第九節(jié) 連續(xù)函數(shù)的運(yùn)算與初等函數(shù)的連續(xù)性

1、 第九節(jié) 連續(xù)函數(shù)的運(yùn)算與初等函數(shù)的連續(xù)性 教學(xué)目的：使學(xué)生了解連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)和初等函數(shù)的連續(xù)性；并會(huì)應(yīng)用函數(shù)的連續(xù)性求函數(shù)的極限 教學(xué)重點(diǎn)：應(yīng)用函數(shù)的連續(xù)性求函數(shù)的極限 教學(xué)過程： 一、復(fù)習(xí)函數(shù)的連續(xù)性定義、間斷點(diǎn)的分類 二、講解新課：（一）連續(xù)函數(shù)的運(yùn)算定理1(連續(xù)函數(shù)的四則運(yùn)算法則)：若均在連續(xù)，則及（要求）都在連續(xù)。定理2（反函數(shù)的連續(xù)性）：如果在區(qū)間上單值，單增（減），且連續(xù)，那么其反函數(shù)也在對(duì)應(yīng)的區(qū)間上單值，單增（減），且連續(xù)。注1：亦為的反函數(shù)，如上知：在上有上述性質(zhì)。定理3：設(shè)當(dāng)時(shí)的極限存在且等于，即，又設(shè)在處連續(xù)，那么，當(dāng)時(shí)，復(fù)合函數(shù)的極限存在，且等于，即。注2：可類似討論時(shí)

2、的情形。定理4：設(shè)函數(shù)在點(diǎn)連續(xù)，且，函數(shù)在點(diǎn)連續(xù)，那么，復(fù)合函數(shù)在點(diǎn)處連續(xù)。注3：定理3、4說明與的次序可交換。注4：在定理3中代入，即得定理4?！纠?】 由于（為正整數(shù)）在上嚴(yán)格單調(diào)且連續(xù)，由定理2，其反函數(shù) 在上也嚴(yán)格單調(diào)且連續(xù)，進(jìn)而：對(duì)于有理冪函數(shù)（為正整數(shù)）在定義上是連續(xù)的?！纠?】求解：因?yàn)?，及在點(diǎn)連續(xù)，故由定理3，原式。（二） 初等函數(shù)的連續(xù)性我們已知道在其定義域內(nèi)是連續(xù)的，由定理2知和在其定義域也是連續(xù)的?？勺C明指數(shù)函數(shù)，在其定義域內(nèi)是嚴(yán)格單調(diào)且連續(xù)的，進(jìn)而有對(duì)數(shù)函數(shù)在其定義域是連續(xù)的。又（為常數(shù)），由定理4知：在內(nèi)是連續(xù)的，當(dāng)取有理數(shù)時(shí)，見例1，總之在定義域內(nèi)是連續(xù)的。綜合以上結(jié)果，得：基本初等函數(shù)在其定義域內(nèi)都是連續(xù)的，由基本初等函數(shù)的連續(xù)性，及定理14，即得：結(jié)論：一切初等函數(shù)在其定義區(qū)間內(nèi)都是連續(xù)的。注1：定義區(qū)間為包含在定義域內(nèi)的區(qū)間； 2：在§1.9，我們是用極限來證明連續(xù)，現(xiàn)在可利用函數(shù)的