共同本征函數(shù)

1、§4.3 共同本征函數(shù)1、測(cè)不準(zhǔn)關(guān)系的嚴(yán)格證明在算符的本征態(tài)中測(cè)量力學(xué)量，可以得到確定值，并不出現(xiàn)漲落。如果測(cè)量，則不一定能得到確定值。例如，由于粒子的波粒二象性，其位置與動(dòng)量不能夠同時(shí)完全確定，而其不確定度由下式確定對(duì)于比較普遍的情況，設(shè)有，兩個(gè)力學(xué)量，令，（注意在經(jīng)典力學(xué)中）因?yàn)?，是厄米算符，所以，也是厄米算符?？紤]積分，為實(shí)數(shù)，積分區(qū)間取為整個(gè)空間。展開上式，有因?yàn)?，均是厄米算符，所以有（利用了厄米性）而?duì)，則令，則這是有關(guān)實(shí)參數(shù)的一元二次方程。其有解的條件可由判別式給出，即，簡(jiǎn)記為，或這就是測(cè)不準(zhǔn)關(guān)系。比如：因?yàn)?，則有。對(duì)易關(guān)系對(duì)測(cè)不準(zhǔn)關(guān)系的意義一般來(lái)說(shuō)，若兩個(gè)力學(xué)量和不對(duì)易

2、，則、不能同時(shí)為0。如果一個(gè)完全確定（），則另一個(gè)完全不確定（）。即和不能同時(shí)測(cè)定，或者說(shuō)它們不能有共同的本征態(tài)。但當(dāng)和對(duì)易時(shí)，的特殊情況是存在的。如在態(tài)中，同時(shí)有確定值0。反過(guò)來(lái)說(shuō)，若兩個(gè)力學(xué)量和對(duì)易，則可以找到狀態(tài)，使得、同時(shí)為0，這樣的狀態(tài)稱為，的共同本征態(tài)。這實(shí)際上就是我們介紹測(cè)不準(zhǔn)關(guān)系的最重要的原因。例1討論動(dòng)量三個(gè)分量的共同本征態(tài)。由于，所有可以有共同本征態(tài)，即平面波函數(shù)。具體表示為相應(yīng)的本征值為。例2坐標(biāo)的共同本征態(tài)，即函數(shù)。在講述兩個(gè)力學(xué)量的共同本征函數(shù)的一般原則以前，先討論角動(dòng)量的本征態(tài)。由于其三個(gè)分量不對(duì)易，故一般無(wú)共同本征態(tài)，但由于，我們可以找出與任一分量（一般取為）的共

3、同本征態(tài)。2、，的共同本征函數(shù) 球諧函數(shù)采用球坐標(biāo)考慮到，的本征函數(shù)可以同時(shí)也取為的本征態(tài)，即取其交集。，此時(shí)，由于也是本征函數(shù)， 的本征函數(shù)實(shí)際上可以分離變量，即可以寫為，代入本征方程，是的本征值（無(wú)量綱），用的球坐標(biāo)表達(dá)式代入得，上式還較為復(fù)雜，需要化簡(jiǎn)。為此令，得或這是締合勒讓德方程。在區(qū)域中，微分方程有兩個(gè)正則奇點(diǎn)，其余的均為常點(diǎn)?？梢宰C明，當(dāng)，時(shí)，方程的有界解是一個(gè)多項(xiàng)式，稱之為L(zhǎng)egendre多項(xiàng)式，用下式表示：，由Legendre多項(xiàng)式的正交關(guān)系，（個(gè)）可以定義歸一化的部分的波函數(shù)（為實(shí)數(shù)）并滿足歸一化關(guān)系這樣，的正交歸一的共同本征函數(shù)為上式就是所謂的球諧函數(shù)，滿足本征值方程，其

4、正交關(guān)系為由上述本征值方程可以看出：和的本征值都是量子化的。其中稱為軌道量子數(shù)，稱為磁量子數(shù)。對(duì)于給定的，的本征值是一定的，但本征函數(shù)是不確定的，因?yàn)楣灿卸群?jiǎn)并。就是用與對(duì)易的的本征值來(lái)區(qū)分這些本征態(tài)。3、求共同本征函數(shù)的一般原則 前面已經(jīng)說(shuō)明，兩個(gè)力學(xué)量具有共同本征函數(shù)系的充要條件是兩個(gè)算符對(duì)易?，F(xiàn)在設(shè)，如何求，的共同本征函數(shù)系？若，即是的本征態(tài)，相應(yīng)的本征值為，下面由此尋找算符的本征態(tài)。（a）如果不簡(jiǎn)并，利用可知，即也是的屬于同一本征值的本征態(tài)。但由于不簡(jiǎn)并，所以與代表同一個(gè)態(tài)。它們至多相差一個(gè)常數(shù)因子，我們將此因子記為，即故是，的共同本征函數(shù)，本征值分別為，。例1一維諧振子的能量本征態(tài)為

5、，已經(jīng)知道能量本征值是不簡(jiǎn)并的?，F(xiàn)在引進(jìn)空間反演算符,有或者說(shuō)對(duì)沒(méi)有“影響”。這樣可以移項(xiàng)得出由此可得(將任意波函數(shù)用本征態(tài)展開，然后用算符作用)由前面的論述可知，必為的本征態(tài)。事實(shí)上，根據(jù)諧振子本征函數(shù)的特性，有具有宇稱，它實(shí)際上是空間反演算符的本征值。例2角動(dòng)量量子數(shù)時(shí)，本征態(tài)是不簡(jiǎn)并的。而，所以態(tài)必為（）的共同本征態(tài)。它們的本征值均為0。（b）設(shè)有簡(jiǎn)并，即，即是屬于的本征函數(shù)，簡(jiǎn)并度為。設(shè)已經(jīng)正交歸一化，即一般說(shuō)來(lái)，并不一定是的本征態(tài)（盡管）。但考慮到即仍為屬于本征值的本征態(tài)。但由于有簡(jiǎn)并，與并不描述同一狀態(tài)。因此根據(jù)方程解的性質(zhì)，應(yīng)是的線性疊加，其普遍表示應(yīng)為利用正交性，可知，前式告訴

6、我們，并非的本征態(tài)但可以作如下線性疊加，它們?nèi)詾榈谋菊鲬B(tài)，本征值為，因?yàn)榈欠袷堑谋菊鲬B(tài)，即通過(guò)這樣選擇能否滿足？下面證明，通過(guò)適當(dāng)?shù)淖兺ê螅鲜鰲l件是可以滿足的。因?yàn)槿缬叶丝梢詫懗芍T如的形式就可以。即實(shí)現(xiàn)這一點(diǎn)很容易得到滿足，只要令，上述目的就可以達(dá)到，此時(shí)上式可寫為這是關(guān)于的線性齊次方程組，關(guān)鍵是求。按照求解方程組的方案，有非平庸解（非0解）的沖要條件是左端是矩陣的行列式。這是關(guān)于的冪次的代數(shù)方程。由于，即，可以證明，方程有個(gè)實(shí)根。假定無(wú)重根，這些實(shí)根分別記為，。用根代入方程可求得疊加系數(shù)，。因而可以求得波函數(shù)這樣的波函數(shù)也有個(gè)，滿足就是要找的和的共同本征函數(shù)。總結(jié)：作業(yè)：P133 10,

7、12,134、力學(xué)量完全集設(shè)有一組彼此獨(dú)立又互相對(duì)易的厄米算符，它們共同的本征函數(shù)記為，是一組量子數(shù)的籠統(tǒng)記號(hào)（而不是某一個(gè)量子數(shù)，因?yàn)橛腥舾蓚€(gè)對(duì)易算符存在，有一組量子數(shù)，如）。設(shè)給定之后就能確定體系的一個(gè)可能狀態(tài)，則稱構(gòu)成體系的一組力學(xué)量完全集。按照態(tài)的疊加原理，體系的任何一個(gè)狀態(tài)都可以用展開（假定的本征值是分立的），即利用的正交歸一性，而從上式可得表示在任意態(tài)下測(cè)量得到的幾率。這是波函數(shù)統(tǒng)計(jì)解釋的最一般的表述。下面給出兩個(gè)一維體系的力學(xué)量完全集。例1一維諧振子的Hamitonian本身就構(gòu)成力學(xué)量完全集。其本征函數(shù)為，它們構(gòu)成體系的一組正交完備函數(shù)組。一維諧振子的任何一個(gè)態(tài)均可用它們來(lái)展開

8、，即。而代表在態(tài)下，測(cè)得振子能量為的幾率。例2 一維運(yùn)動(dòng)粒子，動(dòng)量本征態(tài)為按照Fourier展開定理，任何平方可積函數(shù)均可用平面波展開，即因此，動(dòng)量就構(gòu)成一個(gè)力學(xué)量完全集。對(duì)于三維粒子，則動(dòng)量的三個(gè)分量構(gòu)成力學(xué)量完全集。同樣，坐標(biāo)的三個(gè)分量也構(gòu)成一組力學(xué)量完全集。用一組力學(xué)量完全集的共同本征函數(shù)來(lái)展開任意態(tài)，數(shù)學(xué)上涉及完備性問(wèn)題：對(duì)于Fourier展開，完備性成立，即任何平方可積函數(shù)均可按共同本征函數(shù)系（平面波）展開；如果力學(xué)量完全集中包含有Hamitonian，的本征值又有下確界（最小值），則力學(xué)量完全集的共同本征函數(shù)構(gòu)成態(tài)空間的一組完備基矢。即體系的任何一個(gè)態(tài)均可以按照此基矢來(lái)展開。當(dāng)不顯

9、含時(shí)間時(shí)，這種力學(xué)量完全集稱為守恒量完全集。一個(gè)體系是否具有等于自由度數(shù)的守恒量個(gè)數(shù)是至關(guān)重要的，這是尋找守恒量完全集的關(guān)鍵所在。5、量子力學(xué)中力學(xué)量用厄米算符來(lái)表示本章我們討論了力學(xué)量和相應(yīng)的厄米算符表示。這是量子力學(xué)的基本原理之一。在量子力學(xué)中，力學(xué)量用厄米算符來(lái)表示的。含義是：（1）力學(xué)量和算符的對(duì)應(yīng)關(guān)系在本征態(tài)中的取值由本征值方程確定。（2）在任意態(tài)中，在本征值譜中取的幾率為。平均值，設(shè)已經(jīng)歸一化。實(shí)驗(yàn)上的可能取值必為某一本征值，且為實(shí)數(shù)。（3）力學(xué)量間的關(guān)系通過(guò)相應(yīng)算符的關(guān)系反映出來(lái)。例如，和同時(shí)具有確定值的必要條件是。若，則一般來(lái)說(shuō)和不能同時(shí)測(cè)定。特別是在不顯含時(shí)間t時(shí)，一個(gè)力學(xué)量

10、是否守恒，可根據(jù)是否為0來(lái)定。如前面講的宇稱算符是否為守恒量就可以這樣進(jìn)行判斷。§4.4 連續(xù)譜本征函數(shù)的歸一化 箱歸一化 1、連續(xù)譜本征函數(shù)是不能歸一化的量子力學(xué)中常見(jiàn)的力學(xué)量：坐標(biāo)、動(dòng)量 取值可連續(xù) 角動(dòng)量 取值分立 能量 二者兼而有之但連續(xù)譜的本征函數(shù)不能歸一化。以動(dòng)量本征態(tài)為例：一維粒子動(dòng)量本征值為的本征函數(shù)是平面波可取區(qū)間的一切值，只要，且平面波不是平方可積的，因?yàn)楸硎編茁拭芏?，處處相同。只要，總幾率一定。任何真?shí)的波函數(shù)一定是某種形式定域的波包（而不是嚴(yán)格的平面波）。在實(shí)驗(yàn)上，這種波包可以視為平面波的疊加，并不存在歸一問(wèn)題。如果此波包的廣延比問(wèn)題的特征長(zhǎng)度大得多，而粒子在

11、各點(diǎn)出現(xiàn)的幾率（或幾率幅）變化很小，這時(shí)可以用平面波近似。平面波僅僅是理論模型。2、函數(shù)Dirac的函數(shù)定義為同時(shí)，（小量）在連續(xù)的任何函數(shù)在處都有定義按照Fourier積分公式(見(jiàn)數(shù)理方法“Fourier積分公式”部分內(nèi)容),對(duì)于分段連續(xù)函數(shù)，有比較以上兩式，有因此，若取動(dòng)量本征態(tài)為則有（第一步用積分表示，第二步用到了）。這樣平面波的歸一化就用函數(shù)的形式表示。坐標(biāo)的本征態(tài)也是不能歸一化的，可用類似的方法處理。利用函數(shù)的性質(zhì)，有則有這實(shí)際上是關(guān)于坐標(biāo)算符 x 的本征值方程，記此時(shí)也是用函數(shù)來(lái)表示其歸一化。3、箱歸一化平面波的“歸一化”問(wèn)題還可采用數(shù)學(xué)上傳統(tǒng)的的作法，即先讓粒子局限于有限空間-L/2，L/2中運(yùn)動(dòng)，最后讓L。為保證動(dòng)量算符為厄米算符，要求波函數(shù)滿足周期性邊界條件，即（見(jiàn)教材附注）設(shè)動(dòng)量本征態(tài)，為把其表為周期函數(shù)（Fourier級(jí)數(shù)），特作周期延拓（偶延拓），即相除，得，或，。，或粒子波長(zhǎng)，即。由可以看出，只要，動(dòng)量取值就是不連續(xù)的。此時(shí)，與相應(yīng)的動(dòng)量本征態(tài)可以寫為上述波函數(shù)滿足正交歸一條件這種歸一化稱為“箱歸一化”，以區(qū)別于分立譜本征函數(shù)的歸一化。函數(shù)可以用任一正交完備函數(shù)組表示。利用上面給出的正交歸一完備函數(shù)可以構(gòu)成如下的函數(shù)由于，讓，則動(dòng)量允許值趨于