高數(shù)一全面復(fù)習(xí)總匯

1、第一講函數(shù)、連續(xù)與極限一、理論要求1.函數(shù)概念與性質(zhì)函數(shù)的基本性質(zhì)（單調(diào)、有界、奇偶、周期）幾類常見(jiàn)函數(shù)（復(fù)合、分段、反、隱、初等函數(shù)）2.極限極限存在性與左右極限之間的關(guān)系夾逼定理和單調(diào)有界定理會(huì)用等價(jià)無(wú)窮小和羅必達(dá)法則求極限3.連續(xù)函數(shù)連續(xù)（左、右連續(xù)）與間斷理解并會(huì)應(yīng)用閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)（最值、有界、介值）二、題型與解法A.極限的求法（1）用定義求（2）代入法（對(duì)連續(xù)函數(shù)，可用因式分解或有理化消除零因子）（3）變量替換法（4）兩個(gè)重要極限法（5）用夾逼定理和單調(diào)有界定理求（6）等價(jià)無(wú)窮小量替換法（7）洛必達(dá)法則與Taylor級(jí)數(shù)法（8）其他（微積分性質(zhì)，數(shù)列與級(jí)數(shù)的性質(zhì)）1.（等價(jià)小

2、量與洛必達(dá)）2.已知解：（洛必達(dá)）3.（重要極限）4.已知a、b為正常數(shù)，解：令（變量替換）5.解：令（變量替換）6.設(shè)連續(xù)，求（洛必達(dá)與微積分性質(zhì)）7.已知在x=0連續(xù)，求a解：令（連續(xù)性的概念）三、補(bǔ)充習(xí)題（作業(yè)）1.（洛必達(dá)）2.（洛必達(dá)或Taylor）3.（洛必達(dá)與微積分性質(zhì)）第二講導(dǎo)數(shù)、微分及其應(yīng)用一、理論要求1.導(dǎo)數(shù)與微分導(dǎo)數(shù)與微分的概念、幾何意義、物理意義會(huì)求導(dǎo)（基本公式、四則、復(fù)合、高階、隱、反、參數(shù)方程求導(dǎo)）會(huì)求平面曲線的切線與法線方程2.微分中值定理理解Roll、Lagrange、Cauchy、Taylor定理會(huì)用定理證明相關(guān)問(wèn)題3.應(yīng)用會(huì)用導(dǎo)數(shù)求單調(diào)性與極最值、凹凸性、漸

3、進(jìn)線問(wèn)題，能畫(huà)簡(jiǎn)圖會(huì)計(jì)算曲率（半徑）二、題型與解法A.導(dǎo)數(shù)微分的計(jì)算基本公式、四則、復(fù)合、高階、隱函數(shù)、參數(shù)方程求導(dǎo)1.決定，求2.決定，求解：兩邊微分得x=0時(shí)，將x=0代入等式得y=13.決定，則B.曲線切法線問(wèn)題4.求對(duì)數(shù)螺線處切線的直角坐標(biāo)方程。解：5.f(x)為周期為5的連續(xù)函數(shù)，它在x=1可導(dǎo)，在x=0的某鄰域內(nèi)滿足f(1+sinx)-3f(1-sinx)=8x+o(x)。求f(x)在（6，f(6)）處的切線方程。解：需求，等式取x-0的極限有：f(1)=0C.導(dǎo)數(shù)應(yīng)用問(wèn)題6.已知，求點(diǎn)的性質(zhì)。解：令，故為極小值點(diǎn)。7.，求單調(diào)區(qū)間與極值、凹凸區(qū)間與拐點(diǎn)、漸進(jìn)線。解：定義域8.求函

4、數(shù)的單調(diào)性與極值、漸進(jìn)線。解：，D.冪級(jí)數(shù)展開(kāi)問(wèn)題9.或：10.求解：=E.不等式的證明11.設(shè)，證：1）令 2）令F.中值定理問(wèn)題12.設(shè)函數(shù)具有三階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且，求證：在（-1，1）上存在一點(diǎn)證：其中將x=1，x=-1代入有兩式相減：13.，求證：證：令令（關(guān)鍵：構(gòu)造函數(shù)）三、補(bǔ)充習(xí)題（作業(yè)）1.2.曲線3.4.證明x0時(shí)證：令第三講不定積分與定積分一、理論要求1.不定積分掌握不定積分的概念、性質(zhì)（線性、與微分的關(guān)系）會(huì)求不定積分（基本公式、線性、湊微分、換元技巧、分部）2.定積分理解定積分的概念與性質(zhì)理解變上限定積分是其上限的函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)求法會(huì)求定積分、廣義積分會(huì)用定積分求幾何問(wèn)題（長(zhǎng)、

5、面、體）會(huì)用定積分求物理問(wèn)題（功、引力、壓力）及函數(shù)平均值二、題型與解法A.積分計(jì)算1.2.3.設(shè)，求解：4.B.積分性質(zhì)5.連續(xù)，,且，求并討論在的連續(xù)性。解：6.C.積分的應(yīng)用7.設(shè)在0，1連續(xù)，在（0，1）上，且，又與x=1,y=0所圍面積S=2。求，且a=?時(shí)S繞x軸旋轉(zhuǎn)體積最小。解：8.曲線，過(guò)原點(diǎn)作曲線的切線，求曲線、切線與x軸所圍圖形繞x軸旋轉(zhuǎn)的表面積。解：切線繞x軸旋轉(zhuǎn)的表面積為曲線繞x軸旋轉(zhuǎn)的表面積為總表面積為三、補(bǔ)充習(xí)題（作業(yè)）1.2.3.第四講向量代數(shù)、多元函數(shù)微分與空間解析幾何一、理論要求1.向量代數(shù)理解向量的概念（單位向量、方向余弦、模）了解兩個(gè)向量平行、垂直的條件向

6、量計(jì)算的幾何意義與坐標(biāo)表示2.多元函數(shù)微分理解二元函數(shù)的幾何意義、連續(xù)、極限概念，閉域性質(zhì)理解偏導(dǎo)數(shù)、全微分概念能熟練求偏導(dǎo)數(shù)、全微分熟練掌握復(fù)合函數(shù)與隱函數(shù)求導(dǎo)法3.多元微分應(yīng)用理解多元函數(shù)極值的求法，會(huì)用Lagrange乘數(shù)法求極值4.空間解析幾何掌握曲線的切線與法平面、曲面的切平面與法線的求法會(huì)求平面、直線方程與點(diǎn)線距離、點(diǎn)面距離二、題型與解法A.求偏導(dǎo)、全微分1.有二階連續(xù)偏導(dǎo)，滿足，求解：2.3.，求B.空間幾何問(wèn)題4.求上任意點(diǎn)的切平面與三個(gè)坐標(biāo)軸的截距之和。解：5.曲面在點(diǎn)處的法線方程。C.極值問(wèn)題6.設(shè)是由確定的函數(shù)，求的極值點(diǎn)與極值。三、補(bǔ)充習(xí)題（作業(yè)）1.2.3.第五講多元

7、函數(shù)的積分一、理論要求1.重積分熟悉二、三重積分的計(jì)算方法（直角、極、柱、球）會(huì)用重積分解決簡(jiǎn)單幾何物理問(wèn)題（體積、曲面面積、重心、轉(zhuǎn)動(dòng)慣量）2.曲線積分理解兩類曲線積分的概念、性質(zhì)、關(guān)系，掌握兩類曲線積分的計(jì)算方法熟悉Green公式，會(huì)用平面曲線積分與路徑無(wú)關(guān)的條件3.曲面積分理解兩類曲面積分的概念（質(zhì)量、通量）、關(guān)系熟悉Gauss與Stokes公式，會(huì)計(jì)算兩類曲面積分二、題型與解法A.重積分計(jì)算1.為平面曲線繞z軸旋轉(zhuǎn)一周與z=8的圍域。解：2.為與圍域。（3.，求 (49/20)B.曲線、曲面積分4.解：令5.,。解：取包含(0,0)的正向，6.對(duì)空間x0內(nèi)任意光滑有向閉曲面S，且在x0

8、有連續(xù)一階導(dǎo)數(shù)，,求。解：第六講常微分方程一、理論要求1.一階方程熟練掌握可分離變量、齊次、一階線性、伯努利方程求法2.高階方程會(huì)求3.二階線性常系數(shù)(齊次)(非齊次)(非齊次)二、題型與解法A.微分方程求解1.求通解。（2.利用代換化簡(jiǎn)并求通解。（）3.設(shè)是上凸連續(xù)曲線，處曲率為，且過(guò)處切線方程為y=x+1，求及其極值。解：三、補(bǔ)充習(xí)題（作業(yè)）1.已知函數(shù)在任意點(diǎn)處的增量。(）2.求的通解。（）3.求的通解。（）4.求的特解。（第七講無(wú)窮級(jí)數(shù)一、理論要求1.收斂性判別級(jí)數(shù)斂散性質(zhì)與必要條件常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)、幾何級(jí)數(shù)、p級(jí)數(shù)斂散條件正項(xiàng)級(jí)數(shù)的比較、比值、根式判別法交錯(cuò)級(jí)數(shù)判別法2.冪級(jí)數(shù)冪級(jí)數(shù)收斂半

9、徑、收斂區(qū)間與收斂域的求法冪級(jí)數(shù)在收斂區(qū)間的基本性質(zhì)（和函數(shù)連續(xù)、逐項(xiàng)微積分）Taylor與Maclaulin展開(kāi)級(jí)數(shù)了解Fourier級(jí)數(shù)概念與Dirichlet收斂定理會(huì)求的Fourier級(jí)數(shù)與正余弦級(jí)數(shù)第八講線性代數(shù)一、理論要求1.行列式會(huì)用按行（列）展開(kāi)計(jì)算行列式2.矩陣幾種矩陣（單位、數(shù)量、對(duì)角、三角、對(duì)稱、反對(duì)稱、逆、伴隨）矩陣加減、數(shù)乘、乘法、轉(zhuǎn)置，方陣的冪、方陣乘積的行列式矩陣可逆的充要條件，會(huì)用伴隨矩陣求逆矩陣初等變換、初等矩陣、矩陣等價(jià)用初等變換求矩陣的秩與逆理解并會(huì)計(jì)算矩陣的特征值與特征向量理解相似矩陣的概念、性質(zhì)及矩陣對(duì)角化的沖要條件掌握將矩陣化為相似對(duì)角矩陣的方法掌握

10、實(shí)對(duì)稱矩陣的特征值與特征向量的性質(zhì)3.向量理解n維向量、向量的線性組合與線性表示掌握線性相關(guān)、線性無(wú)關(guān)的判別理解并向量組的極大線性無(wú)關(guān)組和向量組的秩了解基變換與坐標(biāo)變換公式、過(guò)渡矩陣、施密特方法了解規(guī)范正交基、正交矩陣的概念與性質(zhì)4.線性方程組理解齊次線性方程組有非零解與非齊次線性方程組有解條件理解齊次、非齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系及通解掌握用初等行變換求解線性方程組的方法5.二次型二次型及其矩陣表示，合同矩陣與合同變換二次型的標(biāo)準(zhǔn)形、規(guī)范形及慣性定理掌握用正交變換、配方法化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形的方法了解二次型的對(duì)應(yīng)矩陣的正定性及其判別法第九講概率統(tǒng)計(jì)初步一、理論要求1.隨機(jī)事件與概率了解樣本空間（基

11、本事件空間）的概念，理解隨機(jī)事件的關(guān)系與運(yùn)算會(huì)計(jì)算古典型概率與幾何型概率掌握概率的加減、乘、全概率與貝葉斯公式2.隨機(jī)變量與分布理解隨機(jī)變量與分布的概念理解分布函數(shù)、離散型隨機(jī)變量、連續(xù)型變量的概率密度掌握0-1、二項(xiàng)、超幾何、泊松、均勻、正態(tài)、指數(shù)分布，會(huì)求分布函數(shù)3.二維隨機(jī)變量理解二維離散、連續(xù)型隨機(jī)變量的概率分布、邊緣分布和條件分布理解隨機(jī)變量的獨(dú)立性及不相關(guān)概念掌握二維均勻分布、了解二維正態(tài)分布的概率密度會(huì)求兩個(gè)隨機(jī)變量簡(jiǎn)單函數(shù)的分布4.數(shù)字特征理解期望、方差、標(biāo)準(zhǔn)差、矩、協(xié)方差、相關(guān)系數(shù)的概念掌握常用分布函數(shù)的數(shù)字特征，會(huì)求隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望5.大數(shù)定理了解切比雪夫不等式，了解切比

12、雪夫、伯努利、辛欽大數(shù)定理了解隸莫弗-Laplace定理與列維-林德伯格定理6.數(shù)理統(tǒng)計(jì)概念理解總體、簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本、統(tǒng)計(jì)量、樣本均值、樣本方差及樣本矩了解分布、t分布、F分布的概念和性質(zhì)，了解分位數(shù)的概念了解正態(tài)分布的常用抽樣分布7.參數(shù)估計(jì)掌握矩估計(jì)與極大似然估計(jì)法了解無(wú)偏性、有效性與一致性的概念，會(huì)驗(yàn)證估計(jì)量的無(wú)偏性會(huì)求單個(gè)正態(tài)總體的均值和方差的置信區(qū)間8.假設(shè)檢驗(yàn)掌握假設(shè)檢驗(yàn)的基本步驟了解單個(gè)及兩個(gè)正態(tài)總體的均值和方差的假設(shè)檢驗(yàn)第十講總結(jié)1.極限求解變量替換（作對(duì)數(shù)替換），洛必達(dá)法則，其他（重要極限，微積分性質(zhì)，級(jí)數(shù)，等價(jià)小量替換）1. (幾何級(jí)數(shù))2. (對(duì)數(shù)替換)3.4.5.6.，求2.導(dǎo)數(shù)與微分復(fù)合函數(shù)、隱函數(shù)、參數(shù)方程求導(dǎo)1.2.，求dy/dx3.決定函