初一數(shù)學個人教學講義平行線和相交線的證明題難度...

1、學生姓名 陳 年級初一 授課時間 教師姓名 劉 課時 2 課 題平行線和相交線的證明題教學目標掌握平行相關(guān)證明要領(lǐng)，熟悉幾何語言的應用重 點幾何語言的描述，因果關(guān)系的銜接難 點 證明流程中因果關(guān)系的銜接幾何證明題的基本結(jié)構(gòu)和方法：1正確地進行證明，先要探求證明的思路：這有三種方法：一種方法是從結(jié)論著眼，思考要使結(jié)論成立，需要具備什么條件，這樣逆推直到需要的條件已經(jīng)具備，當然這種逆推的過程中，要不斷地向已知條件靠攏，這就是“執(zhí)果索因”。有時，這種逆推會遇到障礙，這時也可用另一種方法思考，即從已知條件入手，思考從已知條件可以順推出什么結(jié)論來，這樣順推直至結(jié)論成立，這就是“由因?qū)Ч?，或者也可以順?/p>

2、與逆推相結(jié)合，從問題的兩頭向中間靠攏，從而發(fā)現(xiàn)問題的突破口，這也叫“兩頭湊”。 2“執(zhí)果索因”的方法也就是證明的思維方法中的“綜合法”，“由因?qū)Ч钡姆椒ㄒ簿褪亲C明的思維方法中的“分析法”?！皟深^湊”的方法也就是證明的思維方法中的“分析綜合法”。 3“綜合法”、“分析法”，“分析綜合法”是證明的思維方法中的直接證法。 注：今后學習中還會學習到證明的思維方法中的間接證法：反證法和同一法。這兩種方法在今后的學習中會逐步介紹給同學們。 八思維方法的訓練例1已知如圖，AOC為一直線，OB為任一射線，OP平分AOB，OE平分BOC，求證：OEOP。 分析：1、由逆推法分析要證明OEOP，由垂直定義只要證

3、明EOP=90°，而EOP由1、2所組成，只要證明1+2=90°。由于OE，OP分別是BOC和AOB的角平分線，1=BOC，2=AOB，又由于AOC為一直線，AOB+BOC=180°，那么(AOB+BOC)=90°，即1+2=90°。 2由順推法分析：由AOC為直線推出AOB+BOC=180°，由OP，OE分別為AOB，BOC平分線推得2=AOB，1=BOC，由POE=1+2=(AOB+BOC)推得POE=90°再推得OPOE。 3上述分析中和的兩個推理是并列的，因而在證明中先寫或沒有什么關(guān)系，但是和共同的結(jié)果，所以必須在和

4、的后面。 證明： （1） （2） （3）POE=1+2（全量等于部分之和） =(AOB+BOC)（等量代換） =×180°（等量代換） =90° OPOE（垂直定義） 整個證明過程由3部分推理所組成，書寫證明過程要用順推法由前向后寫。 例2、已知如圖，AOC，BOD為對頂角，OE平分AOC，OF平分BOD，求證：OE，OF互為反向延長線。 分析：（1）OE，OF互為反向延長線是指EOF為一條直線，即證明E、O、F三點共線。證明這類問題首先要克服視覺給我們帶來的干擾，如1和2并不能看成是一對對頂角，因為缺乏構(gòu)成對頂角的必要條件。OE與OF互為反向延長線，而這一點恰恰

5、是本題證明的目標。 （2）證明E、O、F三點共線通常采用EOF=180°，利用平角定義完成三點共線證明。 （3）為證明EOF=180°，只要證明1+AOF=180°，從已知AOC與BOD為對頂角，可推知A、O、B三點共線：即AOF+2=180°，只要證明1=2，題設(shè)中由AOC和BOD為對頂角又可知AOC=BOD，又由OE，OF分別為AOC和BOD平分線，正好創(chuàng)設(shè)了證明1=2的條件。 證明：AOC，BOD為對頂角（已知） AOC=BOD（對頂角相等） OE平分AOC，OF平分BOD（已知） 1=AOC，2=BOD（角平分線定義） 1=2（等量之半相等） A

6、OC，BOD為對頂角（已知） AB為直線（對頂角定義） AOF+2=180°（平角定義） AOF+1=180°（等量代換） EOF=180°（等量代換） OE，OF互為反向延長線（平角定義） 九剖析圖形結(jié)構(gòu)，挖掘等量關(guān)系例3、已知如圖，OBOA，直線CD過O點，AOC=20°，求證DOB的度數(shù)。 分析：題設(shè)中的條件給出了許多的角的關(guān)系，由OBOA可知1+2=90°；由CD過O點，可知2+BOD=180°，再由AOC=20°，很容易求得DOB的度數(shù)。 解：（不是證明題，不能寫“證明”，而寫“解”字） OBOA（已知） AOB=

7、90°（垂直定義） 1+2=90°（等量代換） 2=90°-1（等式性質(zhì)） 直線CD過O點（已知） COD=180°（平角定義） BOD+2=180°（等量代換） BOD=180°-2（等式性質(zhì)） =180°-(90°-1)（等量代換） =90°+1（等式性質(zhì)） 1=20°（已知） BOD=90°+20°（等量代換） =110°（等式性質(zhì)） 答：BOD的度數(shù)為110°（求解題最后寫答） 例4、已知如圖，OAOC，OBOD，AOD=3BOC，求BOC的度數(shù)。

8、 分析：由題設(shè)條件（AOD=3BOC，這是有關(guān)BOC的關(guān)系式，由垂直條件可推出）AOB=90°-BOC，COD=90°-BOC，可見AOB，COD都與BOC相關(guān)，可運用代數(shù)方法，設(shè)元，用方程思想解題，直接設(shè)BOC=x，用x表示其余的相關(guān)角，分析其等量關(guān)系，得到關(guān)于x的方程，這樣做，無論從敘述或思考都比較簡捷。 解：設(shè)BOC=x AOD=3BOC（已知） AOD=3x 又AOD=AOB+BOC+COD（全量等于部分之和） 3x=AOB+x+COD（等量代換） 2x=AOB+COD（等式性質(zhì)） OAOC，OBOD（已知） AOB=90°-x，COD=90°-

9、x（垂直定義） 2x=90°-x+90°-x（等量代換） 4x=180°（等式性質(zhì)） x=45°即BOC=45° 答：BOC的度數(shù)為45°。 十例題： 例1如圖所示，直線AB、CD、EF相交于點O，AOC=70°，BOE=80°，求DOF的度數(shù)。 精析：AOC、COE、BOE組成一個平角，而AOC、BOE的度數(shù)為已知，所以，可以先求出COE的度數(shù)，再根據(jù)對頂角相等得到DOF的度數(shù)。 解：AB是直線（已知）， AOC+COE+BOE=180°（平角的定義）， COE=180°-AOC-BOE AO

10、C=70°，BOE=80°（已知） COE=30°， CD、EF相交于點O（已知） COE與DOF是對頂角（對頂角的定義） COE=DOF（對頂角相等） DOF=30°。 例2如圖所示，直線AB與CD相交于O點，OE平分AOC，射線OFCD于點O，且BOF=24°，求COE的度數(shù)。 解：OFCD，BOF=24°， AOC=180°-COF-BOF =180°-90°-24° =66° 又OE平分AOCCOE=AOC =×66° =33° 即COE的度數(shù)為3

11、3°。 以下兩題和平行有關(guān)，等學習平行之后再看。例3如圖所示，AB/EF，求證：BCF=B+F。 精析：過點C作CD/AB，則B=1，由平行公理還可推出CD/EF， 2=F，有BCF=B+F。 證明：過點C作CD/AB， 則B=1（兩條線平行，內(nèi)錯角相等） AB/EF（已知），CD/AB CD/EF（平行公理推論） F=2（兩直線平行，內(nèi)錯角相等） 1+2=B+F即BCF=B+F。 例4如圖所示，已知ABBC于B，EF分別交AC、BC于E、F，A+AEF=180°，求證：EFBC。 精析：由A與AEF互補可推得AB/EF，然后由ABBC可推出EFBC。這樣就把推論兩條直線垂

12、直的問題轉(zhuǎn)化成證明兩條直線平行的問題。 證明：A+AEF=180°（已知） AB/EF（同旁內(nèi)角互補，兩直線平行） B=EFC（兩直線平行，同位角相等） ABBC（已知） B=90°（垂線定義） EFC=90°（等量代換） EFBC（垂線定義）。課堂練習：1、 平行線之間的基本圖DBCAFE1、如圖已知，.分別是、的角平分線，是兩條角平分線的交點；求證：.2、已知AB/CD，此時、和的關(guān)系又如何？你能找出其中的規(guī)律嗎？3、將題變?yōu)槿缦聢D：AB/CD此時、和的關(guān)系又如何？你能找出其中的規(guī)律嗎？4、如圖，AB/CD，那么有什么關(guān)系？2、 兩組平行線的證明題【找出連接兩

13、組平行線的角】1.已知：如圖，CD平分ACB，ACDE，DCE=FEB，求證：EF平分DEBADFBEC3、已知：如圖2-96,DEAO于E,BOAO,FCAB于C，1=2,求證：DOAB. 3、如圖，已知EFAB，3=B，1=2，求證：CDAB。 4、已知ADBC，F(xiàn)GBC，垂足分別為D、G，且1=2，猜想BDE與C有怎樣的大小關(guān)系？試說明理由.三、兩組平行線構(gòu)造平行四邊形1已知：如圖，AB是一條直線，C = 1，2和D互余，BEFD于G求證：ABCD ABCDEF1423(第22題)2、如圖，E點為DF上的點，B為AC上的點，1=2，C=D，求證DFAC 3、如圖，M、N、T和A、B、C分

14、別在同一直線上， 且1=3，P=T，求證：M=R。四、證特殊角圖7圖81、ABCD，BAC的平分線和ACD的平分線交于點E，則AEC的度數(shù)是2、 EMBED Equation.DSMT4 ，直線與、分別相交于、兩點，平分，過點作垂足為，若30，則_3、如圖，已知：DEAC，CD平分ACB ，EF平分DEC，1與2互余，求證：DGEF.4已知：如圖，ABDE，CM平分BCE，CNCM求證：B2DCN 5.如圖已知直線ab，AB平分MAD，AC平分NAD，DEAC于E，求證：1=2 MNADBCb21aE4、 求證：三角形內(nèi)角之和等于180°五、尋找角之間的關(guān)系1、如圖2-97,已知：1

15、=2，3=4，5=6.求證:ADBC. 2、已知，如圖，BCE、AFE是直線，ABCD，1=2，3=4。求證：ADBE。C圖10123ABDFADBCEF12343如圖12，ABD和BDC的平分線交于E，BE交CD于點F，1 +2 = 90°求證：（1）ABCD； （2）2 +3 = 90°E六、翻折1、如圖1，把一個長方形紙片沿EF折疊后，點D，C分別落在D，C的位置若EFB55°，則AED的度數(shù)為 。A2、如圖2，將三角尺的直角頂點放在直尺的一邊上，則B的度數(shù)等于 。21BCEDBCFCDA圖1 3、如圖（1），已知矩形，將沿對角線折疊，記點的對應點為，若=2

16、0°，則DBC=的度數(shù)為 _。（第1題）CADCB20° ABCD第16題C 4、如圖，在RtABC中，C90°，A20°按圖中所示方法將BCD沿BD折疊，使點C落在邊AB上的點C處，則BDC=_5、（2010江蘇宿遷）如圖，正方形紙片ABCD的邊長為8，將其沿EF折疊，則圖中四個三角形的周長之和為 6. 如圖是長方形紙帶，將紙帶沿EF折疊成圖，再沿BF折疊成圖.（1）若DEF=200，則圖中CFE度數(shù)是多少？ （2）若DEF=，把圖中CFE用表示.AEBFCD圖AEBFCD圖AEBFCD七、綜合證明題19.如下左圖，EBDC，C=E，請你說出A=ADE

17、的理由。20.如上中左圖AD是EAC的平分線，ADBC，B=30 o， 求EAD、DAC、C的度數(shù)。21已知BOC與AOB互為鄰補角，又OD、OE分別是AOB、BOC的平分線，若AOB=80°，求DOE的度數(shù)22如上中右圖，ABAB，BCBC，BC交AB于點D，B與B有什么關(guān)系？為什么？23如上右圖，已知ABCD，試再添上一個條件，使1=2成立24.已知：如圖，AB，CD，EF三直線相交于一點O，且OEAB，COE=20°，OG平分BOD，求BOG的度數(shù) 25如下左圖，ABCD，1：2：3=1：2：3，說明BA平分EBF的道理26如中左圖，已知，求證：。27如中右圖，平分，與相交于,。 求證：。28如右圖，已知，是的平分線，求 的度數(shù)。29. 如下左圖，已知：直線AB，CD被直線EF，GH所截，且1=2，求證：3+4=180°30.