高考數(shù)學一輪專題精講28數(shù)列概念及等差數(shù)列

1、一【課標要求】1數(shù)列的概念和簡單表示法；通過日常生活中的實例，了解數(shù)列的概念和幾種簡單的表示方法（列表、圖像、通項公式），了解數(shù)列是一種特殊函數(shù)；2通過實例，理解等差數(shù)列的概念，探索并掌握等差數(shù)列的通項公式與前n項和的公式；3能在具體的問題情境中，發(fā)現(xiàn)數(shù)列的等差關系，并能用有關知識解決相應的問題。體會等差數(shù)列與一次函數(shù)的關系二【命題走向】數(shù)列在歷年高考都占有很重要的地位，一般情況下都是一至二個客觀性題目和一個解答題。對于本將來講，客觀性題目主要考察數(shù)列、等差數(shù)列的概念、性質、通項公式、前n項和公式等基本知識和基本性質的靈活應用，對基本的計算技能要求比較高預測明年高考：1題型既有靈活考察基礎知識

2、的選擇、填空，又有關于數(shù)列推導能力或解決生產、生活中的實際問題的解答題；2知識交匯的題目一般是數(shù)列與函數(shù)、不等式、解析幾何、應用問題聯(lián)系的綜合題，還可能涉及部分考察證明的推理題三【要點精講】1數(shù)列的概念（1）數(shù)列定義：按一定次序排列的一列數(shù)叫做數(shù)列；數(shù)列中的每個數(shù)都叫這個數(shù)列的項。記作，在數(shù)列第一個位置的項叫第1項（或首項），在第二個位置的叫第2項，序號為 的項叫第項（也叫通項）記作；數(shù)列的一般形式：，簡記作 。（2）通項公式的定義：如果數(shù)列的第n項與n之間的關系可以用一個公式表示，那么這個公式就叫這個數(shù)列的通項公式例如，數(shù)列的通項公式是= （7，），數(shù)列的通項公式是= （）。說明：表示數(shù)列，

3、表示數(shù)列中的第項，= 表示數(shù)列的通項公式； 同一個數(shù)列的通項公式的形式不一定唯一。例如，= =；不是每個數(shù)列都有通項公式。例如，1，1.4，1.41，1.414，（3）數(shù)列的函數(shù)特征與圖象表示：序號：1 2 3 4 5 6項 ：4 5 6 7 8 9上面每一項序號與這一項的對應關系可看成是一個序號集合到另一個數(shù)集的映射。從函數(shù)觀點看，數(shù)列實質上是定義域為正整數(shù)集（或它的有限子集）的函數(shù)當自變量從1開始依次取值時對應的一系列函數(shù)值，通常用來代替，其圖象是一群孤立點。（4）數(shù)列分類：按數(shù)列項數(shù)是有限還是無限分：有窮數(shù)列和無窮數(shù)列；按數(shù)列項與項之間的大小關系分：單調數(shù)列（遞增數(shù)列、遞減數(shù)列）、常數(shù)列

4、和擺動數(shù)列（5）遞推公式定義：如果已知數(shù)列的第1項（或前幾項），且任一項與它的前一項（或前幾項）間的關系可以用一個公式來表示，那么這個公式就叫做這個 數(shù)列的遞推公式2等差數(shù)列（1）等差數(shù)列定義：一般地，如果一個數(shù)列從第項起，每一項與它的前一項的差等于同一個常數(shù)，那么這個數(shù)列就叫等差數(shù)列，這個常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差，公差通常用字母表示。用遞推公式表示為或。（2）等差數(shù)列的通項公式：；說明：等差數(shù)列（通?？煞Q為數(shù)列）的單調性：為遞增數(shù)列，為常數(shù)列， 為遞減數(shù)列。（3）等差中項的概念：定義：如果，成等差數(shù)列，那么叫做與的等差中項。其中，成等差數(shù)列。（4）等差數(shù)列的前和的求和公式：。四【典例解析】題型

5、1：數(shù)列概念(安徽卷文）已知為等差數(shù)列，則等于A. -1 B. 1 【解析】即同理可得公差.選B。【答案】B2.根據數(shù)列前4項，寫出它的通項公式：（1）1，3，5，7；（2），；（3），。解析：（1）=2； （2）= ； （3）= 。點評：每一項序號與這一項的對應關系可看成是一個序號到另一個數(shù)集的對應關系，這對考生的歸納推理能力有較高的要求。例2數(shù)列中，已知，（1）寫出，； （2）是否是數(shù)列中的項？若是，是第幾項？解析：（1），； （2）令，解方程得， 即為該數(shù)列的第15項。點評：該題考察數(shù)列通項的定義，會判斷數(shù)列項的歸屬題型2：數(shù)列的遞推公式例3如圖,一粒子在區(qū)域上運動,在第一秒內它從原點運

6、動到點,接著按圖中箭頭所示方向在x軸、y軸及其平行方向上運動，且每秒移動一個單位長度。（1）設粒子從原點到達點時，所經過的時間分別為，試寫出的通相公式；（2）求粒子從原點運動到點時所需的時間；（3）粒子從原點開始運動，求經過2004秒后，它所處的坐標。解析：(1)由圖形可設，當粒子從原點到達時，明顯有,。,。,即。 （2）有圖形知，粒子從原點運動到點時所需的時間是到達點所經過得時間 再加（4416）28秒，所以秒。（3）由2004，解得，取最大得n=44，經計算，得1980<2004，從而粒子從原點開始運動，經過1980秒后到達點，再向左運行24秒所到達的點的坐標為（20，44）。點評：

7、從起始項入手，逐步展開解題思維。由特殊到一般，探索出數(shù)列的遞推關系式，這是解答數(shù)列問題一般方法，也是歷年高考命題的熱點所在。例4（1）已知數(shù)列適合：，寫出前五項并寫出其通項公式； （2）用上面的數(shù)列，通過等式構造新數(shù)列，寫出，并寫出的前5項解：（1） ，； （2），點評：會根據數(shù)列的前幾項寫出數(shù)列的一個通項公式，了解遞推公式是給出數(shù)列的又一種重要方法，能根據遞推公式寫出數(shù)列的前幾項。題型3：數(shù)列的應用例5湖南省屆十二校聯(lián)考第一次考試如果一個數(shù)列的各項都是實數(shù)，且從第二項開始，每一項與它前一項的平方差是相同的常數(shù)，則稱該數(shù)列為等方差數(shù)列，這個常數(shù)叫這個數(shù)列的公方差(1)設數(shù)列是公方差為的等方差數(shù)

8、列，求和的關系式；(2)若數(shù)列既是等方差數(shù)列，又是等差數(shù)列，證明該數(shù)列為常數(shù)列；(3) 設數(shù)列是首項為，公方差為的等方差數(shù)列，若將這種順序的排列作為某種密碼，求這種密碼的個數(shù)(1)解：由等方差數(shù)列的定義可知：5分(2)證法一：是等差數(shù)列，設公差為，則又是等方差數(shù)列，7分即，10分，即是常數(shù)列11分證法二：是等差數(shù)列，設公差為，則又是等方差數(shù)列，設公方差為，則7分代入得，同理有，兩式相減得：即，10分，即是常數(shù)列11分證法三：（接證法二、）由、得出：若，則是常數(shù)列8分若， 則 是常數(shù), ，矛盾10分是常數(shù)列11分(3)依題意， ，或，13分即該密碼的第一個數(shù)確定的方法數(shù)是，其余每個數(shù)都有“正”或

9、“負”兩種確定方法，當每個數(shù)確定下來時，密碼就確定了，即確定密碼的方法數(shù)是種，故，這種密碼共種16分。點評：解決此類問題的思路是先將實際問題轉化為數(shù)列模型來處理。例6在某報自測健康狀況的報道中，自測血壓結果與相應年齡的統(tǒng)計數(shù)據如下表.觀察表中數(shù)據的特點，用適當?shù)臄?shù)填入表中空白（_）內答案：140 85解析：從題目所給數(shù)據規(guī)律可以看到：收縮壓是等差數(shù)列.舒張壓的數(shù)據變化也很有規(guī)律：隨著年齡的變化，舒張壓分別增加了3毫米、2毫米，照此規(guī)律，60歲時的收縮壓和舒張壓分別為140；85.點評：本題以實際問題為背景，考查了如何把實際生活中的問題轉化為數(shù)學問題的能力.它不需要技能、技巧及繁雜的計算，需要有

10、一定的數(shù)學意識，有效地把數(shù)學過程實施為數(shù)學思維活動。題型4：等差數(shù)列的概念例7設Sn是數(shù)列an的前n項和，且Sn=n2，則an是（ ）A.等比數(shù)列，但不是等差數(shù)列B.等差數(shù)列，但不是等比數(shù)列答案：B；解法一：an=an=2n1（nN）又an+1an=2為常數(shù)，常數(shù)an是等差數(shù)列，但不是等比數(shù)列.解法二：如果一個數(shù)列的和是一個沒有常數(shù)項的關于n的二次函數(shù)，則這個數(shù)列一定是等差數(shù)列。點評：本題主要考查等差數(shù)列、等比數(shù)列的概念和基本知識，以及靈活運用遞推式an=SnSn1a1，解法一緊扣定義，解法二較為靈活例8設數(shù)列、滿足：，（n=1,2,3,），證明：為等差數(shù)列的充分必要條件是為等差數(shù)列且（n=1

11、,2,3,）證明：必要性：設數(shù)列是公差為的等差數(shù)列，則：=-=0，（n=1,2,3,）成立；又=6（常數(shù)）（n=1,2,3,）數(shù)列為等差數(shù)列。充分性：設數(shù)列是公差為的等差數(shù)列，且（n=1,2,3,）， 得：= 從而有得：，由得：（n=1,2,3,），由此，不妨設（n=1,2,3,），則（常數(shù)）故從而得：，故（常數(shù)）（n=1,2,3,），數(shù)列為等差數(shù)列。綜上所述：為等差數(shù)列的充分必要條件是為等差數(shù)列且（n=1,2,3,）。證法二：令An = a n+1- a n，由b nb n+1知a n - a n+2a n+1- a n+3。從而a n+1- a na n+3 - a n+2,即AnAn+2

12、（n=1,2,3,）由c n = a n + 2a n+1 + 3a n+2, c n+1 = 4a n+1 + 2a n+2 - 3 a n+3得c n+1-c n=( a n+1- a n+2(a n+2- a n+1)+3(a n+3 - a n+2)，即An+2An+1+3An+2=d2. 由此得An+2+2An+3+3An+2=d2. -得(An-An+2)+2(An+1- An+3)+3(An+2- An+4)=0 因為An-An+20，An+1- An+30，An+2- An+40,所以由得An-An+2=0(n=1,2,3,)。于是由得4An+2An+1=An+1+2An+2+

13、3An+2=d2, 從而2An+4An+1=4An+1+2An+2=d2 由和得4An+2An+1=2An+4An+1,故An+1= An ,即a n+2- a n+1= a n+1- a n(n=1,2,3,)，所以數(shù)列a n是等差數(shù)列。點評：該題考察判斷等差數(shù)列的方法，我們要講平時積累的方法巧妙應用，有些結論可以起到事半功倍的效果題型5：等差數(shù)列通項公式例9（天津卷文）已知等差數(shù)列的公差d不為0，設（）若 ,求數(shù)列的通項公式；（）若成等比數(shù)列，求q的值。（）若（1）解：由題設，代入解得，所以（2）解：當成等比數(shù)列，所以，即，注意到，整理得（3）證明：由題設，可得，則-得，+得，式兩邊同乘以

14、 q，得所以（3）證明：=因為，所以若，取i=n，若，取i滿足，且，由（1）（2）及題設知，且 當時，由，即，所以因此 當時，同理可得因此綜上，【考點定位】本小題主要考查了等差數(shù)列的通項公式，等比數(shù)列通項公式與前n項和等基本知識，考查運算能力和推理論證能力和綜合分析解決問題的能力例10已知等比數(shù)列的各項為不等于1的正數(shù)，數(shù)列滿足，設。（1）求數(shù)列的前多少項和最大，最大值為多少？（2）試判斷是否存在自然數(shù)M，使當時，恒成立？若存在，求出相應的M，若不存在，請說明理由；（3）令，試判斷數(shù)列的增減性？解：（1）由已知得：設等比數(shù)列xn的公比為q(q1)由得為等差數(shù)列，設公差為d，d=2；設前k項為最

15、大，則前11項和前12項和為最大，其和為132 (2)xn=a12-n,nN*；若xn1，則a12-n1當時，n12，顯然不成立 ；當存在M=12，13，14，當時，(3)an=時數(shù)列an為遞減數(shù)列點評：該題通過求通項公式，最終通過通項公式解釋復雜的不等問題，屬于綜合性的題目，解題過程中注意觀察規(guī)律題型6：等差數(shù)列的前n項和公式例11（1）若一個等差數(shù)列前3項的和為34，最后3項的和為146，且所有項的和為390，則這個數(shù)列有（ ）（2）設數(shù)列an是遞增等差數(shù)列，前三項的和為12，前三項的積為48，則它的首項是（ ）A.1 B.2 （3）設Sn是等差數(shù)列an的前n項和，若，則（ ）ABCD解析

16、：（1）答案：A設這個數(shù)列有n項n13（2）答案：B前三項和為12，a1a2a312，a24a1·a2·a348，a24，a1·a312，a1a38，把a1，a3作為方程的兩根且a1a3，x28x120，x16，x22，a12，a36，選B.（3）答案為A；點評：本題考查了數(shù)列等差數(shù)列的前n項和公式的運用和考生分析問題、解決問題的能力例12（1）設an為等差數(shù)列，Sn為數(shù)列an的前n項和，已知S77，S1575，Tn為數(shù)列的前n項和，求Tn。（2）已知數(shù)列bn是等差數(shù)列，b1=1，b1+b2+b10=100.（）求數(shù)列bn的通項bn；（）設數(shù)列an的通項an=lg

17、（1+），記Sn是數(shù)列an的前n項和，試比較Sn與lgbn+1的大小，并證明你的結論。解析：（1）設等差數(shù)列an的公差為d，則Sn=na1n（n1）dS77，S1575，即解得a12，d1a1（n1）d2（n1）。，數(shù)列是等差數(shù)列，其首項為2，公差為，Tnn2n（2）（）設數(shù)列bn的公差為d，由題意得解得bn=2n1.（）由bn=2n1，知Sn=lg（1+1）+lg（1+）+lg（1+）=lg（1+1）（1+）（1+），lgbn+1=lg.因此要比較Sn與lgbn+1的大小，可先比較（1+1）（1+）（1+）與的大小.取n=1，有（1+1），取n=2，有（1+1）（1+），由此推測（1+1）（

18、1+）（1+）.若式成立，則由對數(shù)函數(shù)性質可斷定：Snlgbn+1。下面用數(shù)學歸納法證明式。（i）當n=1時已驗證式成立。（ii）假設當n=k（k1）時，式成立，即（1+1）（1+）（1+）.那么，當n=k+1時，（1+1）（1+）（1+）1+·（1+）=（2k+2）。（2k+2）2（）2，.因而 這就是說式當n=k+1時也成立.由（i），（ii）知式對任何正整數(shù)n都成立.由此證得：Snlgbn+1。評述：本題主要考查等差數(shù)列的求和公式的求解和應用，對一些綜合性的問題要先理清思路再行求解題型7：等差數(shù)列的性質及變形公式例13（1）設an（nN*）是等差數(shù)列，Sn是其前n項的和，且S5

19、S6，S6S7S8，則下列結論錯誤的是（ ）A.d0B.a70C.S9S5D.S6與S7均為Sn的最大值（2）等差數(shù)列an的前m項和為30，前2m項和為100，則它的前3m項和為（ ）A.130 B.170 解析：（1）答案：C；由S5<S6得a1+a2+a3+a5<a1+a2+a5+a6，a6>0，又S6=S7，a1+a2+a6=a1+a2+a6+a7，a7=0，由S7>S8，得a8<0，而C選項S9>S5，即a6+a7+a8+a9>02（a7+a8）>0，由題設a7=0，a8<0，顯然C選項是錯誤的。（2）答案：C解法一：由題意得方程組

20、，視m為已知數(shù)，解得，。解法二：設前m項的和為b1，第m+1到2m項之和為b2，第2m+1到3m項之和為b3，則b1，b2，b3也成等差數(shù)列。于是b1=30，b2=10030=70，公差d=7030=40。b3=b2+d=70+40=110前3m項之和S3m=b1+b2+b3=210.解法三：取m=1，則a1=S1=30，a2=S2S1=70，從而d=a2a1=40。于是a3=a2+d=70+40=110.S3=a1+a2+a3=210。點評：本題考查等差數(shù)列的基本知識，及靈活運用等差數(shù)列解決問題的能力，解法二中是利用構造新數(shù)列研究問題，等比數(shù)列也有類似性質.解法三中，從題給選擇支獲得的信息可

21、知，對任意變化的自然數(shù)m，題給數(shù)列前3m項的和是與m無關的不變量，在含有某種變化過程的數(shù)學問題，利用不變量的思想求解，立竿見影。例14在XOY平面上有一點列P1（a1，b1），P2（a2，b2），Pn（an，bn），對每個自然數(shù)n，點Pn位于函數(shù)y=2000（）x（0a10的圖象上，且點Pn、點（n，0）與點（n+1，0）構成一個以Pn為頂點的等腰三角形。（）求點Pn的縱坐標bn的表達式；（）若對每個自然數(shù)n，以bn，bn1，bn2為邊長能構成一個三角形，求a的取值范圍；（）（理）設Bnb1，b2bn（nN）.若a?。ǎ┲写_定的范圍內的最小整數(shù)，求數(shù)列Bn的最大項的項數(shù)（文）設cnlg（bn）

22、（nN）.若a?。ǎ┲写_定的范圍內的最小整數(shù)，問數(shù)列cn前多少項的和最大?試說明理由。解析：.解：（）由題意，ann，bn2000（）。（）函數(shù)y=2000（）x（0a10）遞減，對每個自然數(shù)n，有bnbn1bn2則以bn，bn1，bn2為邊長能構成一個三角形的充要條件是bn2bn1bn，即（）2（1）0，解得a5（1）或a5（1），5（1）a10（）（理）5（1）a10，a=7，bn2000（）。數(shù)列bnn2，BnbnBn1。于是當bn1時，BnBn1，當bn1時，BnBn1，因此，數(shù)列Bn的最大項的項數(shù)n滿足不等式bn1且bn11。由bn2000（）1，得n20.8，n=20。（文）5（1

23、）a10，a=7，bn2000（）。于是cnlg2000（）3lg2（n）lg0.7數(shù)列cn是一個遞減的等差數(shù)列.因此，當且僅當cn0，且cn10時，數(shù)列cn的前n項的和最大。由cn3lg2（n）lg070，得n20.8，n=20。點評：本題主要考查函數(shù)的解析式，函數(shù)的性質，解不等式，等差、等比數(shù)列的有關知識，及等價轉化，數(shù)形結合等數(shù)學思想方法.五【思維總結】1數(shù)列的知識要點：（1）數(shù)列是特殊的函數(shù)，數(shù)列是定義在自然數(shù)集N（或它的有限子集1，2，3，n，）上的函數(shù)f（n），當自變量從小到大依次取值時對應的一列函數(shù)值：f（1），f（2），f（3），f（n），。數(shù)列的圖象是由一群孤立的點構成的。（2）對于數(shù)列的通項公式要掌握：已知數(shù)列的通項公式，就可以求出數(shù)列的各項；根據數(shù)列的前幾項，寫出數(shù)列的一個通項公式，這是一個難點，在學習中要注意觀察數(shù)列中各項與其序號的變化情況，