第一章函數(shù)的極限與函數(shù)的連續(xù)性

1、第一章 函數(shù)的極限與函數(shù)的連續(xù)性一、學(xué)習(xí)目的與要求1、了解函數(shù)極限的定義，會用它證明一些簡單函數(shù)的極限。2、了解無窮小，無窮大的概念。掌握無窮小的比較。3、掌握極限運算法則；了解兩個極限存在準(zhǔn)則；會用兩個重要極限求極限。4、加深理解函數(shù)在一點連續(xù)的概念，會討論函數(shù)的連續(xù)性，會判斷間斷點的類型。5、了解在閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)。二、學(xué)習(xí)重點函數(shù)極限的概念及計算三、內(nèi)容提要1、數(shù)列極限與函數(shù)極限（I）概念綜述類型定義式說明趨于定值為有限值，為與之并趨于無窮大將“”換作“+”或“-”時，則得到正無窮大，負無窮大的定義。（II）極限的主要性質(zhì)設(shè)表示數(shù)列變量或函數(shù)變量，在同一個極限過程中該極限過程可以是

2、數(shù)列極限或函數(shù)極限中的任一種,A、B、是常數(shù)，則極限有以下性質(zhì)。運算性質(zhì)線性規(guī)則：乘積規(guī)則：商規(guī)則：比較性質(zhì)（1）若，則（2）若，則在某個范圍X上有有界性質(zhì)（1）若收斂，則有界（2）若，則在某個范圍X上有界。存在性質(zhì)（1）單調(diào)有界準(zhǔn)則：單調(diào)有界數(shù)列必是收斂數(shù)列。（2）夾逼準(zhǔn)則：若，且、趨于A，則亦趨于A（三個變量、極限過程相同）。 注 的形式與極限過程相關(guān)，當(dāng)、是數(shù)列時，是某個自然數(shù)；當(dāng)、是函數(shù)變量，極限過程是時，極限過程是，其余類推。 （III）基本極限公式，不存在不存在， 不存在。 （IV）極限之間的聯(lián)系（1）（2）（3）對任意趨于的數(shù)列，有2無窮小量與無窮大量 （I）概念無窮小量 在指定

3、極限過程中以零為極限的變量無窮大量 在指定極限過程中趨于無窮大的變量 表示是較高階的無窮小量，即 表示與是同階的無窮小量，即是非零常數(shù)。 表示與是等價無窮小量，即無窮小的主部 設(shè)為常數(shù)，若，則說 的主部，稱作基本無窮小，稱作關(guān)于的階數(shù)。（II）運算性質(zhì)設(shè)、是無窮小量，為有界變量，為無窮大量，且在同一極限過程下考慮運算，有（1）均是無窮小量。（2）均是無窮大量。（III）等價無窮小替換原理設(shè)，則。（IV）常用等價替換公式在尋求無窮小量的等價基本無窮小時，可依據(jù)以下公式與結(jié)果（其中、可以是函數(shù)變量如，也可以是數(shù)列，如等等）；積與商 若，則和常用公式 設(shè)，則3函數(shù)的連續(xù)性（I）概念在一點連續(xù) 函數(shù)在

4、的某個領(lǐng)域。 在一點左（右）連續(xù) 函數(shù)在的某個左（右）鄰域 上有定義，且 在連續(xù) 函數(shù)內(nèi)的每個點連續(xù)。在上連續(xù) 函數(shù)在連續(xù)，且在左端點右連續(xù)，右端點左連續(xù)。間斷點 當(dāng)不成立時，稱于處間斷，間斷點可分為以下幾種類型： 名稱 特 征第一類可去間斷點與均存在不等跳躍間斷點第二類與至少有一個不存在（II）主要性質(zhì)（1）若均在點連續(xù)，則 也在點連續(xù)；若有定義，連續(xù)，在連續(xù)，則在連續(xù)。（2）局部保號性 若在連續(xù),的某鄰域（3）若的反函數(shù)為，且在連續(xù)，則 連續(xù)。（4）基本初等函數(shù)在其定義域內(nèi)連續(xù)，初等函數(shù)在其定義區(qū)間內(nèi)連續(xù)。（III）閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)設(shè)函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，則有（1）在上有界并取得最大值

5、與最小值（最值定理）。（2）若則存在（零點存在定理）。（3）若實數(shù)在之間，則存在（介值定值）。（4）上一致連續(xù)，即任給時便有。四、思考題1、在函數(shù)極限的定義中，回答下列問題:（1）為什么要任意給定？（2）對于給定的，對應(yīng)的是否唯一？若不唯一，是否要找其中最小的？（3）定義中兩個不等式0<x-x0<,<各表示什么意思，它們之間有什么聯(lián)系？2、若極限存在，問：（1）在x=x0處是否一定有定義？（2）在x=x0附近是否有界？3、若存在，不存在，問：（1）是否一定不存在？（2）是否一定不存在？4、下列說法是否正確，為什么？（1）若函數(shù)在點x0有極限，則在點x0連續(xù)；（2）函數(shù)在定義域

6、內(nèi)必處處連續(xù)；（3）函數(shù)在一點處左右極限都存在而且相等，則此點一定是函數(shù)的可去間斷點；（4）若函數(shù)在（a,b）連續(xù)，則在（a,b）內(nèi)函數(shù)存在著最大值和最小值。5、設(shè)和在x0點處連續(xù)，問和在x0點是否連續(xù)？五、典型例題分析例1 設(shè)，求的最大值.解 這道題用作圖法最簡單，如圖所示，在同一坐標(biāo)系下，作三直線，從圖上可見，因此，的最大值是 例2 利用定義證明分析 ，為使<，只需<，即<2，取=2即可。證 對于任給的>0，存在=2，當(dāng)0<<時恒成立，所以 例3 求分析 在極限運算中，運用恒等變換是個重要的手段，尤其是分子分母的極限都是零時（稱型），或都是無窮大時（稱型

7、），不能直接用極限運算法則，總要先作恒等變換。本題是“”型的極限，可將原分子、分母有理化，再消去極限為零的因子。解 =例4 求分析 這是屬于“”型的極限，不能直接用極限的四則運算法則，而往往利用通分、乘共軛因式或三角恒等變形等方法，變?yōu)椤啊毙突颉啊毙?，再求極限。解 =例5 判斷函數(shù)當(dāng)x0時極限的存在性分析 當(dāng)x0時，是以任何方式趨于零，所以應(yīng)考慮x0-，x0+兩種情況，才能作出判斷。解 當(dāng)x0-時，于是當(dāng)x0+時，于是，所以不存在例6 求a的值，使函數(shù)在x=0處的極限存在。分析 函數(shù)當(dāng)xx0時極限存在的充要條件是左極限和右極限各自存在且相等，即這一結(jié)論是求極限以及證明極限不存在的有力工具，特別

8、是求分段函數(shù)在分段點處的極限時用得較多。解 因為，所以 當(dāng)a=1時，例7 求分析 由于極限過程是x0，分式含三角函數(shù)，屬“”型，因而想到應(yīng)用重要極限。解 =在以上解題過程中，運用了等價無窮小替代以求極限，應(yīng)熟記以下公式：當(dāng)x0時，sinxxtanxarcsinxln(1+x)ex-1，1-cosx，另外必須注意的是，應(yīng)該用分子或分母的整體或部分因子的等價無窮小進行代替。例8 求分析 極限過程是x，屬“”型，因而容易想到應(yīng)用重要極限。解法1 =解法2 = =例9 求分析 此題屬“”型，可先作恒等變換將其化為“”型或“”型，再求極限。解 = =例10 求分析 當(dāng)x-時，arctanx，所以極限屬“

9、”型，一時不知如何下手。如果利用變量代換為三角函數(shù)的極限，也許有可能求得極限。解 令actanx=y，則x=tany。當(dāng)x時，y。 = =1·（-1）= -1例11 求下列函數(shù)的間斷點，并指出間斷點的類型：（1）； （2）分析 如何求一個函數(shù)的間斷點？如果所考慮的函數(shù)是初等函數(shù)，則其無定義的點（在此點的任何鄰域內(nèi)總有異于它而屬于函數(shù)定義域的點）就是間斷點；如果是分段函數(shù)，則分段點可能為間斷點。如何判斷間斷點的類型？對于分段函數(shù)的分段點，常用左、右極限去判斷；如果間斷點是使函數(shù)表達式中分式的分母為零的點，則要注意該點是否也使分子為零，如果是這樣，該點很可能是可去間斷點。解（1）在=0處

10、，無定義，在=0的任何鄰域內(nèi)均有異于0而屬于的定義域的點，所以=0是的間斷點。由于 ， 所以x=0是的第一類不可去間斷點，即跳躍間斷點。（2）這是一個分段函數(shù)，x=0是分段點。由于 ，所以x=0是的第一類不可去間斷點，即跳躍間斷點。當(dāng)x>0時，它在x=2的任何鄰域內(nèi)均有異于x=2 而屬于函數(shù)定義域的點，所以x=2是函數(shù)的間斷點。又由不存在，所以x=2是函數(shù)的第二類間斷點。當(dāng)x<0時，顯然= -1，-3，-5，是函數(shù)的間斷點，又由于 ，所以x= -1是的可去間斷點，又由于當(dāng)x0= -3，-5，時，所以x= -3，-5，都是函數(shù)的無窮間斷點。例12 討論函數(shù)的連續(xù)性，若有間斷點試判別其

11、類型。分析 由于函數(shù)是在時的表達式，因此在求極限時，需要考慮x的取值情況，然后再考慮有無間斷點。解下面判別函數(shù)的間斷點。 因為 所以x=1是的第一類不可去間斷點。 因為 所以x= -1是的第一類不可去間斷點。例13 若函數(shù)在a,b上連續(xù)，a<x1<x2<<xn<b，則在x1,xn上必有一點，使得 分析 因為在a,b上連續(xù)，所以在x1,xn上連續(xù)，且在x1,xn上取得最大值和最小值，并且 ，將以上各式對應(yīng)相加，運用介值定理即可得到證明。證 設(shè)在x1,xn上的最大值為，最小值為，則M, m,。將這個不等式對應(yīng)相加，得即 因為函數(shù)在x1,xn上連續(xù)，由介值定理推論得知，在x1,xn上必有一點，使。例14 證明方程 x=sinx+2至少有一個不超過3的正根。分析 若能找到a,b兩點，使，則利用閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的零點定理，可知必有一點(a,b)，使f()=0，就是方程=0的根。本題可取=x-sin