一元一次方程講義(錢偉杰)

1、澤仕學(xué)堂上海中小學(xué)課外輔導(dǎo)專家澤仕學(xué)堂學(xué)科教師輔導(dǎo)講義學(xué)員姓名：錢偉杰輔導(dǎo)科目：數(shù)學(xué)年級：初一學(xué)科教師：張先安授課日期及時段課題一兀一次方程重點(diǎn)、難點(diǎn)、考點(diǎn)對于實(shí)際應(yīng)用問題如何用一元一次方程求解的問題學(xué)習(xí)目標(biāo)1會解一兀一次方程和方程組2對實(shí)際應(yīng)用問題能用一元一次方程求解教學(xué)內(nèi)容01、一兀一次方程的概念1、等式： 疋義：用表示關(guān)系的式子叫做等式。 下列各組中是等式的是（）2 1A、x 3 7B、2 = 3C、2x 3x + D、2a1 = bx2、方程 定義：含有的等式叫做方程 下列各組中是方程的是（）X + 1A、x 式7B、2漢（-3） = -6C、2（x23）XD、1=333、一兀一次方程

2、定義：整理后，只含有未知數(shù)，并且未知數(shù)的次數(shù)是的方程，叫做一元一次方程。下列各組中是一元一次方程的是（）r1A、xy7B、2x296C、2（x3）10D、-3下列各組中是一元一次x -2方程的是（）2A、-3B、2（3xT）6x 0x +1C、2(x -3)=y2 2D、x -(X X ) = 3 已知關(guān)于x的方程（k-2）xk5=3k是一元一次方程，則 k=（）A、土 2 B 、2 C 、一 2 D 、土 1 已知（m2 -4）x2 -（m -2）x 6 = 0是關(guān)于x的一元一次方程，則 m=02、方程的解 定義：使方程左右兩邊的值的未知數(shù)的值叫做方程的解，只含有未知數(shù)的方程的解又稱為方程的

3、根。)D、一 5 若x = 1是方程ax 3x = 2的解，則a的值是（A、一 1B、5C、1 下列方程中根是 y = -2的是（）C、2(y2) =0D、2y 2 =0澤仕學(xué)堂教務(wù)處3澤仕學(xué)堂上海中小學(xué)課外輔導(dǎo)專家澤仕學(xué)堂教務(wù)處#澤仕學(xué)堂上海中小學(xué)課外輔導(dǎo)專家以下判斷正確的是（）A、x = -1是方程2x 1=3的解t 一1C、t =1是方程0的解31B、y = 2是方程 y -1 =3y -2的解2D、x=4 是方程 5-3x=2(1-x)的解澤仕學(xué)堂教務(wù)處#澤仕學(xué)堂上海中小學(xué)課外輔導(dǎo)專家澤仕學(xué)堂教務(wù)處#澤仕學(xué)堂上海中小學(xué)課外輔導(dǎo)專家03、等式的性質(zhì) 等式的性質(zhì)等式兩邊加（或減）同一個數(shù)（

4、或式子）結(jié)果仍相等。等式兩邊乘同一個數(shù)，或除以同一個的數(shù)，結(jié)果仍相等。 已知等式ax=ay,下列變形不正確的是（）.A、x=yB、ax+1= ay+1 C 、ay=axD 3-ax=3-ay 列說法正確的是（）A、等式兩邊都加上一個數(shù)或一個整式，所得結(jié)果仍是等式；B等式兩邊都乘以一個數(shù)，所得結(jié)果仍是等式；C等式兩邊都除以同一個數(shù)，所以結(jié)果仍是等式；澤仕學(xué)堂教務(wù)處4澤仕學(xué)堂上海中小學(xué)課外輔導(dǎo)專家澤仕學(xué)堂教務(wù)處5澤仕學(xué)堂上海中小學(xué)課外輔導(dǎo)專家D 個等式的左、右兩邊分別與另一個等式的左、右兩邊分別相加，所得結(jié)果仍是等式; 在等式ab =ac兩邊都除以a ,可得b = c。這句話對嗎？說出你的理由？

5、在等式a二b兩邊都除以c2 1，可得2a = 2b 。這句話對嗎？說出你的理由。c +1 c +104、移項 定義：把等式一邊的某項 后移到另一邊，叫做移項。 通常常數(shù)項要移到方程的右邊，未知項要移到方程的左邊。 移項時要變號：移正變，移負(fù)變 下列一項正確的是（）A、若 2x -1 = 3，貝V x = 3 -1C、若 2 x - 3 = 2，貝y 2x = -3 ' 2B、若 - 2x = 8 3x，貝y 3x - 2x = 8D、若 3x T = 5 2x，貝y 3x -2x = 5 105、系數(shù)化為1一元一次方程的最簡形式：ax二b定義：當(dāng)把方程化為最簡形式 ax =b后，方程兩

6、邊都除以未知數(shù)的系數(shù) 過程叫做系數(shù)化為 1.,得到方程的解的系數(shù)化為1時，未知數(shù)的系數(shù)做分母。下列系數(shù)化為步驟正確的是（A、由 4x =2，得到 x = 21C、由一 x = 2，得到 x =12）B、由 3x = 5，得到 x = 2D、由 - 0.5x =2，得到 x - -406、去分母去分母時要注意三點(diǎn)：確定各分母的最小公倍數(shù)；不含分母的項也要乘以最小公倍數(shù)；去掉分母后對分子加括號。3x 1 2x +1解方程2 -1 = 2x 1時，去分母，得（）2 2澤仕學(xué)堂教務(wù)處6澤仕學(xué)堂上海中小學(xué)課外輔導(dǎo)專家A、4 -3x -1 = 2x 1B、2 3x 1 = 2x 1C、2 3x _1 =

7、2x - 1D、4 一 3x 1 = 2x 13x -7x 17方程2 -去分母得()45A2-5(3x-7)=-4(x+17)B、40-15x-35=-4x-68C40-5(3x-7)=-4x+68D、40-5(3x-7)=-4(x+17)2x _ 1 x + a李明同學(xué)在解方程1去分母時，方程右邊的一1沒有乘3,因而求得方程的解為 x = 2，試求a的值,33并正確地解方程。07、分母由小數(shù)化為整數(shù)x 2 x +1 將方程X 2 X I =3的分母化為整數(shù)，方程變?yōu)?.20.5 把x 0.17_0.2x=1中的分母化為整數(shù)正確的是（）0.70.03x 17 -2x10x17 -2x=110

8、x17 -20x=1澤仕學(xué)堂教務(wù)處7澤仕學(xué)堂上海中小學(xué)課外輔導(dǎo)專家澤仕學(xué)堂教務(wù)處#澤仕學(xué)堂上海中小學(xué)課外輔導(dǎo)專家下列方程的解答過程是否有錯誤？若有錯誤，簡要說明產(chǎn)生錯誤的原因，并改正解方程:x 爲(wèi)0.20.5解：原方程可化為:10x3024x -105=-25澤仕學(xué)堂教務(wù)處#澤仕學(xué)堂上海中小學(xué)課外輔導(dǎo)專家澤仕學(xué)堂教務(wù)處#澤仕學(xué)堂上海中小學(xué)課外輔導(dǎo)專家去分母，得 5(10x 30) -2(4x -10) = -250去括號、移項、合并同類項，得42x二-420 x = 1008、一元一次方程的解法1、解一元一次方程的一般步驟為： 去分母，去括號，移項，合并同類項，系數(shù)化為1特別說明：去分母前，應(yīng)

9、把分母化為整數(shù)2、解下列方程3 13( x-2)=2-5(x-2)x-0.4 x 0.34 23 - 3m 1 x x 30.2 0.011 1 2 2x-2(x 訃 3(x7X20.2x 10.5二 3關(guān)于x的方程x_a 一 ax_3 =1的解是X /，對于同樣的a，求另一個關(guān)于x的方程x_a 一 ax_3邛的解。466409、絕對值方程 定義：方程中的未知數(shù)在絕對值內(nèi)的方程叫做絕對值方程 若|x 1| =5，貝U x 1 = 5或，解之得x=6或 若 XI =3，貝Ux1=或x 1=，解之得x=。 解方程：3x - 1 -2x二510、比例問題1、建模：設(shè)未知數(shù)的方法：已知各個量之間的比例

10、時，按比例設(shè)未知數(shù) 相等關(guān)系：各分量之和等于總數(shù)量2、 已知三個數(shù)的比是 5:7:9，若這三個數(shù)的和是 252，則設(shè)這三個數(shù)依次是，可列方程為。11、分配問題1、建模： 分A給B,設(shè)B表示A A的數(shù)量=需要量+剩余量=需要量-缺少量 相等關(guān)系：第一種分法中表示的A的數(shù)量=第二種分法中表示的 A的數(shù)量2、 某校七年級近期實(shí)行小班教學(xué)，若每間教室安排20名學(xué)生，則恰好缺少 3間教室；若每間教室安排 24名學(xué)生，則 恰好空出1教室。問這所學(xué)校為七年級學(xué)生安排了多少間教室？（提醒：恰好缺少3間教室意思是剩余 3X 20名學(xué)生；恰好空出1教室意思是缺少1 x 24名學(xué)生）12、人員調(diào)配問題1、建模：設(shè)未

11、知數(shù)的方法 內(nèi)部調(diào)配：甲隊多 x人，乙隊就少x人 外部支援a(chǎn)人：甲隊增派x人，則乙隊就增派（a X）人相等關(guān)系：調(diào)配后的要求2、 甲隊勞動的有43人，在乙處勞動的有 22人，現(xiàn)要趕工期，總公司另調(diào) 28人去支援，使甲處的人數(shù)為乙處的兩倍,應(yīng)分別調(diào)多少人往兩處？13、資源配套問題1、建模：設(shè)未知數(shù)的方法a個人分工生產(chǎn) A、B兩種零件，設(shè)安排 x人生產(chǎn)A零件，則安排（a-x）人生產(chǎn)B零件相等關(guān)系：A零件的總數(shù)：B零件的總數(shù)= 一套產(chǎn)品中A與B的比2、 一張方桌由一張桌面和 4條桌腿組成，1立方米木料可制作桌面 50個或桌腿300條，現(xiàn)有5立方米木料，問分別 用多少木料制作桌面和桌腿，正好配成方桌多

12、少張澤仕學(xué)堂教務(wù)處10澤仕學(xué)堂上海中小學(xué)課外輔導(dǎo)專家14、數(shù)字問題1、基礎(chǔ)知識 一個三位數(shù)可以表示為：百位上的數(shù)字X100+十位上的數(shù)字 X10+個位上的數(shù)字 若x表示一個一位數(shù)，y表示一個兩位數(shù)，則把 x放在y的左邊組成的三位數(shù)表示為：100x+y,把x放在y的右邊組成的三位數(shù)表示為：10y+ x。2、 設(shè)未知數(shù)的方法：設(shè)某位數(shù)字為x,表示其他數(shù)位上的數(shù)字。3、 一個兩位數(shù)，個位上的數(shù)字與十位上的數(shù)字之和為13，交換這兩個數(shù)字的位置所得新數(shù)比原來兩位數(shù)大45，求這個兩位數(shù)。 解：設(shè)這個兩位數(shù)的十位上的數(shù)字為x,則個位上的數(shù)字為，這個兩位數(shù)表示為，新兩位數(shù)表示為，可列方程為。15、工程問題1、

13、基礎(chǔ)知識：1 甲單獨(dú)完成某件工作的時間為a,則甲的工作效率為1a 工作量=工作效率x工作時間2、 設(shè)未知數(shù)的方法：設(shè)余下的工作需要x完成。（設(shè)時間）3、 相等關(guān)系：甲的工作量+乙的工作量=總工作量（一般都看做單位 1）4、 完成某項工程，甲單獨(dú)做要20天，乙單獨(dú)做需要15天，乙單獨(dú)做5天后，兩隊合作，問合作幾天后可以完成全部工程？解：設(shè)合作x天后可以完成全部工程一項工程，甲完成的工作量為，乙完成的工作量為，可列方程為：。16、銷售問題1、基本知識X商品打x折出售：是按標(biāo)價的一出售。商品利潤=商品售價一商品成本價。10商品利潤 商品的利潤率=:100%。商品的銷售額=商品銷售價X商品銷售量。商品

14、成本價澤仕學(xué)堂教務(wù)處12澤仕學(xué)堂上海中小學(xué)課外輔導(dǎo)專家商品的銷售利潤=（銷售價一成本價）x銷售量。2、相等關(guān)系：銷售價=定價x打折-讓利=成本x（ 1+利潤率）3、 某服裝店出售一種優(yōu)惠卡，花 200元買這種卡后，可憑卡在這家商店按 8折購物。小芳購卡后買了一件原價 1200 元的西裝，小敏購卡后買了一件原價 500元的毛衣。則小芳買卡購物劃算，則小芳買卡購物劃算，在購買超過元情況下買卡購物才劃算。17、方案選擇問題建模：1、弄清兩種方案收費(fèi)表達(dá)式2、求出消費(fèi)多少時，兩種方案收費(fèi)一樣（找出臨界點(diǎn)）3、得出在什么消費(fèi)范圍時方案一合算，在什么消費(fèi)范圍時方案二合算。 練習(xí)：下表中有兩種移動電話計費(fèi)方

15、式。月租主叫限定時間（分）主叫超時費(fèi)（元/分）被叫方式一581500.25免費(fèi)方式二883500.19免費(fèi)考慮下列問題。（1）設(shè)一個月內(nèi)用移動電話主叫 t分鐘（t是正整數(shù)）。根據(jù)上表，列表說明 當(dāng)t在不同時間范圍內(nèi)取值時，按方式一和方式二如何計費(fèi)。主叫時間t （分鐘）方式一計費(fèi)（兀）方式二計費(fèi)（兀）省錢方案t < 1505888t=1505888150 < t < 35058+0.25 (t-150 )88t=27058+0.25 (270-150 ) =8888t=35058+0.25 (t-150 ) =10888t > 35058+0.25 (t-150 )88+

16、0.19 (t-350 )18、相遇問題1、基礎(chǔ)知識路程路程時間二路程，速度二路程，路程二速度 時間速度時間2、相遇問題的相等關(guān)系是：甲的行程+乙的行程=甲乙出發(fā)前相距的總路程3、小王從家門口的公交車站去火車站。如果坐公交車，他將會在火車開車后半小時到達(dá)車站；如果坐出租車，可以在火車開車前15分到達(dá)火車站。已知公交車的速度是45千米/時。出租車的速度是公交車的2倍，問小王的家到火車站有多遠(yuǎn)？解法一：設(shè)出租車到火車站要 x小時，則公交車到火車站要小時。列方程：解法二：設(shè)小王的家到火車站的路程是xkm，根據(jù)時間等于路程十速度，得他坐公交車到火車站要小時，坐出租車到火車站要 小時，根據(jù)出租車到火車站

17、所用的時間比公交車要少_小時，可列方程：19、追及問題路程路程 時間二路程，速度二路程，路程二速度 時間速度時間 追及問題的相等關(guān)系是：后面的行程=前面的行程+甲乙出發(fā)前相距的路程3、甲、乙兩人相距 100m，甲在前面以10m/s的速度勻速運(yùn)動，乙在后面以12m/s的速度勻速運(yùn)動，試問乙經(jīng)多長時間追上甲？解：設(shè)乙經(jīng) x秒追上甲，則甲的行程為乙的行程為 ，可列方程： 。20、航行問題1、速度關(guān)系：V順=V靜+V水V逆=V靜一V水V順-V逆=2 V水2、相等關(guān)系：順流路程=逆流路程3、一艘船從甲碼頭到乙碼頭順流行駛，用了2小時；從乙碼頭返回甲碼頭逆流行駛，用了2.5小時。已知水流的速度是 3千米/時，求船在靜水中的平均速度。解：船在靜水中的平均速度為x千米/時，則順流速度為千米/時，逆流速度為千米/時?？闪蟹匠虨椤?1、一元一次方程的根的情況1、關(guān)于