高中數(shù)學(xué)競賽模擬試題一匯總

1、一 試（考試時間：80分鐘 滿分100分）一、填空題（共8小題，分）1、已知,點(diǎn)在直線 上移動,當(dāng)取最小值時,點(diǎn)與原點(diǎn)的距離是。2、設(shè)為正整數(shù)n（十進(jìn)制）的各數(shù)位上的數(shù)字的平方之和，比如。記，則。3、如圖，正方體中，二面角的度數(shù)是。4、在中隨機(jī)選取三個數(shù)，能構(gòu)成遞增等差數(shù)列的概率是。5、若正數(shù)滿足，則的最大值是。6、在平面直角坐標(biāo)系中，給定兩點(diǎn)和，點(diǎn)在軸上移動，當(dāng)取最大值時，點(diǎn)的橫坐標(biāo)是。7、已知數(shù)列滿足關(guān)系式且，則的值是。8、函數(shù)在時的最小值為。二、解答題（共3題，）9、設(shè)數(shù)列滿足條件：，且)求證：對于任何正整數(shù)n，都有：10、已知曲線，為正常數(shù)直線與曲線的實(shí)軸不垂直，且依次交直線、曲線、直

2、線于、4個點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)。（1）若，求證：的面積為定值；（2）若的面積等于面積的，求證：11、已知、是方程的兩個不等實(shí)根，函數(shù)的定義域?yàn)? （）求 （）證明：對于，若，則.二 試（考試時間：150分鐘 總分：200分）EFABCGHPO1。O2一、（本題50分）如圖，和與的三邊所在的三條直線都相切，為切點(diǎn)，并且、的延長線交于點(diǎn)。求證：直線與垂直。二、（本題50分）正實(shí)數(shù)，滿足。證明：三、（本題50分）對每個正整數(shù)，定義函數(shù)（其中表示不超過的最大整數(shù)，。試求：的值。四、（本題50分）在世界杯足球賽前，國的教練員為了考察這七名隊(duì)員，準(zhǔn)備讓他們在三場訓(xùn)練比賽(每場比賽90分鐘)中都上場，假設(shè)在比賽的

3、任何時刻，這些隊(duì)員都有且只有一人在場上，并且每人上場的總時間(以分鐘為單位)均被7整除，每人上場的總時間(以分鐘為單位)均被13整除如果每場換人的次數(shù)不限，那么，按每名隊(duì)員上場的總時間計(jì)，共有多少種不同的情況？答案與解析一、填空題1、。.時取最小值, 此時=。2、4。 解： 將記做，于是有從89開始，是周期為8的周期數(shù)列。故。3、。 解：連結(jié),作，垂足為，延長交于，則，連結(jié)，由對稱性知是二面角的平面角。連結(jié)，設(shè)，則中，在的補(bǔ)角，。4、。 解：三個數(shù)成遞增等差數(shù)列，設(shè)為 ，按題意必須滿足。 對于給定的可以取.故三數(shù)成遞增等差數(shù)列的個數(shù)為 三數(shù)成遞增等差數(shù)列的概率為 。5、。 解：由條件，有，令；

4、則，從而原條件可化為：令則，解得，故6、解：經(jīng)過兩點(diǎn)的圓的圓心在線段的垂直平分線上，設(shè)圓心為，則圓的方程為：對于定長的弦在優(yōu)弧上所對的圓周角會隨著圓的半徑減小而角度增大，所以，當(dāng)取最大值時，經(jīng)過三點(diǎn)的圓S必與軸相切于點(diǎn)，即圓的方程中的值必須滿足解得 或.即對應(yīng)的切點(diǎn)分別為和，而過點(diǎn)的圓的半徑大于過點(diǎn)的圓的半徑，所以，故點(diǎn)為所求，所以點(diǎn)的橫坐標(biāo)為7、.解：設(shè)即故數(shù)列是公比為2的等比數(shù)列，。8、解：（由調(diào)和平均值不等式）要使上式等號成立，當(dāng)且僅當(dāng)（1） （2）得到，即得。因?yàn)?，所以?dāng)時，。所以。二、解答題9、證明：令 ,則有 ，且 于是 由算術(shù)-幾何平均值不等式，可得注意到 ，可知 BACQPyO

5、CxDBA ，即 10、解：（1）設(shè)直線：代入得：，得：，設(shè)，則有，設(shè)，易得：，由得，故，代入得，整理得：，又，為定值. （2）設(shè)中點(diǎn)為，中點(diǎn)為則，所以，、重合，從而，從而，又的面積等于面積的，所以，從而.11、解：（）設(shè)則又故在區(qū)間上是增函數(shù)。（）證：，而均值不等式與柯西不等式中，等號不能同時成立，二 試一、證明：延長交于，則和分別是與的截線，由梅涅勞斯定理得：P都是的旁切圓，HGO2O1A于是由、得：FEDCB=又=而三點(diǎn)共線，且二、證明：原不等式可變形為即 由柯西不等式以及可得即 同理 上面三式相加并利用得三、解：對任意，若，則，設(shè)則讓a跑遍區(qū)間）中的所有整數(shù)，則于是下面計(jì)算畫一張的表，第行中，凡是行中的位數(shù)處填寫“*”號，則這行的“*”號共個，全表的“*”號共個；另一方面，按列收集“*”號數(shù)，第列中，若有個正因數(shù)，則該列使有個“*”號，故全表的“*”號個數(shù)共個，因此示例如下：1234561*2*3*4*56*則由此，記易得的取值情況如下：123456789101112131415356678698881071010因此，據(jù)