(biāo)1知識(shí)目標(biāo)：理解線性規(guī)劃有關(guān)概念，初步學(xué)會(huì)解決簡單的線性規(guī)劃問題2能力目標(biāo)：滲透數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想；加強(qiáng)學(xué)生自主探究、合作交流的意識(shí)；進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生在研究問題中主動(dòng)借助現(xiàn)代信息技術(shù)手段輔助思維的習(xí)慣3情感目標(biāo)：讓學(xué)生感受探究問題的樂趣和解決問題的成就感，通過帶領(lǐng)學(xué)生解決實(shí)際問題及對(duì)線性規(guī)劃有關(guān)歷史的簡單回顧，感受數(shù)學(xué)的文化價(jià)值四、 學(xué)習(xí)過程（1） 課內(nèi)探究問題情境1問題：在約束條件下，如何求目標(biāo)函數(shù)的最大值？建構(gòu)數(shù)學(xué)首先，作出約束條件所表示的平面區(qū)域，這一區(qū)域稱為可行域，如圖（1）所示其次，將目標(biāo)函數(shù)變形為的形式，它表示一條直線，斜率為，且在軸上的截距為平移直線，當(dāng)它經(jīng)過兩直線與

3、的交點(diǎn)時(shí)，直線在軸上的截距最大，如圖（2）所示因此，當(dāng)時(shí)，目標(biāo)函數(shù)取得最大值，即當(dāng)甲、乙兩種產(chǎn)品分別生產(chǎn)和時(shí)，可獲得最大利潤萬元這類求線性目標(biāo)函數(shù)在線性約束條件下的最大值或最小值問題，通常稱為線性規(guī)劃問題其中使目標(biāo)函數(shù)取得最大值，它叫做這個(gè)問題的最優(yōu)解對(duì)于只含有兩個(gè)變量的簡單線性規(guī)劃問題可用圖解法來解決說明：平移直線時(shí)，要始終保持直線經(jīng)過可行域（即直線與可行域有公共點(diǎn)）（2） 典型例題例1設(shè)，式中變量滿足條件，求的最大值和最小值例2設(shè)，式中滿足條件，求的最大值和最小值例3已知滿足不等式組，求使取最大值的整數(shù)例4投資生產(chǎn)A產(chǎn)品時(shí)，每生產(chǎn)100噸需要資金200萬元，需場(chǎng)地200平方米，可獲利潤30

4、0萬元；投資生產(chǎn)B產(chǎn)品時(shí)，每生產(chǎn)100米需要資金300萬元，需場(chǎng)地100平方米，可獲利潤200萬元現(xiàn)某單位可使用資金1400萬元，場(chǎng)地900平方米，問：應(yīng)作怎樣的組合投資，可使獲利最大？分析：這是一個(gè)二元線性規(guī)劃問題，可先將題中數(shù)據(jù)整理成下表，以方便理解題意：資 金（百萬元）場(chǎng) 地（平方米）利 潤（百萬元）A產(chǎn)品223B產(chǎn)品312限 制149然后根據(jù)此表數(shù)據(jù)，設(shè)出未知數(shù)，列出約束條件和目標(biāo)函數(shù)，最后用圖解法求解總結(jié)：解線性規(guī)劃應(yīng)用題的一般步驟：（3） 當(dāng)堂檢測(cè)一 選擇題：1在ABC中，三個(gè)頂點(diǎn)A（2，4），B（1，2），C（1，0），點(diǎn)P（x，y）在ABC內(nèi)部及邊界運(yùn)動(dòng)，則z=xy最大值為（）

5、1132已知x、y滿足，則的最值是（）最大值2，最小值1 最大值1，最小值0最大值2，最小值0 有最大值，無最小值3設(shè)x、yR，則滿足條件的點(diǎn)P(x,y)所在的平面區(qū)域面積為（） 二 填空題：4變量x、y滿足下列條件，則使得z=3x-2y的值最大的（x，y）為_5給出下面的線性規(guī)劃問題：求z=3x+5y的最大值和最小值，使x、y滿足約束條件如果想使題目中的目標(biāo)函數(shù)只有最小值而無最大值，請(qǐng)你改造約束條件中的一個(gè)不等式，那么新的約束條件是。三 解答題：6甲乙兩地生產(chǎn)某種產(chǎn)品，它們可以調(diào)出的數(shù)量分別為300噸，750噸。A、B、C三地需要該產(chǎn)品數(shù)量分別為200噸、450噸、400噸，甲地運(yùn)往A、B、

6、C三地的費(fèi)用分別為6元噸，3元噸，5元噸，乙地運(yùn)往A、B、C三地的費(fèi)用分別為5元噸、9元噸、6元噸，問怎樣調(diào)運(yùn)，才能使總運(yùn)費(fèi)最??？（4） 課堂小結(jié)四回顧小結(jié)：1簡單的二元線性規(guī)劃問題的解法2鞏固圖解法求線性目標(biāo)函數(shù)的最大值、最小值的方法；3用畫網(wǎng)格的方法求解整數(shù)線性規(guī)劃問題。4解線性規(guī)劃應(yīng)用題的一般步驟：設(shè)出未知數(shù)；列出約束條件；建立目標(biāo)函數(shù)；求最優(yōu)解。拓展案1.已知滿足約束條件則的最大值為（）2.下列二元一次不等式組可用來表示圖中陰影部分表示的平面區(qū)域的是（）3.已知點(diǎn)，則在表示的平面區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)是（），4.若則目標(biāo)函數(shù)的取值范圍是（）5.原點(diǎn)與點(diǎn)集所表示的平面區(qū)域的位置關(guān)系是，點(diǎn)與集合的位置

7、關(guān)系是6.點(diǎn)到直線的距離等于，且在不等式表示的平面區(qū)域內(nèi)，則點(diǎn)坐標(biāo)是7.某運(yùn)輸公司接受了向抗洪救災(zāi)地區(qū)每天送至少支援物資的任務(wù)該公司有輛載重的型卡車與輛載重為的型卡車，有名駕駛員，每輛卡車每天往返的次數(shù)為型卡車次，型卡車次；每輛卡車每天往返的成本費(fèi)型為元，型為元請(qǐng)為公司安排一下，應(yīng)如何調(diào)配車輛，才能使公司所花的成本費(fèi)最低？若只安排型或型卡車，所花的成本費(fèi)分別是多少？參考答案預(yù)習(xí)案1線性約束條件；目標(biāo)函數(shù)；線性目標(biāo)函數(shù)2（略）?！疽辉嚿硎帧?B2B【典例解析】例1解：由題意，變量所滿足的每個(gè)不等式都表示一個(gè)平面區(qū)域，不等式組則表示這些平面區(qū)域的公共區(qū)域由圖知，原點(diǎn)不在公共區(qū)域內(nèi)，當(dāng)時(shí)，即點(diǎn)在直線

8、：上，作一組平行于的直線：，可知：當(dāng)在的右上方時(shí)，直線上的點(diǎn)滿足，即，而且，直線往右平移時(shí)，隨之增大由圖象可知，當(dāng)直線經(jīng)過點(diǎn)時(shí)，對(duì)應(yīng)的最大，當(dāng)直線經(jīng)過點(diǎn)時(shí)，對(duì)應(yīng)的最小，所以，例解：由引例可知：直線與所在直線平行，則由引例的解題過程知，當(dāng)與所在直線重合時(shí)最大，此時(shí)滿足條件的最優(yōu)解有無數(shù)多個(gè)，當(dāng)經(jīng)過點(diǎn)時(shí)，對(duì)應(yīng)最小，例解：不等式組的解集為三直線：，：，：所圍成的三角形內(nèi)部（不含邊界），設(shè)與，與，與交點(diǎn)分別為，則坐標(biāo)分別為，作一組平行線：平行于：，當(dāng)往右上方移動(dòng)時(shí)，隨之增大，當(dāng)過點(diǎn)時(shí)最大為，但不是整數(shù)解，又由知可取，當(dāng)時(shí)，代入原不等式組得， ；當(dāng)時(shí)，得或， 或；當(dāng)時(shí)， ，故的最大整數(shù)解為或例4：解：設(shè)

9、生產(chǎn)A產(chǎn)品百噸，生產(chǎn)B產(chǎn)品米，利潤為百萬元，則約束條件為，目標(biāo)函數(shù)為作出可行域（如圖），將目標(biāo)函數(shù)變形為，它表示斜率為，在軸上截距為的直線，平移直線，當(dāng)它經(jīng)過直線與和的交點(diǎn)時(shí)，最大，也即最大此時(shí)，因此，生產(chǎn)A產(chǎn)品百噸，生產(chǎn)B產(chǎn)品米，利潤最大為1475萬元設(shè)出未知數(shù)；列出約束條件（要注意考慮數(shù)據(jù)、變量、不等式的實(shí)際含義及計(jì)量單位的統(tǒng)一）；建立目標(biāo)函數(shù)；求最優(yōu)解（2）對(duì)于有實(shí)際背景的線性規(guī)劃問題，可行域通常是位于第一象限內(nèi)的一個(gè)凸多邊形區(qū)域，此時(shí)變動(dòng)直線的最佳位置一般通過這個(gè)凸多邊形的頂點(diǎn)【當(dāng)堂檢測(cè)】一、1 A ；2C ；3D二、4（4，3）； 5三、6設(shè)從甲到A調(diào)運(yùn)x噸，從甲到B調(diào)運(yùn)y噸，從甲到C調(diào)運(yùn)（300x-y）噸，則從乙到A調(diào)運(yùn)(200-x)噸，從乙到B調(diào)運(yùn)(450-y)噸，從乙到C調(diào)運(yùn)（100+x+y）噸，設(shè)調(diào)運(yùn)的總費(fèi)用為z元，則z=6x+3y+5(300-x-y)+5(200-x)+9(450-y)+6（100+x+y）=2x-5y+7150。由已知得約束條件為：，整理得，畫可行域并平移直線2x-5y=0可得最優(yōu)解為x=0,y=300。即從甲到B調(diào)運(yùn)300噸，從乙運(yùn)到A200噸，從乙運(yùn)到B150噸，從乙運(yùn)到C400噸，總運(yùn)費(fèi)最省。拓展案1.2.3.4.5.在