空間幾何知識(shí)總結(jié)和題型總結(jié)

1、（1） 空間幾何的結(jié)構(gòu)及其三視圖和直觀圖1、 空間幾何體結(jié)構(gòu)1.幾種特殊四棱柱的特殊性質(zhì)名稱特殊性質(zhì)平行六面體底面和側(cè)面都是平行四邊行；直平行六面體側(cè)棱垂直于底面，各側(cè)面都是矩形長(zhǎng)方體底面和側(cè)面都是矩形；正方體棱長(zhǎng)都相等，各面都是正方形2.棱柱、棱錐、棱臺(tái)的基本概念和主要性質(zhì)名稱棱柱直棱柱正棱柱圖形定義有兩個(gè)面互相平行，而其余每相鄰兩個(gè)面的交線都互相平行的多面體側(cè)棱垂直于底面的棱柱底面是正多邊形的直棱柱側(cè)棱平行且相等平行且相等平行且相等側(cè)面的形狀平行四邊形矩形全等的矩形對(duì)角面的形狀平行四邊形矩形矩形平行于底面的截面的形狀與底面全等的多邊形與底面全等的多邊形與底面全等的正多邊形名稱棱錐正棱錐棱臺(tái)

2、正棱臺(tái)圖形定義有一個(gè)面是多邊形，其余各面是有一個(gè)公共頂點(diǎn)的三角形的多面體底面是正多邊形用一個(gè)平行于棱錐底面的平面去截棱錐，底面和截面之間的部分由正棱錐截得的棱臺(tái)側(cè)棱相交于一點(diǎn)但不一定相等相交于一點(diǎn)且相等延長(zhǎng)線交于一點(diǎn)相等且延長(zhǎng)線交于一點(diǎn)側(cè)面的形狀三角形全等的等腰三角形梯形全等的等腰梯形對(duì)角面的形狀三角形等腰三角形梯形等腰梯形平行于底的截面形狀與底面相似的多邊形與底面相似的正多邊形與底面相似的多邊形與底面相似的正多邊形其他性質(zhì)高過底面中心；側(cè)棱與底面、側(cè)面與底面、相鄰兩側(cè)面所成角都相等兩底中心連線即高；側(cè)棱與底面、側(cè)面與底面、相鄰兩側(cè)面所成角都相等3.圓柱，圓錐，圓臺(tái)和球（旋轉(zhuǎn)體）（1） 圓柱：

3、由矩形繞其一邊旋轉(zhuǎn)而得。（2） 圓錐：由直角三角形繞其一條直角邊旋轉(zhuǎn)而得（3） 圓臺(tái)：由直角梯形繞其直角腰旋轉(zhuǎn)而得（4） 球：由半圓或圓繞其直徑旋轉(zhuǎn)所得4. 直觀圖（斜二測(cè)畫法的步驟:平面圖形） (1)在已知圖形中取互相垂直的x 軸和y 軸,兩軸相交于O點(diǎn)畫直觀圖時(shí)，把它畫成對(duì)應(yīng)的 x軸或y軸 ,使 它確定的平面表示水平平面. (2)已知圖形中平行于x軸或y軸的線段，在直觀圖中分別畫成平行于x軸或y軸的線段(3)已知圖形中平行于x 軸的線段,在直觀圖中保持原長(zhǎng)度不變;平行于y 軸的線段,長(zhǎng)度為原來的一半總結(jié)：（1）特點(diǎn)：橫同、豎半、平行性不變 （2）關(guān)鍵：確定各個(gè)頂點(diǎn)的位置2、 幾何體的三視圖

4、 正視圖：反映了物體的高度和長(zhǎng)度 側(cè)視圖：反映了物體的高度和寬度 俯視圖：反映了物體的長(zhǎng)度和寬度注：三視圖之間的投影規(guī)律：長(zhǎng)對(duì)正，高平齊，寬相等 畫幾何體的三視圖時(shí)，能看得見的輪廓線或棱用實(shí)線表示，不能看得見的輪廓線或棱用虛線表示3、 幾何體的表面積和體積公式（1）特殊幾何體表面積公式（c為底面周長(zhǎng)，h為高，為斜高，l為母線）（2）柱體、錐體、臺(tái)體的體積公式（4）球體的表面積和體積公式：V= ； S=（二）直線與平面的位置關(guān)系一、空間點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系1 平面含義：平面是無限延展的2 三個(gè)公理：（1）公理1：如果一條直線上的兩點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)，那么這條直線在此平面內(nèi).符號(hào)表示為L(zhǎng)A&#

5、183;ALBL => L AB公理1作用：判斷直線是否在平面內(nèi).C·B·A·（2）公理2：過不在一條直線上的三點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面。符號(hào)表示為：A、B、C三點(diǎn)不共線 => 有且只有一個(gè)平面，使A、B、C。公理2作用：確定一個(gè)平面的依據(jù)。P·L（3）公理3：如果兩個(gè)不重合的平面有一個(gè)公共點(diǎn)，那么它們有且只有一條過該點(diǎn)的公共直線。符號(hào)表示為：P =>=L，且PL公理3作用：判定兩個(gè)平面是否相交的依據(jù).二、空間中直線與直線之間的位置關(guān)系1 空間的兩條直線有如下三種關(guān)系：共面直線相交直線：同一平面內(nèi)，有且只有一個(gè)公共點(diǎn)；平行直線：同一平面內(nèi)，

6、沒有公共點(diǎn)；異面直線： 不同在任何一個(gè)平面內(nèi)，沒有公共點(diǎn)。2 公理4：平行于同一條直線的兩條直線互相平行。符號(hào)表示為：設(shè)a、b、c是三條直線=>acabcb強(qiáng)調(diào)：公理4實(shí)質(zhì)上是說平行具有傳遞性，在平面、空間這個(gè)性質(zhì)都適用。公理4作用：判斷空間兩條直線平行的依據(jù)。3 等角定理：空間中如果兩個(gè)角的兩邊分別對(duì)應(yīng)平行，那么這兩個(gè)角相等或互補(bǔ).注： 兩條異面直線所成的角(0， )； 當(dāng)兩條異面直線所成的角是直角時(shí)，我們就說這兩條異面直線互相垂直，記作ab； 兩條直線互相垂直，有共面垂直與異面垂直兩種情形；計(jì)算中，通常把兩條異面直線所成的角轉(zhuǎn)化為兩條相交直線所成的角。三、空間中直線與平面、平面與平面

7、之間的位置關(guān)系1、直線與平面有三種位置關(guān)系：1. 線面平行2. 線面相交 3. 線在面內(nèi) 符號(hào)表示：符號(hào)表示：符號(hào)表示：（三）平行關(guān)系一、直線、平面平行的判定及其性質(zhì)1、直線與平面平行的判定定理：平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行，則該直線與此平面平行。簡(jiǎn)記為：線線平行，則線面平行。2直線與平面平行的性質(zhì)定理：一條直線與一個(gè)平面平行，則過這條直線的任一平面與此平面的交線與該直線平行。簡(jiǎn)記為：線面平行則線線平行。3、兩個(gè)平面平行的判定定理：一個(gè)平面內(nèi)的兩條交直線與另一個(gè)平面平行，則這兩個(gè)平面平行。簡(jiǎn)記為：線面平行則面面平行。4、兩個(gè)平面平行的性質(zhì)定理：如果兩個(gè)平行的平面同時(shí)與第三個(gè)平面相交，

8、那么它們的交線平行。簡(jiǎn)記為：面面平行則線線平行。二、做題方法（一）、證明線線平行方法一：用線面平行實(shí)現(xiàn)。方法二：用面面平行實(shí)現(xiàn)。方法三：用線面垂直實(shí)現(xiàn)。 若，則。方法四：用向量方法： 若向量和向量共線且l、m不重合，則。（二）證明線面平行方法一：用線線平行實(shí)現(xiàn)。方法二：用面面平行實(shí)現(xiàn)。方法三：用平面法向量實(shí)現(xiàn)。若為平面的一個(gè)法向量，且,則。（三）、證明面面平行1. 面面平行：方法一：用線線平行實(shí)現(xiàn)。方法二：用線面平行實(shí)現(xiàn)。（4） 垂直關(guān)系一、直線、平面垂直的判定及其性質(zhì)1、直線與平面垂直的判定定理：一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直。2、直線與平面垂直的性質(zhì)定理：垂

9、直于同一個(gè)平面的兩條直線平行3、 兩個(gè)平面互相垂直的判定定理：一個(gè)平面過另一個(gè)平面的垂線，則這兩個(gè)平面垂直4、兩個(gè)平面垂直的性質(zhì)定理： 兩個(gè)平面垂直，則一個(gè)平面內(nèi)垂直于交線的直線與另一個(gè)平面垂直。二面角的概念：表示從空間一直線出發(fā)的兩個(gè)半平面所組成的圖形，二面角的記法：二面角-l-或-AB-2、 做題方法（1） 證明線線垂直方法一：用線面垂直實(shí)現(xiàn)。方法二：三垂線定理及其逆定理。方法三：用向量方法： 若向量和向量的數(shù)量積為0，則。（二）、證明線面垂直方法一：用線線垂直實(shí)現(xiàn)。方法二：用面面垂直實(shí)現(xiàn)。（三）、證明面面垂直方法一：用線面垂直實(shí)現(xiàn)。方法二：計(jì)算所成二面角為直角。（5） 空間角（1） 異面

10、直線所成的角（線線角）：通過直線的平移，把異面直線所成的角轉(zhuǎn)化為平面內(nèi)相交直線所成的角。異面直線所成角的范圍：；求解方法：（a）平移，使它們相交，找到夾角，解三角形求出角。(常用到余弦定理)余弦定理：（b）向量法。轉(zhuǎn)化為向量的夾角(計(jì)算結(jié)果可能是其補(bǔ)角)：（2） 線面所成的角（線面角）：范圍：注：當(dāng)時(shí)，或，當(dāng)時(shí)，斜線與平面所成的角：范圍；即也就是斜線與它在平面內(nèi)的射影所成的角。求解方法：（a）作出線面角，并證明。然后解三角形，求出線面角 (b)向量法(為平面的一個(gè)法向量)。(3)面面所成的角（面面角）：二面角及其平面角1、定義：在棱l上取一點(diǎn)P，兩個(gè)半平面內(nèi)分別作l的垂線（射線）m、n，則射線

11、m和n的夾角為二面角l的平面角。范圍：2、求解方法：（a）定義法：作出二面角的平面角(三垂線定理)，并證明。解三角形，求出二面角的平面角。（b）截面法：如圖(1)，若平面POA同時(shí)垂直于平面，則交線(射線)AP和AO的夾角就是二面角。解三角形，求出二面角。 (1) (2) (c) 坐標(biāo)法(計(jì)算結(jié)果可能與二面角互補(bǔ))。如圖（2）計(jì)算，判斷與的關(guān)系，可能相等或者互補(bǔ)。（6） 空間距離（1）點(diǎn)到平面的距離 1、定義：面外一點(diǎn)引一個(gè)平面的垂線，這個(gè)點(diǎn)和垂足間的距離叫做這個(gè)點(diǎn)到這個(gè)平面的距離. 2、求點(diǎn)面距離常用的方法：1)幾何法。步驟1：過點(diǎn)P作PO于O，線段PO即為所求。步驟2：計(jì)算線段PO的長(zhǎng)度。

12、(直接解三角形；等體積法和等面積法；換點(diǎn)法)體積法其步驟是：在平面內(nèi)選取適當(dāng)三點(diǎn)，和已知點(diǎn)構(gòu)成三棱錐；求出此三棱錐的體積V和所取三點(diǎn)構(gòu)成三角形的面積S；由V=S·h，求出h即為所求.2）坐標(biāo)法。（2）直線和平面的距離、平行平面的距離將線面、面面距離轉(zhuǎn)化為點(diǎn)面距離，然后運(yùn)用解三角形或體積法求解之.（3）異面直線之間的距離（a）轉(zhuǎn)化為線面距離。如圖，m和n為兩條異面直線，且，則異面直線m和n之間的距離可轉(zhuǎn)化為直線m與平面之間的距離。 (b)直接計(jì)算公垂線段的長(zhǎng)度。補(bǔ)充知識(shí)：1、三點(diǎn)共線，四點(diǎn)共面問題（a）. A，B，C三點(diǎn)共線，且，當(dāng)時(shí)，A是線段BC的中點(diǎn)（b）A，B，C三點(diǎn)共線 ( c

13、 ) A，B，C，D四點(diǎn)共面，且 ( d ) A，B，C，D四點(diǎn)共面2、 常見幾何體的特征及運(yùn)算1. 長(zhǎng)方體的對(duì)角線相等且互相平分。2. 若長(zhǎng)方體的長(zhǎng)寬高分別為a、b、c，則體對(duì)角線長(zhǎng)為 ，表面積為 ，體積為3. 正棱錐：底面是正多邊形且頂點(diǎn)在底面的射影在底面中心。4、棱錐的性質(zhì)：平行于底面的的截面與底面相似，且面積比等于頂點(diǎn)到截面的距離與棱錐的高的平方比。5、正棱錐的性質(zhì)：各側(cè)棱相等，各側(cè)面都是全等的等腰三角形。6、設(shè)球半徑為R，小圓的半徑為r，小圓圓心為O1，球心O到小圓的距離為d，則它們?nèi)咧g的數(shù)量關(guān)系是 。7、球面距離：經(jīng)過球面上兩點(diǎn)的大圓在這兩點(diǎn)間的一段劣弧的長(zhǎng)度。三視圖、直觀圖、

14、體積表面積計(jì)算1.【2012高考新課標(biāo)】如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長(zhǎng)為，粗線畫出的是某幾何體的三視圖，則此幾何體的體積為（）2.【2012高考新課標(biāo)】平面截球O的球面所得圓的半徑為1，球心O到平面的距離為，則此球的體積為 （A） （B）4 （C）4 （D）63.【2012高考陜西】將正方形（如圖1所示）截去兩個(gè)三棱錐，得到圖2所示的幾何體，則該幾何體的左視圖為 （ ）4.【2012高考江西】若一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示，則此幾何體的體積為A B.5 C.4 D.5.【2012高考湖南】某幾何體的正視圖和側(cè)視圖均如圖1所示，則該幾何體的俯視圖不可能是6.【2012高考廣東】某幾何體的三視圖如圖1

15、所示，它的體積為圖1正視圖俯視圖側(cè)視圖55635563A. B. C. D. 7.【2102高考福建】一個(gè)幾何體的三視圖形狀都相同，大小均等，那么這個(gè)幾何體不可以是 A 球 B 三棱錐 C 正方體 D 圓柱 8.【2012高考上?！恳粋€(gè)高為2的圓柱，底面周長(zhǎng)為，該圓柱的表面積為【答案】9.【2012高考湖北】已知某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為_.【答案】10.【2012高考遼寧】一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為_. m11.【2012高考江蘇】如圖，在長(zhǎng)方體中，則四棱錐的體積為 cm312（2013年高考重慶卷）某幾何體的三視圖如題(8)所示,則該幾何體的表面積為（

16、）ABCD13（2013年高考課標(biāo)卷）一個(gè)四面體的頂點(diǎn)在空間直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)分別是,畫該四面體三視圖中的正視圖時(shí),以平面為投影面,則得到正視圖可以為（）ABCD14（2013年高考四川卷）一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示,則該幾何體可以是（）A棱柱B棱臺(tái)C圓柱D圓臺(tái)15（2013年高考廣東卷）某三棱錐的三視圖如圖2所示,則該三棱錐的體積是（）ABCD16（2013年高考湖南）已知長(zhǎng)方體的棱長(zhǎng)為1,其俯視圖是一個(gè)面積為1的正方形,側(cè)視圖是一個(gè)面積為的矩形,則該正方體的正視圖的面積等于_（）AB1CD17（2013年高考山東卷）一個(gè)四棱錐的側(cè)棱長(zhǎng)都相等,底面是正方形,其正(主)視圖如右圖所示該四棱錐側(cè)

17、面積和體積分別是（）ABCD8,818（2013年高考江西卷）一幾何體的三視圖如右所示,則該幾何體的體積為（）A200+9B200+18C140+9D140+18 19（2013年高考陜西卷）某幾何體的三視圖如圖所示, 則其表面積為_. 20（2013年高考天津卷）已知一個(gè)正方體的所有頂點(diǎn)在一個(gè)球面上. 若球的體積為, 則正方體的棱長(zhǎng)為 _.空間平行與垂直1、如圖，在正方體中，是的中點(diǎn)，求證：平面。A1ED1C1B1DCBA2、已知正方體，是底對(duì)角線的交點(diǎn).求證：C1O面；3、如圖，在正方體中，是的中點(diǎn).（1）求證：平面；（2）求證：平面平面.4、正方體ABCDA1B1C1D1中(1)求證：平面A1BD平面B1D1C； (2)若E、F分別是AA1，CC1的中點(diǎn)，求證：平面EB1D1平面FBDA1AB1BC1CD1DGEF5、如圖，在正方體中，、分別是、的中點(diǎn).求證：平面平面.6、如圖，已知空間四邊形中，是