初中數(shù)學(xué)青島版九年級上冊第二章2.4同步練習(xí)(解析版）

1、初中數(shù)學(xué)青島版九年級上冊第二章2.4同步練習(xí)一、選擇題1. 如圖，在4×4的網(wǎng)格中，每格小正方形的邊長都是1，若ABC的三個頂點(diǎn)在圖中相應(yīng)的格點(diǎn)上，則cosACB的值為()A. 255B. 12C. 2D. 552. 如圖，在RtABC中，ACB=90°，tanB=34，CD為AB邊上的中線，CE平分ACB，則AEAD的值()A. 35B. 34C. 45D. 673. 如圖，正方形ABCD中，點(diǎn)E在邊BC上，且CE=2BE.連接BD、DE、AE，且AE交BD于F，OG為BDE的中位線：下列結(jié)論：BD=4OF，SABE=3SODG，CD=5OG，sinBFE=255.其中正

2、確結(jié)論的個數(shù)是()A. 1B. 2C. 3D. 44. 如圖，在正方形ABCD中，對角線AC，BD相交于點(diǎn)O，點(diǎn)E在BC邊上，且CE=2BE，連接AE交BD于點(diǎn)G，過點(diǎn)B作BFAE于點(diǎn)F，連接OF并延長，交BC于點(diǎn)M，過點(diǎn)O作OPOF交DC于占N，S四邊形MONC=94，現(xiàn)給出下列結(jié)論：GEAG=13；sinBOF=31010；OF=355；OG=BG；其中正確的結(jié)論有()A. B. C. D. 5. 如圖，在矩形ABCD中，AB=13，BC=8，E為AB上一點(diǎn)，BE=8，P為直線CD上的動點(diǎn)，以PQ為斜邊作RtPDQ，交直線AD于點(diǎn)Q，且滿足PQ=10，若F為PQ的中點(diǎn)，連接CE，CF，則當(dāng)

3、ECF最小時，tanECF的值為()A. 59B. 49C. 817D. 7176. 如圖，在ABC中，AB=18，BC=15，cosB=35，DE/AB，EFAB，若DEAF=12，則BE長為()A. 7.5B. 9C. 10D. 57. 如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，矩形ABCD的頂點(diǎn)A在x軸的正半軸上，矩形的另一個頂點(diǎn)D在y軸的正半軸上，矩形的邊AB=a，BC=b，DAO=x，則點(diǎn)C到x軸的距離等于()A. acosx+bsinxB. acosx+bcosxC. asinx+bcosxD. asinx+bsinx8. 如圖，在四邊形ABCD中(AB>CD)，ABC=BCD=90&

4、#176;，AB=3，BC=3，把RtABC沿著AC翻折得到RtAEC，若tanAED=32，則線段DE的長度()A. 63B. 73C. 32D. 2759. 如圖，RtABC中，C=90°，點(diǎn)D在AC上，DBC=A.若AC=4，cosA=45，則BD的長度為()A. 94B. 125C. 154D. 410. 如圖，在4×5的正方形網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長都是1，ABC的頂點(diǎn)都在這些小正方形的頂點(diǎn)上，那么sinACB的值為()A. 355B. 175C. 35D. 45二、填空題11. 如圖所示，在四邊形ABCD中，B=90°，AB=2，CD=8.連接AC，

5、ACCD，若sinACB=13，則AD長度是_12. 如圖，在ABC中，AB=AC，BD是AC邊上的中線，AEBC，垂足為點(diǎn)E，交BD于F，cosABC=513，AB=13.則tanDBC的值為_13. 如圖，在5×5的正方形網(wǎng)格中，點(diǎn)A，B，C都在格點(diǎn)上，則sinBAC的值等于_14. 已知在菱形ABCD中，A=60°，DE/BF，sinE=45，DE=6，EF=BF=5，則菱形ABCD的邊長=_三、解答題15. 如圖E、F分別為正方形ABCD的邊DC、BC的中點(diǎn)(1)求證：ADEABF；(2)若AB=4，求cosAEF的值16. 如圖，在四邊形ABCD中，AB=8，BC

6、=3，CD=5，BCD=120°，ADC+ABC=180°(1)求BCD的面積；(2)求cosADB17. 在RtABC中，C=90°，BC=3，AB=5，求A的正弦、余弦、正切的值答案和解析1.【答案】D【解析】解：AB2=22+22=8，BC2=12+12=2，AC2=12+32=10，AB2+BC2=AC2，ABC是直角三角形，且ABC=90°，則cosACB=BCAC=210=55，故選：D先根據(jù)勾股定理逆定理判定ABC為直角三角形，再利用余弦函數(shù)的定義求解可得本題主要考查解直角三角形，解題的關(guān)鍵是掌握勾股定理逆定理及余弦函數(shù)的定義2.【答案】D

7、【解析】解：如圖，過點(diǎn)E和點(diǎn)D作EFAC，DGAC于點(diǎn)F和G，EF/DG，AEAD=EFDG，CE平分ACB，ECF=12ACB=45°，EFC=90°，F(xiàn)EC=45°，EF=FC，AF=ACFC=ACEF，CD為AB邊上的中線，DG/BC，DG=12BC，EF/BC，AEF=B，tanAEF=tanB=34，AFEF=34，即ACEFEF=34，解得EF=47AC，ACBC=34，BC=43AC，EFDG=EF12BC=47AC12×43AC=67AEAD=EFDG=67故選：D如圖，過點(diǎn)E和點(diǎn)D作EFAC，DGAC于點(diǎn)F和G，可得EF/DG/BC，根

8、據(jù)已知條件和兩條直線平行對應(yīng)邊成比例可得EF=47AC，根據(jù)三角函數(shù)可得BC=43AC，進(jìn)而可求結(jié)果本題考查了解直角三角形、直角三角形斜邊上的中線，解決本題的關(guān)鍵是掌握銳角三角函數(shù)3.【答案】C【解析】解：CE=2BE，BECE=12，BEBC=13四邊形ABCD是正方形，AB=BC=CD=DA，AD/BC，BFEDFA，BFDF=13，O是BD的中點(diǎn)，G是DE的中點(diǎn)，OB=OD，OG=12BE，BF=OF，BD=4OF，故正確OG=16BC=16CD，即CD=6OG，錯誤，OG=12BE，SODGSABF=14，設(shè)SODG=a，則SBED=4a，SBEF=a，SAFB=3a，SABE=3SO

9、DG，正確連接OA，OA=OB=2OF，OABD，由勾股定理得；AF=5OF，sinAFD=sinBFE=OAAF=2OF5OF=255，正確，故選：C由條件四邊形ABCD是正方形可以得出AB=BC=CD=DA，AD/BC，通過作輔助線制造直角三角形可以求出正弦值，利用三角形相似可以求出線段之間的關(guān)系，平行線的性質(zhì)就可以求出相應(yīng)的結(jié)論此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)以及正方形的性質(zhì)，三角形中位線的性質(zhì)以及平行線的性質(zhì)等知識此題綜合性很強(qiáng)，圖形比較復(fù)雜，解題的關(guān)鍵是注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用與輔助線的準(zhǔn)確選擇4.【答案】D【解析】解：如圖，過點(diǎn)O作OH/BC交AE于點(diǎn)H，過點(diǎn)O作OQBC交BC于點(diǎn)Q

10、，過點(diǎn)B作BKOM交OM的延長線于點(diǎn)K，四邊形ABCD是正方形，OB=12BD,OC=12AC,AC=BD,OBM=OCN=45°,OBOC,AD/BC，OB=OC，BOC=90°，BOM+MOC=90°OPOF，MON=90°，CON+MOC=90°，BOM=CON，BOMCON(ASA)，SBOM=SCON，S四邊形MONC=SBOC=12OBOC=94，OB=OC=322，BC=322×2=3CE=2BE，BE=13BC=1，AE=AB2+BE2=10BFAE，12AEBF=12ABME，BF=31010，AF=AB2BF2=9

11、1010，HF=2105,EF=1010，OFFM=HFEF=OHME=4，ME=14OH=14×1=14，BM=34,BQ=34AD/BC，GEAG=BEAD=13，故正確；OH/BC，OHEC=AOAC=AHAE=12,HOG=GBE，OH=ME,AH=HE=102HGO=EGB，HOGEBG，OG=BG，故正確；OQ2+MQ2=OM2，OM=OQ2+MQ2=354，OF=354×45=355，故正確；12OMBK=12BMOQ，即12×354BK=12×34×32，BK=3510，sinBOF=BKOB=1010，故錯誤；正確的有故選：D

12、直接根據(jù)平行線分線段成比例即可判斷正誤；過點(diǎn)O作OH/BC交AE于點(diǎn)H，過點(diǎn)O作OQBC交BC于點(diǎn)Q，過點(diǎn)B作BKOM交OM的延長線于點(diǎn)K，首先根據(jù)四邊形MONC的面積求出正方形的邊長，利用勾股定理求出AE，AF，EF的長度，再利用平行線分線段成比例分別求出OM，BK的長度，然后利用sinBOF=BKOB即可判斷；利用平行線分線段成比例得出OFFM=4，然后利用勾股定理求出OM的長度，進(jìn)而OF的長度可求；直接利用平行線的性質(zhì)證明HOGEBG，即可得出結(jié)論本題主要考查了四邊形綜合，熟練掌握正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定及性質(zhì)，平行線分線段成比例和銳角三角函數(shù)是解題的關(guān)鍵5.【答案】D【解析】解：

13、連接DF，延長CF與DQ交于點(diǎn)M，連接EM，過E點(diǎn)作ENCF于點(diǎn)N，F(xiàn)是PQ的中點(diǎn)，PDQ=90°，DF=12PQ=12×10=5，當(dāng)CF為以D為圓心，5為半徑的圓相切時，ECF最小，此時DFCF，CF=CD2DF2=13252=12，CDM=CFD=90°，DCF=MCD，CDFCMD，CDCM=CFCD，即13CM=1213，CM=16912，MF=CMCF=2512，DM=DF2+MF2=6512，AM=ADDM=86512=3112，BE=8，AE=138=5，SCEM=S矩形ABCDSAEMSCDMSBCE=13×812×5×

14、;311212×13×651212×8×8=913，12CMEN=913，即12×16912EN=913，EN=5613，CE=BC2+BE2=82，CN=CE2EN2=13613tanECF=ENCN=5613×13136=717故選：D連接DF，延長CF與DQ交于點(diǎn)M，連接EM，過E點(diǎn)作ENCF于點(diǎn)N，由直角三角形斜邊上的中線定理可知點(diǎn)F點(diǎn)始終在以D為圓心，5為半徑的圓上，故當(dāng)CF為以D為圓心，5為半徑的圓相切時，ECF最小，求出此時的EN和CN的長度便可解決問題本題是矩形的一個綜合題，主要考查了矩形的性質(zhì)，勾股定理，解直角三角形

15、，三角形的面積公式，圓的性質(zhì)，本題難度，關(guān)鍵是確定ECF最小時F點(diǎn)的位置，計算量也大，對計算能力要求較高6.【答案】C【解析】解：設(shè)DE=x，則AF=2x，BF=182x，EFAB，EFB=90°，cosB=BFBE=35，BE=53(182x)，DE/AB，DEAB=ECCB，x18=1553(182x)15，x=6，BE=53(1812)=10，故選：C設(shè)DE=x，則AF=2x，BF=182x，利用平行線分線段成比例定理構(gòu)建方程即可解決問題本題考查相似三角形的判定和性質(zhì)，解直角三角形等知識，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識，屬于中考常考題型7.【答案】A【解析】解：作CEy軸于E，如

16、圖：四邊形ABCD是矩形，CD=AB=a，AD=BC=b，ADC=90°，CDE+ADO=90°，AOD=90°，DAO+ADO=90°，CDE=DAO=x，sinDAO=ODAD，cosCDE=DECD，OD=AD×sinDAO=bsinx，DE=D×cosCDE=acosx，OE=DE+OD=acosx+bsinx，點(diǎn)C到x軸的距離等于acosx+bsinx；故選：A作CEy軸于E，由矩形的性質(zhì)得出CD=AB=a，AD=BC=b，ADC=90°，證出CDE=DAO=x，由三角函數(shù)定義得出OD=bsinx，DE=acosx

17、，進(jìn)而得出答案本題考查了矩形的性質(zhì)、坐標(biāo)與圖形性質(zhì)、三角函數(shù)定義等知識；熟練掌握矩形的性質(zhì)和三角函數(shù)定義是解題的關(guān)鍵8.【答案】B【解析】解：方法一：如圖，延長ED交AC于點(diǎn)M，過點(diǎn)M作MNAE于點(diǎn)N，設(shè)MN=3m，tanAED=32，MNNE=32，NE=2m，ABC=90°，AB=3，BC=3，CAB=30°，由翻折可知：EAC=30°，AM=2MN=23m，AN=3MN=3m，AE=AB=3，5m=3，m=35，AN=95，MN=335，AM=635，AC=23，CM=ACAM=435，MN=335，NE=2m=65，EM=MN2+EN2=375，ABC=B

18、CD=90°，CD/AB，DCA=30°，由翻折可知：ECA=BCA=60°，ECD=30°，CD是ECM的角平分線，SCEDSCMD=EDMD=CECM，3435=ED375ED，解得ED=73方法二：如圖，過點(diǎn)D作DMCE，由折疊可知：AEC=B=90°，AE/DM，ACB=60°，ECD=30°，AED=EDM，設(shè)EM=3m，由折疊性質(zhì)可知，EC=CB=3，CM=33m，tanMCD=DMCM=2m33m=33，解得m=13，DM=23，EM=33，在直角三角形EDM中，DE2=DM2+EM2，解得DE=73故選：B方

19、法一，延長ED交AC于點(diǎn)M，過點(diǎn)M作MNAE于點(diǎn)N，設(shè)MN=3m，根據(jù)已知條件和翻折的性質(zhì)可求m的值，再證明CD是ECM的角平分線，可得SCEDSCMD=EDMD=CECM，進(jìn)而可得ED的長方法二，過點(diǎn)D作DMCE，首先得到ACB=60度，ECD=30度，再根據(jù)折疊可得到AED=EDM，設(shè)EM=3m，由折疊性質(zhì)可知，EC=CB，在直角三角形EDM中，根據(jù)勾股定理即可得DE的長本題考查了翻折變換、勾股定理、解直角三角形，解決本題的關(guān)鍵是綜合運(yùn)用以上知識9.【答案】C【解析】解：C=90°，AC=4，cosA=45，AB=ACcosA=5，BC=AB2AC2=3，DBC=AcosDBC=

20、cosA=BCBD=45，BD=3×54=154，故選：C在ABC中，由三角函數(shù)求得AB，再由勾股定理求得BC，最后在BCD中由三角函數(shù)求得BD本題主要考查了勾股定理，解直角三角形的應(yīng)用，關(guān)鍵是解直角三角形10.【答案】D【解析】解：如圖，過點(diǎn)A作AHBC于H在RtACH中，AH=4，CH=3，AC=AH2+CH2=42+32=5，sinACH=AHAC=45，故選：D如圖，過點(diǎn)A作AHBC于H.利用勾股定理求出AC即可解決問題本題考查解直角三角形，解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加常用輔助線，構(gòu)造直角三角形解決問題11.【答案】10【解析】解：在RtABC中，AB=2，sinACB=ABAC=1

21、3，AC=2÷13=6在RtADC中，AD=AC2+CD2=62+82=10故答案為：10根據(jù)直角三角形的邊角間關(guān)系，先計算AC，再在直角三角形ACD中，利用勾股定理求出AD本題考查了解直角三角形和勾股定理，利用直角三角形的邊角間關(guān)系，求出AC是解決本題的關(guān)鍵12.【答案】45【解析】解：過點(diǎn)D作DGBC于點(diǎn)G，AB=AC=13，cosABC=513，BE=5，由勾股定理可知：AE=12，AEBC，BE=EC=5，D是AC的中點(diǎn)，DG/AE，DG是AEC的中位線，DG=12AE=6，EG=12CE=52，BG=152，在RtBDG中，tanDBC=DGBG=1215=45，故答案為：

22、45過點(diǎn)D作DGBC于點(diǎn)G，易求得AB=AC=13，AE=6，BE=CE=5，然后利用中位線的性質(zhì)即可求出DG=6，最后利用銳角三角函數(shù)的定義即可求出答案本題考查解直角三角形，解題的關(guān)鍵是熟練運(yùn)用勾股定理以及銳角三角函數(shù)的定義，本題屬于中等題型13.【答案】31010【解析】解：如圖，連接BC，過點(diǎn)B作BDAC于D則可得AC=2，BC=5，AB=5，BC=AB，BDAC于D，AD=12AC=22在RtABD中，由勾股定理，得BD=AB2AD2=322，sinBAC=BDAB=3225=31010故答案為：31010連接BC，作BDAC于D，利用勾股定理可得AC=2，BC=5，AB=5，再根據(jù)等

23、腰三角形三線合一的性質(zhì)得出AD=12AC=22，在RtABD中利用勾股定理求出BD，從而可得sinBAC的值此題考查了解直角三角形，勾股定理，等腰三角形的性質(zhì)，銳角三角函數(shù)，解答本題的關(guān)鍵是作出輔助線構(gòu)造直角三角形14.【答案】45【解析】解：連接BD，過B作BG/EF交DE的延長線于G，DEF=F，EG/BF，四邊形BFEG是平行四邊形，EF=BF，四邊形BFEG是菱形，EG=BG=EF=BF=5，DG=6+5=11，EF/BG，G=DEF，過D作DHGB交GB的延長線于H，DHG=90°，sinDEF=sinG=DHDG=45，DH=445，GH=335，BH=GHBG=85，B

24、D=BH2+DH2=(85)2+(445)2=45，在菱形ABCD中，A=60°，ABD是等邊三角形，AB=BD=45，故答案為：45連接BD，過B作BG/EF交DE的延長線于G，根據(jù)菱形的判定和性質(zhì)以及解直角三角形求得BD，判斷ABD是等邊三角形，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)即可得出菱形ABCD的長本題考查了菱形的性質(zhì)及勾股定理的知識，解答本題的關(guān)鍵是作出輔助線，構(gòu)造直角三角形15.【答案】解：(1)四邊形ABCD是正方形，AD=AB=DC=BC，D=B=C=90°，E、F分別為正方形ABCD的邊DC、BC的中點(diǎn)，DE=12DC，BF=12BC，DE=BF，在ADE和ABF中，A

25、D=ABD=BDE=BF，ADEABF(SAS)；(2)過點(diǎn)A作AMEF，垂足為點(diǎn)M，ADEABF，AE=AF，EM=FM，由勾股定理可得：AE=42+22=25，EF=22+22=22，EM=2，cosAEF=EMAE=225=1010【解析】(1)由正方形的性質(zhì)和已知條件利用SAS即可證明ADEABF；(2)過點(diǎn)A作AMEF，垂足為點(diǎn)M，利用勾股定理分別求出AE，EF的長，即可求出cosAEF的值本題考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用以及求銳角三角函數(shù)值等有關(guān)問題仔細(xì)分析圖形并作出輔助線構(gòu)造出直角三角形是解題的關(guān)鍵16.【答案】解：(1)過點(diǎn)D作DEBC交BC的延長線于E，BCD=120&