高三文科數(shù)學(xué)圓錐曲線綜合復(fù)習(xí)講義

1、一、基礎(chǔ)知識(shí)【理解去記】1橢圓的定義，第一定義：平面上到兩個(gè)定點(diǎn)的距離之和等于定長(zhǎng)（大于兩個(gè)定點(diǎn)之間的距離）的點(diǎn)的軌跡，即|PF1|+|PF2|=2a (2a>|F1F2|=2c).第二定義：平面上到一個(gè)定點(diǎn)的距離與到一條定直線的距離之比為同一個(gè)常數(shù)e(0<e<1)的點(diǎn)的軌跡（其中定點(diǎn)不在定直線上），即(0<e<1).2橢圓的方程，如果以橢圓的中心為原點(diǎn)，焦點(diǎn)所在的直線為坐標(biāo)軸建立坐標(biāo)系，由定義可求得它的標(biāo)準(zhǔn)方程，若焦點(diǎn)在x軸上，列標(biāo)準(zhǔn)方程為 (a>b>0)， 參數(shù)方程為（為參數(shù)）。若焦點(diǎn)在y軸上，列標(biāo)準(zhǔn)方程為： (a>b>0)。3橢圓中的

2、相關(guān)概念，對(duì)于中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上的橢圓：，a稱半長(zhǎng)軸長(zhǎng)，b稱半短軸長(zhǎng)，c稱為半焦距，長(zhǎng)軸端點(diǎn)、短軸端點(diǎn)、兩個(gè)焦點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(±a, 0), (0, ±b), (±c, 0)；與左焦點(diǎn)對(duì)應(yīng)的準(zhǔn)線（即第二定義中的定直線）為，與右焦點(diǎn)對(duì)應(yīng)的準(zhǔn)線為；定義中的比e稱為離心率，且，由c2+b2=a2知0<e<1.橢圓有兩條對(duì)稱軸，分別是長(zhǎng)軸、短軸。4橢圓的焦半徑公式：對(duì)于橢圓1(a>b>0), F1(-c, 0), F2(c, 0)是它的兩焦點(diǎn)。若P(x, y)是橢圓上的任意一點(diǎn)，則|PF1|=a+ex, |PF2|=a-ex.5.補(bǔ)充知識(shí)點(diǎn)：

3、幾個(gè)常用結(jié)論：1）過(guò)橢圓上一點(diǎn)P(x0, y0)的切線方程為：；2）斜率為k的切線方程為；3）過(guò)焦點(diǎn)F2(c, 0)傾斜角為的弦的長(zhǎng)為。6雙曲線的定義，第一定義：滿足|PF1|-|PF2|=2a(2a<2c=|F1F2|, a>0)的點(diǎn)P的軌跡；第二定義：到定點(diǎn)的距離與到定直線距離之比為常數(shù)e(>1)的點(diǎn)的軌跡。7雙曲線的方程：中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線方程為，參數(shù)方程為（為參數(shù)）。焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為：。8雙曲線的相關(guān)概念，中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線：(a, b>0),a稱半實(shí)軸長(zhǎng)，b稱為半虛軸長(zhǎng)，c為半焦距，實(shí)軸的兩個(gè)端點(diǎn)為(-a, 0),

4、(a, 0). 左、右焦點(diǎn)為F1(-c,0), F2(c, 0)，對(duì)應(yīng)的左、右準(zhǔn)線方程分別為離心率，由a2+b2=c2知e>1。兩條漸近線方程為，雙曲線與有相同的漸近線，它們的四個(gè)焦點(diǎn)在同一個(gè)圓上。若a=b，則稱為等軸雙曲線。9補(bǔ)充知識(shí)點(diǎn)：雙曲線的常用結(jié)論，1）焦半徑公式，對(duì)于雙曲線，F(xiàn)1（-c,0）, F2(c, 0)是它的兩個(gè)焦點(diǎn)。設(shè)P(x,y)是雙曲線上的任一點(diǎn)，若P在右支上，則|PF1|=ex+a, |PF2|=ex-a；若P（x,y）在左支上，則|PF1|=-ex-a，|PF2|=-ex+a.2) 過(guò)焦點(diǎn)的傾斜角為的弦長(zhǎng)是。10拋物線：平面內(nèi)與一個(gè)定點(diǎn)F和一條定直線l的距離相等

5、的點(diǎn)的軌跡叫做拋物線，點(diǎn)F叫焦點(diǎn)，直線l叫做拋物線的準(zhǔn)線。若取經(jīng)過(guò)焦點(diǎn)F且垂直于準(zhǔn)線l的直線為x軸，x軸與l相交于K，以線段KF的垂直平分線為y軸，建立直角坐標(biāo)系，設(shè)|KF|=p，則焦點(diǎn)F坐標(biāo)為，準(zhǔn)線方程為，標(biāo)準(zhǔn)方程為y2=2px(p>0)，離心率e=1.11補(bǔ)充知識(shí)點(diǎn)拋物線常用結(jié)論：若P(x0, y0)為拋物線上任一點(diǎn)，1）焦半徑|PF|=；2）過(guò)點(diǎn)P的切線方程為y0y=p(x+x0)；3）過(guò)焦點(diǎn)傾斜角為的弦長(zhǎng)為。二、直線與圓錐曲線的位置關(guān)系一、知識(shí)整理：1.考點(diǎn)分析：此部分的解答題以直線與圓錐曲線相交占多數(shù)，并以橢圓、拋物線為載體較多。多數(shù)涉及求圓錐曲線的方程、求參數(shù)的取值范圍等等。

6、2解答直線與圓錐曲線相交問(wèn)題的一般步驟：設(shè)線、設(shè)點(diǎn)， 聯(lián)立、消元， 韋達(dá)、代入、化簡(jiǎn)。第一步：討論直線斜率的存在性，斜率存在時(shí)設(shè)直線的方程為y=kx+b（或斜率不為零時(shí)，設(shè)x=my+a）；第二步：設(shè)直線與圓錐曲線的兩個(gè)交點(diǎn)為A(x1,y1)B(x2,y2); 第三步：聯(lián)立方程組，消去y 得關(guān)于x的一元二次方程；第四步：由判別式和韋達(dá)定理列出直線與曲線相交滿足的條件，第五步：把所要解決的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為x1+x2 、x1x2 ，然后代入、化簡(jiǎn)。3弦中點(diǎn)問(wèn)題的特殊解法-點(diǎn)差法：即若已知弦AB的中點(diǎn)為M(xo,yo)，先設(shè)兩個(gè)交點(diǎn)為A(x1,y1)，B(x2,y2);分別代入圓錐曲線的方程，得，兩式相減、

7、分解因式，再將代入其中，即可求出直線的斜率。4.弦長(zhǎng)公式:( k為弦AB所在直線的斜率)高考真題:1.【2012高考新課標(biāo)文4】設(shè)是橢圓的左、右焦點(diǎn)，為直線上一點(diǎn)，是底角為的等腰三角形，則的離心率為（）【答案】C【命題意圖】本題主要考查橢圓的性質(zhì)及數(shù)形結(jié)合思想，是簡(jiǎn)單題.【解析】是底角為的等腰三角形，=，=，故選C.2.【2012高考新課標(biāo)文10】等軸雙曲線的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上，與拋物線的準(zhǔn)線交于兩點(diǎn)，；則的實(shí)軸長(zhǎng)為（）【答案】C【命題意圖】本題主要考查拋物線的準(zhǔn)線、直線與雙曲線的位置關(guān)系，是簡(jiǎn)單題.【解析】由題設(shè)知拋物線的準(zhǔn)線為：，設(shè)等軸雙曲線方程為：，將代入等軸雙曲線方程解得=，=，=

8、，解得=2，的實(shí)軸長(zhǎng)為4，故選C.3.【2012高考山東文11】已知雙曲線：的焦點(diǎn)到雙曲線的漸近線的距離為2，則拋物線的方程為 (A) (B)(C)(D)【答案】D 考點(diǎn)：圓錐曲線的性質(zhì)解析：由雙曲線離心率為2且雙曲線中a，b，c的關(guān)系可知，此題應(yīng)注意C2的焦點(diǎn)在y軸上，即（0，p/2）到直線的距離為2，可知p=8或數(shù)形結(jié)合，利用直角三角形求解。4【2012高考全國(guó)文10】已知、為雙曲線的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)在上，則（A） （B） （C） （D）【答案】C【命題意圖】本試題主要考查了雙曲線的定義的運(yùn)用和性質(zhì)的運(yùn)用，以及余弦定理的運(yùn)用。首先運(yùn)用定義得到兩個(gè)焦半徑的值，然后結(jié)合三角形中的余弦定理求解即可

9、?！窘馕觥拷猓河深}意可知，設(shè)，則，故，利用余弦定理可得。5(2011年高考廣東卷文科8)設(shè)圓C與圓 錯(cuò)誤！未找到引用源。 外切，與直線錯(cuò)誤！未找到引用源。相切則C的圓心軌跡為（ ）A 拋物線 B 雙曲線 C 橢圓 D 圓6.【2012高考四川文9】已知拋物線關(guān)于軸對(duì)稱，它的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，并且經(jīng)過(guò)點(diǎn)。若點(diǎn)到該拋物線焦點(diǎn)的距離為，則（ ）A、 B、 C、 D、【答案】B解析設(shè)拋物線方程為y2=2px(p>0),則焦點(diǎn)坐標(biāo)為（），準(zhǔn)線方程為x=,點(diǎn)評(píng)本題旨在考查拋物線的定義: |MF|=d,(M為拋物線上任意一點(diǎn)，F(xiàn)為拋物線的焦點(diǎn)，d為點(diǎn)M到準(zhǔn)線的距離).7.（2011年高考湖南卷文科6)設(shè)

10、雙曲線的漸近線方程為則的值為（ ）A4 B3 C2 D1答案：C解析：由雙曲線方程可知漸近線方程為，故可知。8.【2012高考四川文15】橢圓為定值，且的的左焦點(diǎn)為，直線與橢圓相交于點(diǎn)、，的周長(zhǎng)的最大值是12，則該橢圓的離心率是_。 【答案】，解析根據(jù)橢圓定義知：4a=12, 得a=3 , 又點(diǎn)評(píng)本題考查對(duì)橢圓概念的掌握程度.突出展現(xiàn)高考前的復(fù)習(xí)要回歸課本的新課標(biāo)理念.9.【2012高考遼寧文15】已知雙曲線x2 y2 =1,點(diǎn)F1,F2為其兩個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)P為雙曲線上一點(diǎn)，若P F1P F2,則P F1+P F2的值為_(kāi).【答案】【命題意圖】本題主要考查雙曲線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程以及轉(zhuǎn)化思想和運(yùn)算求

11、解能力，難度適中?！窘馕觥坑呻p曲線的方程可知【點(diǎn)評(píng)】解題時(shí)要充分利用雙曲線的定義和勾股定理，實(shí)現(xiàn)差積和的轉(zhuǎn)化。10.【2012高考江蘇8】（5分）在平面直角坐標(biāo)系中，若雙曲線的離心率為，則的值為 【答案】2?！究键c(diǎn)】雙曲線的性質(zhì)。【解析】由得。，即，解得。11.【2012高考安徽文14】過(guò)拋物線的焦點(diǎn)的直線交該拋物線于兩點(diǎn)，若，則=_?！敬鸢浮俊窘馕觥吭O(shè)及；則點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為得： 又12.（2011年高考遼寧卷文科7)已知 F 是拋物線的焦點(diǎn)，AB是該拋物線上的兩點(diǎn),|AF|+|BF|=3,則線段AB的中點(diǎn)到y(tǒng)軸的距離為。解析：設(shè)A、B的橫坐標(biāo)分別是m、n，由拋物線定義，得=m+n+= m+n

12、+=3，故m+n=，故線段AB的中點(diǎn)到y(tǒng)軸的距離為。13、【2012高考廣東文20】（本小題滿分14分）在平面直角坐標(biāo)系中，已知橢圓：（）的左焦點(diǎn)為，且點(diǎn)在上.（1）求橢圓的方程；（2）設(shè)直線同時(shí)與橢圓和拋物線：相切，求直線的方程.【解析】（1）因?yàn)闄E圓的左焦點(diǎn)為，所以，點(diǎn)代入橢圓，得，即，所以，所以橢圓的方程為.（2）直線的斜率顯然存在，設(shè)直線的方程為，消去并整理得，因?yàn)橹本€與橢圓相切，所以，整理得，消去并整理得。因?yàn)橹本€與拋物線相切，所以，整理得綜合，解得或。所以直線的方程為或。14、【2012高考安徽文20】（本小題滿分13分）如圖，分別是橢圓：+=1（）的左、右焦點(diǎn)，是橢圓的頂點(diǎn)，是直

13、線與橢圓的另一個(gè)交點(diǎn)，=60°.（）求橢圓的離心率；（）已知的面積為40，求a, b 的值. 【解析】（I）（）設(shè)；則 在中，面積15.【2102高考北京文19】(本小題共14分)已知橢圓C：+=1（ab0）的一個(gè)頂點(diǎn)為A （2,0），離心率為， 直線y=k(x-1)與橢圓C交與不同的兩點(diǎn)M,N（）求橢圓C的方程（）當(dāng)AMN的面積為時(shí)，求k的值 【考點(diǎn)定位】此題難度集中在運(yùn)算，但是整體題目難度確實(shí)不大，從形式到條件的設(shè)計(jì)都是非常熟悉的，相信平時(shí)對(duì)曲線的練習(xí)程度不錯(cuò)的學(xué)生做起來(lái)應(yīng)該是比較容易的。解：（1）由題意得解得.所以橢圓C的方程為.（2）由得.設(shè)點(diǎn)M,N的坐標(biāo)分別為，則，.所以|

14、MN|=.由因?yàn)辄c(diǎn)A(2,0)到直線的距離，所以AMN的面積為. 由，解得.16.【2102高考福建文21】（本小題滿分12分）如圖，等邊三角形OAB的邊長(zhǎng)為，且其三個(gè)頂點(diǎn)均在拋物線E：x2=2py（p0）上。（1） 求拋物線E的方程；（2） 設(shè)動(dòng)直線l與拋物線E相切于點(diǎn)P，與直線y=-1相較于點(diǎn)Q。證明以PQ為直徑的圓恒過(guò)y軸上某定點(diǎn)。考點(diǎn)：圓錐曲線的定義，直線和圓錐曲線的位置關(guān)系，定值的證明。難度：難。分析：本題考查的知識(shí)點(diǎn)為拋物線方程的求解，直線和圓錐曲線的聯(lián)立，定值的表示及計(jì)算。解答：（I）設(shè)；則 得：點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱（lfxlby） 代入拋物線的方程得：拋物線的方程為 （II）設(shè)；則 過(guò)點(diǎn)的切線方程為即 令 設(shè)滿足：及 得：對(duì)均成立以為直徑的圓恒過(guò)軸上定點(diǎn)17.【2012高考上海文22】（本題滿分16分）本題共有3個(gè)小題，第1小題滿分5分，第2小題滿分5分，第3小題滿分6分在平面直角坐標(biāo)系中，已知雙曲線（1）設(shè)是的左焦點(diǎn)，是右支上一點(diǎn)，若，求點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）過(guò)的左焦點(diǎn)作的兩條漸近線的平行線，求這兩組平行線圍成的平行四邊形的面積；（3）設(shè)斜率為（）的直線交于、兩點(diǎn)，若與圓相切，求證：解（1）雙曲線，左焦點(diǎn). 設(shè)，則， 2分 由M是右支上一點(diǎn)，知，所以，得. 所以. 5分 （2）左頂點(diǎn)，漸近線方程：. 過(guò)A與漸近線平行的直線