第十二章 矩陣位移法 - 四川理工學(xué)院

1、第十二章第十二章 矩矩 陣陣 位位 移移 法法學(xué)習(xí)內(nèi)容 有限單元法的基本概念，結(jié)構(gòu)離散化。 平面桿系結(jié)構(gòu)的單元分析：局部坐標(biāo)系下的單元?jiǎng)偠染仃嚭驼w坐標(biāo)系下的單元?jiǎng)偠染仃嚒?平面桿系結(jié)構(gòu)的整體分析：結(jié)構(gòu)整體剛度矩陣和結(jié)構(gòu)整體剛度方程。 邊界條件的處理，單元內(nèi)力計(jì)算。 利用對(duì)稱性簡(jiǎn)化位移法計(jì)算。 矩陣位移法的計(jì)算步驟和應(yīng)用舉例。學(xué)習(xí)目的和要求矩陣位移法矩陣位移法是以計(jì)算機(jī)為計(jì)算工具的現(xiàn)代化結(jié)構(gòu)分析方法?；谠摲ǖ慕Y(jié)構(gòu)分析程序在結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)中得到了廣泛的應(yīng)用。因此，以計(jì)算機(jī)進(jìn)行結(jié)構(gòu)分析是本章的學(xué)習(xí)目的。矩陣位移法是以位移法為理論基礎(chǔ)，以矩陣為表現(xiàn)形式，以計(jì)算矩陣位移法是以位移法為理論基礎(chǔ)，以矩陣為表現(xiàn)

2、形式，以計(jì)算機(jī)為為運(yùn)算工具的綜合分析方法。機(jī)為為運(yùn)算工具的綜合分析方法。引入矩陣運(yùn)算的目的是式計(jì)算過(guò)程程序化，便于計(jì)算機(jī)自動(dòng)化處理盡管矩陣位移法運(yùn)算模式呆板，過(guò)程繁雜，但這些正是計(jì)算機(jī)所需要的和十分容易解決的。矩陣位移法的特點(diǎn)是用“機(jī)算”代替“手算”。因此，學(xué)習(xí)本章是既要了解它與位移法的共同點(diǎn)，更要了解它的一些新手法和新思想。本章的基本要求本章的基本要求：矩陣位移法包含兩個(gè)基本環(huán)節(jié)：?jiǎn)卧治龊驼w分析。在單元分析中，熟練掌握單元?jiǎng)偠染仃嚭蛦卧刃Ш奢d的概念和形成。熟練掌握已知結(jié)點(diǎn)位移求單元桿端力的計(jì)算方法。在整體分析中，熟練掌握結(jié)構(gòu)整體剛度矩陣元素的物理意義和集成過(guò)程，熟練掌握結(jié)構(gòu)綜合結(jié)點(diǎn)荷載

3、的集成過(guò)程。掌握單元定位向量的建立，支撐條件的處理。自由式單元的單元?jiǎng)偠染仃囈蟊秤?，但要領(lǐng)會(huì)其物理意義，并會(huì)有它推出特殊單元的單元?jiǎng)偠染仃嚒?2.1 概概 述述 矩陣位移法以傳統(tǒng)的結(jié)構(gòu)力學(xué)作為理論基礎(chǔ)，以矩陣作為數(shù)學(xué)表達(dá)形式，以電子計(jì)算機(jī)作為計(jì)算手段，一種三位一體的方法。采用矩陣進(jìn)行運(yùn)算，不僅公式緊湊，而且形式統(tǒng)一，便于使計(jì)算過(guò)程規(guī)格化和程序化。這些正是適應(yīng)了電子計(jì)算機(jī)進(jìn)行自動(dòng)化計(jì)算的要求。1、矩陣位移法的基本思路先將結(jié)構(gòu)離散成有限個(gè)單元，按照單元的力學(xué)性質(zhì)，建立單元?jiǎng)偠确匠?，形成單元?jiǎng)偠染仃?；然后在滿足變形條件和平衡條件的前提下，將這些單元集合成整體，即由單元?jiǎng)偠染仃嚰烧w剛度矩陣，建立

4、結(jié)構(gòu)的位移法基本方程，進(jìn)而求出結(jié)構(gòu)的位移和內(nèi)力。這樣，在一撤一搭的過(guò)程中就使一個(gè)復(fù)雜結(jié)構(gòu)的計(jì)算問(wèn)題轉(zhuǎn)化為有限個(gè)簡(jiǎn)單單元的分析與集成問(wèn)題。因此，矩陣位移法基本環(huán)節(jié)是：結(jié)構(gòu)的離散化、單元分析和整體分析。2、單元?jiǎng)澐衷跅U件結(jié)構(gòu)矩陣分析中，一般是把桿件的轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)折點(diǎn)、匯交點(diǎn)、邊界點(diǎn)、突變點(diǎn)或集中荷載作用點(diǎn)等列為結(jié)點(diǎn)，結(jié)點(diǎn)之間的桿件部分作為單元。如圖1（a）所示。為了減少基本未知量的數(shù)目，跨間集中荷載作用點(diǎn)可不作為結(jié)點(diǎn)，但要計(jì)算跨間荷載的等效結(jié)點(diǎn)荷載；跨間結(jié)點(diǎn)也可不作為結(jié)點(diǎn)（如圖1（b）所示），但要推到相應(yīng)的單元?jiǎng)偠染仃嚕幊绦蚵闊?2.2單元分析一單元分析一 局部坐標(biāo)系下的單元分析 單元分析的目的是建立

5、單元?jiǎng)偠确匠蹋纬蓡卧獎(jiǎng)偠染仃嚒?、坐標(biāo)系的選擇:在矩陣位移法中采用兩種坐標(biāo)系：局部坐標(biāo)系和整體坐標(biāo)系。采用局部坐標(biāo)系（以桿的軸線作為軸如圖2），可直接由虎克定律、轉(zhuǎn)角位移方程得到2、局部坐標(biāo)系中的單元?jiǎng)偠染仃囋诰植孔鴺?biāo)系中，桿端力及桿端位移的正方向如圖2所示。單元?jiǎng)偠确匠炭杀硎緸椋浩渲袉卧臈U端力列陣和桿端位移列陣為：?jiǎn)卧獎(jiǎng)偠确匠虇卧獎(jiǎng)偠确匠?q1u1v2v2q2u1X1Y1M2X2Y2M)(,1221uulNXNX-=D=-=llEAND=)(),(212211uulEAXuulEAX-=-=由虎克定律：由轉(zhuǎn)角位移方程，并考慮：2QYBA=1,QYAB-=12,vv -=D()212212

6、212)(6vvlEIlEIY-+-=qq()212212112)(6vvlEIlEIY-+=qq()212212642vvlEIlEIlEIM-+=qq()212211624vvlEIlEIlEIM-+=qq寫成矩陣表達(dá)式為：222111MYXMYXe222111qqvuvue-lEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEAlEAlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEAlEA460260612061200000260460612061200000222323222323= kee單元?jiǎng)偠确匠虇卧獎(jiǎng)偠染仃?12221121121DD=kkkkFFD= kF3、單元?jiǎng)偠染仃?/p>

7、的特性單元?jiǎng)偠认禂?shù)的意義單剛中的每個(gè)元素稱為單元?jiǎng)偠认禂?shù)，代表由于單位桿端位移引起的桿端力。如第i行第j列元素代表當(dāng)?shù)趈個(gè)桿端位移分量=1（其它位移分量為零）時(shí)引起的第i個(gè)桿端力分量的值。單剛中第j列元素代表當(dāng)?shù)趈個(gè)桿端位移分量=1（其它位移分量為零）時(shí)引起的六個(gè)桿端力分量的值。由圖10-4可見，產(chǎn)生的單元變形及單元的桿端力與產(chǎn)生的單元變形及單元的桿端力相同。由此得到：?jiǎn)卧獎(jiǎng)偠染仃嚨牡诙性刈兎?hào)即第五列元素，第一列元素變符號(hào)即第四列元素。第三列元素不變符號(hào)即第六列元素，但要注意,。由于單元?jiǎng)偠染仃囀菍?duì)稱矩陣，所以，各行元素之間也具有類似的關(guān)系。由反力互等定理可知，單元?jiǎng)偠染仃囀菍?duì)稱矩陣。一

8、般單元的單元?jiǎng)偠染仃囀瞧娈惥仃?，不存在逆陣。因此上，由單元?jiǎng)偠确匠蹋缫阎獥U端位移可求出桿端力，且是唯一解。但如已知桿端力，則求不出桿端位移，桿端位移可能無(wú)解，可能無(wú)唯一解?？砂礂U端將單元?jiǎng)偠确匠虒懗煞謮K形式：一般單元的單元?jiǎng)偠染仃囀瞧娈惥仃?。不存在逆矩陣。與單元?jiǎng)偠确匠滔鄳?yīng)的正、反兩類問(wèn)題如表。4、特殊單元的單元?jiǎng)偠染仃囈话銌卧牧鶄€(gè)桿端位移分量可以指定為任意值。特殊單元的某個(gè)或某些桿端位移已知為零。特殊單元的單元?jiǎng)偠染仃?，可由一般單元的剛度矩陣中劃去與零位移對(duì)應(yīng)的行和列得到。忽略軸向變形時(shí)梁?jiǎn)卧诰植孔鴺?biāo)系中的單元?jiǎng)偠染仃嚒＿B續(xù)梁?jiǎn)卧膯卧獎(jiǎng)偠染仃?。桁架單元在局部坐?biāo)系中的單元?jiǎng)偠染仃嚒?

9、2.3單元分析二單元分析二 整體坐標(biāo)系下的單元分析選局部坐標(biāo)系推導(dǎo)單元?jiǎng)偠染仃嚪奖闱覇卧獎(jiǎng)偠染仃嚨男问胶?jiǎn)單。但是，在一個(gè)復(fù)雜的結(jié)構(gòu)中，各單元的局部坐標(biāo)系不盡相同，很不統(tǒng)一。為了進(jìn)行整體分析，必須選一個(gè)統(tǒng)一的坐標(biāo)系（稱為整體坐標(biāo)系)。按這個(gè)統(tǒng)一的坐標(biāo)系來(lái)建立各單元的剛度矩陣。單元坐標(biāo)轉(zhuǎn)換矩陣單元坐標(biāo)轉(zhuǎn)換矩陣1X1Y1M2X2Y2Myx1X1Y1M2X2Y2Myxyxyx11111111cossinsincosMMYXYYXX=+-=+=22222222cossinsincosMMYXYYXX=+-=+=局部坐標(biāo)系中的桿端力整體坐標(biāo)系中的桿端力寫成矩陣表達(dá)式：=222111MYXMYX222111

10、MYXMYX-1000000cossin0000sincos0000001000000cossin0000sincos單元坐標(biāo)轉(zhuǎn)換矩陣T是一正交矩陣。TTT1=-同理：（a）（b）FTF=FTFT=D=DTD=DTT =T2、整體坐標(biāo)系中的單元?jiǎng)偠染仃?、整體坐標(biāo)系中的單元?jiǎng)偠染仃嚨奶匦哉w坐標(biāo)系中的單元?jiǎng)偠染仃嚺c局部坐標(biāo)系中的單元?jiǎng)偠染仃囉蓄愃频奶匦?。另外還有，局部坐標(biāo)系中的單元?jiǎng)偠染仃?，只與單元的幾何形狀、物理常數(shù)有關(guān)，而與單元的位置和方位無(wú)關(guān)。整體坐標(biāo)系中的單元?jiǎng)偠染仃?，與單元的幾何形狀、物理常數(shù)及單元的方位有關(guān)。例題1建立單元?jiǎng)偠染仃嚴(yán)?3-1求圖示剛架中各單元在整體標(biāo)系中的單元?jiǎng)偠染?/p>

11、陣。設(shè)各桿的幾何尺寸相同。l=5m，A=0.5m2, I=1/24m4E=3107kN/m2441025,10300=lEIlEA21解(1)求k1k2=-lEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEAlEAlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEAlEA460260612061200000260460612061200000222323222323503003012000300-1003003012000300503003012000300-1003003012000300-104,101004,10306,10121244243=lEIlEIlEI（2）求 ke kkI

12、T=,11單元=9021單元=0 -=100000001000010000000100000001000010Tk2=500300300030012-1000300300030012-500300300030012-100030030003012104-=100001010100300301200030010000101011111111TkTkT返回12.4連續(xù)梁整體分析連續(xù)梁整體分析 整體分析的目的是建立整體剛度方程，導(dǎo)出整體剛度矩陣。具體作法有兩種：一種是傳統(tǒng)位移法，另一種是單元集成法（即剛度集成法或直接剛度法）。下面以連續(xù)梁為例，用傳統(tǒng)位移法建立整體剛度方程，進(jìn)而總結(jié)出單元集成法。整體

13、剛度方程是整體結(jié)構(gòu)的結(jié)點(diǎn)力與結(jié)點(diǎn)位移之間的關(guān)系式，是通過(guò)考慮結(jié)構(gòu)的變形連續(xù)條件和平衡條件建立起來(lái)的。無(wú)論何種結(jié)構(gòu)，其整體剛度方程都具有統(tǒng)一的形式：K是整體剛度矩陣，結(jié)構(gòu)的結(jié)點(diǎn)位移列向量，F(xiàn)結(jié)構(gòu)的結(jié)點(diǎn)力列向量。2、整體剛度矩陣的性質(zhì)K中的元素Kij稱為整體剛度系數(shù)，它表示當(dāng)?shù)趈個(gè)結(jié)點(diǎn)位移分量j=1（其他結(jié)點(diǎn)位移分量為零）時(shí)所產(chǎn)生的第i個(gè)結(jié)點(diǎn)力Fi。K是對(duì)稱矩陣，是稀疏帶狀矩陣。引入支承條件之前是奇異矩陣，引入支承條件之后是非奇異矩陣，存在逆陣。3、整體剛度矩陣的集成由變形連續(xù)條件知，結(jié)點(diǎn)發(fā)生單位位移，交與該結(jié)點(diǎn)的各單元的桿端也發(fā)生單位位移；由剛度系數(shù)的物理意義知，單位桿端位移產(chǎn)生的桿端力是單元?jiǎng)?/p>

14、度矩陣中的元素，單位結(jié)點(diǎn)位移產(chǎn)生的結(jié)點(diǎn)力是整體剛度矩陣中的元素；由平衡條件知交與某結(jié)點(diǎn)的各單元桿端力之和等于該結(jié)點(diǎn)的相應(yīng)結(jié)點(diǎn)力。故整體剛度矩陣中的元素是由對(duì)應(yīng)的單元?jiǎng)偠染仃囍械脑丿B加而成。綜上所述，直接剛度法是根據(jù)單元的結(jié)點(diǎn)位移分量的局部碼和總碼之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，由單元?jiǎng)偠染仃嚰山Y(jié)構(gòu)整體剛度矩陣。4、單元定位向量集成整體剛度矩陣的關(guān)鍵，是定單元?jiǎng)偠染仃囍械脑卦谡w剛度矩陣中的位置。這首先要知道單元的結(jié)點(diǎn)位移分量的局部碼和總碼之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，即單元定位向量。它是單元結(jié)點(diǎn)位移總碼按局部碼順序排列而成的向量記為。圖9所示連續(xù)梁各單元的這種對(duì)應(yīng)關(guān)系及各單元定位向量如下表。其次，要注意在單元?jiǎng)偠染仃?/p>

15、中，元素按局部碼排列，在整體剛度矩陣中，元素按總碼排列。所以單元?jiǎng)偠染仃囍械脑卦谡w剛度矩陣中的定位原則是：將各單元的單剛的行列局部碼（i）、（j）換成對(duì)應(yīng)的結(jié)點(diǎn)位移總碼i、j，按此行列總碼將單剛元素送入總剛。即直接剛度法的實(shí)施過(guò)程如下：將K置零。將單元定位向量寫在單元?jiǎng)偠染仃嚨纳戏胶陀覀?cè)，確定出單元?jiǎng)偠染仃囍械母髟卦谡w剛度矩陣K中的位置并累加到K。對(duì)所有單元循環(huán)一邊，最后得到整體剛度矩陣K。例題2建立連續(xù)梁剛度矩陣?yán)?3-1試求圖示連續(xù)梁的整體剛度矩陣K。i1i2i31230123解：1）編碼凡給定為零的結(jié)點(diǎn)位移分量,其總碼均編為零。=112=2232）單元定位向量=3303）求單剛并

16、集成總剛k=14i12i12i14i1(1)(2)12 =K4i12i12i14i1k=24i22i22i24i2(1)(2)23+4i22i22i24i2k=34i32i32i34i3(1)(2)30+4i312312300在給節(jié)點(diǎn)位移編碼時(shí)已經(jīng)考慮了支承條件。(先處理法)返回12.5 剛架整體分析剛架整體分析 1、剛架整體分析的特點(diǎn) 剛架的整體分析與連續(xù)梁相比，基本思路相同，但情況復(fù)雜一些，主要表現(xiàn)在：1）剛架中每個(gè)結(jié)點(diǎn)位移分量增加到三個(gè)：角位移和兩個(gè)方向的線位移。(一般情況下要考慮剛架各桿的軸向變形）；2）各桿方向不盡相同，在整體分析中采用整體坐標(biāo)系，故要進(jìn)行坐標(biāo)變換；3）剛架中除了剛結(jié)

17、點(diǎn)，還要考慮鉸結(jié)點(diǎn)等其它情況。2、單元定位向量1）結(jié)點(diǎn)位移分量的統(tǒng)一編碼總碼平面剛架中的一個(gè)結(jié)點(diǎn)可能有一個(gè)、兩個(gè)或三個(gè)結(jié)點(diǎn)位移，在進(jìn)行結(jié)點(diǎn)位移分量編碼時(shí)，應(yīng)考慮每個(gè)結(jié)點(diǎn)的位移情況，對(duì)結(jié)構(gòu)的所有結(jié)點(diǎn)位移分量進(jìn)行統(tǒng)一編碼。對(duì)每個(gè)結(jié)點(diǎn)的三個(gè)位移分量，按照先x軸方向，再y軸方向后轉(zhuǎn)動(dòng)放順序依次編碼，編完一個(gè)結(jié)點(diǎn)再編下一個(gè)結(jié)點(diǎn)。對(duì)于已知為零的結(jié)點(diǎn)位移分量，其總碼均編為0。如圖10(a)結(jié)構(gòu)的結(jié)點(diǎn)位移分量的統(tǒng)一編碼如圖中所示。2）單元定位向量圖10(a)所示各桿軸上的箭頭表示各單元局部坐標(biāo)系的軸的正方向，單元在始末兩端的六個(gè)位移分量的局部碼(1)、(2)、(6)也是按著先x軸方向，再y軸方向后轉(zhuǎn)動(dòng)放順序依

18、次編碼的，如圖10(b)所示。單元定位向梁仍然是由單元結(jié)點(diǎn)位移總碼按局部碼順序排列而成的向量。各單元結(jié)點(diǎn)位移分量局部馬和總碼之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系及單元定位向量如下表。單元單元局部碼總碼單元定位向量局部碼總碼單元定位向量(1)1(2)2(3)3(4)0(5)0(6)4(1)1(2)2(3)3(4)0(5)0(6)03、單元集成過(guò)程：與連續(xù)梁整體剛度矩陣集成過(guò)程相同。將K置零。將單元定位向量寫在單元?jiǎng)偠染仃嚨纳戏胶陀覀?cè)，確定出單元?jiǎng)偠染仃囍械母髟卦谡w剛度矩陣K中的位置并累加到K。對(duì)所有單元循環(huán)一邊，最后得到整體剛度矩陣K。例題3建立剛架剛度矩陣1、結(jié)點(diǎn)位移分量的統(tǒng)一編碼總碼yx000123040結(jié)點(diǎn)

19、位移列陣:=1234T=uAvAACT結(jié)點(diǎn)力列陣:F=F1F2F3F4T2、單元定位向量211(1)(2)(3)(4)(6)(5)2(1)(2)(3)(5)(4)(6)=1123004T=2123000TACB集成圖示結(jié)構(gòu)的整體剛度矩陣3、單元集成過(guò)程503003012000300-1003003012000300503003012000300-1003003012000300-104k=1123004K=123430000001230100030100500305030104k2=500300300030012-1000300300030012-500300300030012-1000300

20、30003012104123000+12+030+0+300+030+0+100已知單剛返回4、鉸結(jié)點(diǎn)的處理給結(jié)點(diǎn)位移分量進(jìn)行統(tǒng)一編碼時(shí)，考慮鉸結(jié)點(diǎn)的特點(diǎn)。圖11所示結(jié)構(gòu)在鉸結(jié)點(diǎn)處的兩桿端結(jié)點(diǎn)應(yīng)看作半獨(dú)立的兩個(gè)結(jié)點(diǎn)（C1和C2）它們的線位移相同，編成同碼，角位移不同，編成異碼。例題4帶鉸結(jié)點(diǎn)剛架剛度矩陣1）結(jié)點(diǎn)位移分量的統(tǒng)一編碼鉸結(jié)點(diǎn)處的兩桿端結(jié)點(diǎn)應(yīng)看作半獨(dú)立的兩個(gè)結(jié)點(diǎn)（C1和C2），它們的線位移相同，采用同碼，角位移不同，采用異碼。集成圖示剛架的整體剛度矩陣2）單元定位向量：=1123456T=2123000T=3457000T3）按次序進(jìn)行單元集成：00012321AC1BD0004564

21、75C23503003012000300-1003003012000300503003012000300-1003003012000300-104k=11234561234567300500-3010030000-30000012300-12300301000-30500-12-30012-30K=104-3000030000123000k2=500300300030012-1000300300030012-500300300030012-100030030003012104+12+030+0+300+030+0+100k3=500300300030012-1000300300030012-5

22、00300300030012-100030030003012104457000+12+030+0+300+030+0+10030?已知單元?jiǎng)偠染仃嚪祷胤祷?2.6 等效結(jié)點(diǎn)荷載等效結(jié)點(diǎn)荷載 1、位移法基本方程 1）整體剛度矩陣 前面討論了結(jié)構(gòu)的整體剛度矩陣，建立了整體剛度方程 F=K（a） 它表示由結(jié)點(diǎn)位移推算結(jié)點(diǎn)力F的關(guān)系式。它只反映了結(jié)構(gòu)的剛度性質(zhì)，不涉及結(jié)構(gòu)上的實(shí)際荷載。并不是用以分析原結(jié)構(gòu)的位移法方程。2）位移法基本方程按位移法計(jì)算，就是將原結(jié)構(gòu)分解為如圖12所示位移法基本體系的兩種狀態(tài)：狀態(tài)一只有荷載單獨(dú)作用（結(jié)點(diǎn)位移為零）此時(shí)在基本結(jié)構(gòu)中引起的結(jié)點(diǎn)約束力，記為FP 。狀態(tài)二只有結(jié)點(diǎn)

23、位移單獨(dú)作用（荷載為零）此時(shí)在基本結(jié)構(gòu)中引起的結(jié)點(diǎn)約束力為位移法基本方程是基本體系附加約束中的總反力2、等效結(jié)點(diǎn)荷載原荷載可以是非結(jié)點(diǎn)荷載，或是結(jié)點(diǎn)荷載，或是兩者的組合?，F(xiàn)將原荷載換成與之等效的結(jié)點(diǎn)荷載P 。等效的原則是原荷載與等效結(jié)點(diǎn)荷載產(chǎn)生相同的結(jié)點(diǎn)位移?；蛘f(shuō)是原荷載與等效結(jié)點(diǎn)荷載在位移法基本體系中產(chǎn)生相同的結(jié)點(diǎn)約束力FP 。由此及可得出如下的結(jié)論：等效結(jié)點(diǎn)荷載為P=-Fp位移法基本方程為K=P(c)如將剛度方程(a)中的結(jié)點(diǎn)力F換成等效結(jié)點(diǎn)荷載P 及得到位移法基本方程(c)。3、集成等效結(jié)點(diǎn)荷載將非結(jié)點(diǎn)荷載化為等效結(jié)點(diǎn)荷載的具體作法如下：e求實(shí)際荷載產(chǎn)生的單元的固端力向量形成局部坐標(biāo)系中

24、的單元等效結(jié)點(diǎn)荷載：形成整體坐標(biāo)系中的單元等效結(jié)點(diǎn)荷載：。依次將各單元的等效結(jié)點(diǎn)荷載P 中元素按單元定位向量在整體結(jié)構(gòu)的等效結(jié)點(diǎn)荷載P 中進(jìn)行定位累加，最后得到P 。如果結(jié)構(gòu)還作用著直接結(jié)點(diǎn)荷載，將結(jié)構(gòu)等效結(jié)點(diǎn)荷載與直接結(jié)點(diǎn)荷載相累加，即得結(jié)構(gòu)結(jié)點(diǎn)荷載列陣。4、單元最后桿端力：或者：例題5等效結(jié)點(diǎn)荷載矩陣按單元集成法求整體結(jié)構(gòu)的等效結(jié)點(diǎn)荷載局部坐標(biāo)系中的單元固端約束力PFe整體坐標(biāo)系中的單元等效結(jié)點(diǎn)荷載 PTFTP-=ee整體結(jié)構(gòu)的等效結(jié)點(diǎn)荷載P由各單元P中的元素按在P中進(jìn)行定位并累加。e等效結(jié)點(diǎn)荷載與直接結(jié)點(diǎn)荷載疊加，即得結(jié)構(gòu)的結(jié)點(diǎn)荷載。4.8kN/m2.5m2.5m5m8kN12yx例13

25、-3求圖示結(jié)構(gòu)的等效結(jié)點(diǎn)荷載P.PFe解:1)求單元,.10120111mkNMkNYXPPP-=-=mkNMkNYXPPP.10120222=-=單元,.540111mkNMkNYXPPP=mkNMkNYXPPP.540222-= TPF1012010120-= TPF540540-=2)求 PTFTP-=單元的傾角1=01 2 3 0 0 4單元的傾角2=90123000P=123401210-10+4+05 -=-=-=504504540540100000001000010000000100000001000010PTFTP TPPTFIFTP101010120-=-=-=4125-10

26、 TPF1012010120-= TPF540540-=12.7 計(jì)算步驟和算例計(jì)算步驟和算例 用矩陣位移法計(jì)算平面剛架的步驟如下： 1）整理原始數(shù)據(jù)，進(jìn)行局部編碼和整體編碼。 2）形成局部坐標(biāo)系中的單元?jiǎng)偠染仃嚒?）形成整體坐標(biāo)系中的單元?jiǎng)偠染仃嚒?）用單元集成法形成整體剛度矩陣K。5）求局部坐標(biāo)下的單元等效結(jié)點(diǎn)荷載和整體坐標(biāo)系下的單元等效結(jié)點(diǎn)荷載。6）用單元集成法形成整體結(jié)構(gòu)的等效結(jié)點(diǎn)荷載。7）解方程K=P，求出結(jié)點(diǎn)位移。8）求各桿的桿端力。矩陣位移法解圖示梁矩陣位移法解圖示梁, ,作作M圖圖. .m4kN/m4kN1061=EI242=EI61=EI2m1m8m41.1.離散化離散化12

27、34123(1)(2)(3)(4)2.2.求總剛求總剛 =35 . 15 . 18/641k =84412/2442k =35 . 15 . 133k212121212132322121432143 =35 . 1005 . 1114004115 . 1005 . 13km4kN/m4kN1061=EI242=EI61=EI2m1m8m41234123(1)(2)(3)(4)矩位移法解圖示梁矩位移法解圖示梁, ,作作M圖圖. .1.1.離散化離散化2.2.求總剛求總剛 =35 . 15 . 18/6431kk =84412/2442k =35 . 1005 . 1114004115 . 100

28、5 . 13k3.3.求總荷求總荷 0=DPkN/m424812/2=ql48108/=Pl1kN1010 -=10101qF -=48482qF21322121-=10101EF-=48482EF -=0483810EP -=0483810P矩位移法解圖示梁矩位移法解圖示梁, ,作作M圖圖. .m4kN/m4kN1061=EI242=EI61=EI2m1m8m41234123(1)(2)(3)(4)1.1.離散化離散化2.2.求總剛求總剛 =35 . 15 . 18/6431kk =84412/2442k =35 . 1005 . 1114004115 . 1005 . 13k3.3.求總荷

29、求總荷 -=10101qF -=48482qF -=0483810P4.4.邊界條件處理邊界條件處理-=048381035.1005.1114004115.1005.134321-=0483801000011400411000014321m4kN/m4kN1061=EI242=EI61=EI2m1m8m41234123(1)(2)(3)(4)矩位移法解圖示梁矩位移法解圖示梁, ,作作M圖圖. .1.1.離散化離散化2.2.求總剛求總剛 =35 . 15 . 18/6431kk =84412/2442k3.3.求總荷求總荷 -=10101qF -=48482qF4.4.邊界條件處理邊界條件處理-

30、=04838010000114004110000143215.5.解方程解方程 -=D0476.681.5043216.6.求桿端力求桿端力 -+-=101081. 5035 . 15 . 131F-=43.2729. 1矩位移法解圖示梁矩位移法解圖示梁, ,作作M圖圖. .m4kN/m4kN1061=EI242=EI61=EI2m1m8m41234123(1)(2)(3)(4)1.1.離散化離散化2.2.求總剛求總剛 =35 . 15 . 18/6431kk =84412/2442k3.3.求總荷求總荷 -=10101qF -=48482qF4.4.邊界條件處理邊界條件處理5.5.解方程解方

31、程 -=D0476.681.5043216.6.求桿端力求桿端力 -=43.2729. 11F -=-+-=43.1943.274848476. 681. 584482F =+=71. 943.19000476. 635 . 15 . 133F7.7.作作M圖圖1.2927.4319.439.71例題6矩陣位移法舉例000123000456例：求內(nèi)力。橫梁b1h1=0.5m1.26m,立柱b2h2=0.5m1m.6m12m1kN/m213xy.1031. 212,1094. 66,108 .274,109 .132,103 .83,1094. 6, 6,241, 5 . 0:33323333-

32、=lEIlEIlEIlEIlEAlEIlIA柱.1058. 012,1047. 36,108 .274,109 .132,105 .52,1094. 6,12,121,63. 0:33323333-=lEIlEIlEIlEIlEAlEIlIA梁解:1)原始數(shù)據(jù)及編碼.1031. 212,1094. 66,108 .274,109 .132,103 .83,1094. 6, 6,241, 5 . 0:33323333-=lEIlEIlEIlEIlEAlEIlIA柱-=lEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEAlEAlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEAlEAk4602

33、60612061200000260460612061200000222323222323e=8 .2794. 6094. 631. 20003 .83kk139 .1394. 6094. 631. 20003 .83-8 .2794. 609 .1394. 6094. 631. 2094. 631. 20003 .83003 .83-.1058. 012,1047. 36,108 .274,109 .132,105 .52,1094. 6,12,121,63. 0:33323333-=lEIlEIlEIlEIlEAlEIlIA梁103-=8 .2747. 3047. 358. 00005 .5

34、29 .1347. 3047. 358. 00005 .529 .1347. 3047. 358. 00005 .528 .2747. 3047. 358. 00005 .52k21032)形成k3)形成k單元、(=90o)坐標(biāo)轉(zhuǎn)換矩陣為 -=100000001000010000000100000001000010T-=1000010108 .2794. 6094. 631. 20003 .8310000101011111111TkTkT-=8 .27094. 603 .83094. 6031. 2kk131039 .13094. 603 .83094. 6031. 2-8 .27094. 6

35、9 .13094. 603 .83003 .83094. 6031. 294. 6031. 2-單元(=0o)坐標(biāo)轉(zhuǎn)換矩陣為單位矩陣所以:kk=224)形成K=00032112=654321=0006543+11k+11k=22211211kkkkK-=6 .5547. 394. 647. 388.83094. 6081.549 .1347. 3047. 358. 00005 .529 .1347. 3047. 358. 00005 .526 .5547. 394. 647. 388.83094. 6081.54K1035)求等效節(jié)點(diǎn)荷載P=3-30330F:P固端力1=-=3033-03PP

36、TFT11單元在整體坐標(biāo)系中的等效節(jié)點(diǎn)荷載000321集 成 等效 節(jié) 點(diǎn)荷載=0003-03P6)解基本方程-=DDDDDD-0003036 .5547. 394. 647. 388.83094. 6081.549 .1347. 3047. 358. 00005 .529 .1347. 3047. 358. 00005 .526 .5547. 394. 647. 388.83094. 6081.54106543213-=DDDDDD5 .9613. 58244 .2813. 5847654321=00032112=654321=0006543-=DDDDDD5 .9613. 58244 .2

37、813. 5847654321-=D5 .9613. 58244 .2813. 58477)求桿端力單元T0004 .2813. 5847-=D1=+D= PFTkF-=-+-49. 876. 443. 009. 224. 143. 03303300004 .2813. 58471000000010000100000001000000010000108 .2794. 6094. 631. 20003 .839 .1394. 6094. 631. 20003 .839 .1394. 6094. 631. 20003 .838 .2794. 6094. 631. 20003 .83103=+D=

38、PFTkF-=-04. 343. 024. 109. 243. 024. 15 .9613. 58244 .2813. 58478 .2747. 309 .1347. 3047. 358. 0047. 358. 00005 .52005 .529 .1347. 308 .2747. 3047. 358. 0047. 358. 00005 .52005 .52103=00032112=654321=0006543-=DDDDDD5 .9613. 58244 .2813. 5847654321=D0005 .9613. 5824=+D= PFTkF-=-38. 424. 143. 004. 324

39、. 143. 00005 .9613. 58241000000010000100000001000000010000108 .2794. 6094. 631. 20003 .839 .1394. 6094. 631. 20003 .839 .1394. 6094. 631. 20003 .838 .2794. 6094. 631. 20003 .83103T38. 424. 143. 004. 324. 143. 0-TF04. 343. 024. 109. 243. 024. 1 -=TF49. 876. 443. 009. 224. 143. 0-=8.492.093.044.38M圖(k

40、N.m)4.761.240.431.241.24Q圖(kN)N=0.43N=1.24N=0.43N圖(kN)返回634512（0,0,0）（0,0,0）（1,2,3）（7,8,9）（4,5,6）（10,11,12）計(jì)軸變時(shí)的結(jié)點(diǎn)位移編碼計(jì)軸變時(shí)的結(jié)點(diǎn)位移編碼634512（0,0,0）（0,0,0）（1,0,2）（4,0,5）（1,0,3）（4,0,6）不計(jì)軸變時(shí)的結(jié)點(diǎn)位移編碼不計(jì)軸變時(shí)的結(jié)點(diǎn)位移編碼梁?jiǎn)卧膯蝿偭簡(jiǎn)卧膯蝿?-=iliilililililiiliilililililikkee4/62/6/6/12/6/122/64/6/6/12/6/122222xEIAl,e12eF1eF3e

41、F2eF4梁?jiǎn)卧膯蝿偭簡(jiǎn)卧膯蝿?-=iliilililililiiliilililililikkee4/62/6/6/12/6/122/64/6/6/12/6/122222xEIAl,e12eF1eF3eF2eF4柱單元的單剛柱單元的單剛局部單剛與梁相同局部單剛與梁相同.eeF1eF3eF2eF4eF2eF41eF1eF3111i 4i 4i 2i 2li/6li/6li/6li/6 -=iliilililililiiliilililililikkee4/62/6/6/12/6/122/64/6/6/12/6/122222qP不計(jì)軸變不計(jì)軸變, ,作彎矩圖作彎矩圖已知已知: :各桿長(zhǎng)均為各

42、桿長(zhǎng)均為12m,12m,線剛度均為線剛度均為1212mkNqkNP/5,10=1(0,0,0)2(0,0,0) 3(1,0,2)4(1,0,3) 123解解: : -=486246616124648661611k43212100 -=486246616124648661611k =k32132148661qP不計(jì)軸變不計(jì)軸變, ,作彎矩圖作彎矩圖已知已知: :各桿長(zhǎng)均為各桿長(zhǎng)均為12m,12m,線剛度均為線剛度均為1212mkNqkNP/5,10=1(0,0,0)2(0,0,0) 3(1,0,2)4(1,0,3) 123解解: : -=4862466161246486616122kk43213

43、020 =k3213214866148242448+43213100 -=486246616124648661613kqP1(0,0,0)2(0,0,0) 3(1,0,2)4(1,0,3) 123不計(jì)軸變不計(jì)軸變, ,作彎矩圖作彎矩圖已知已知: :各桿長(zhǎng)均為各桿長(zhǎng)均為12m,12m,線剛度均為線剛度均為1212mkNqkNP/5,10=解解: : -=4862466161246486616122kk4321302043213100 -=486246616124648661613k =k3213219624624966662X XY Y6345121(1,2)2(3,4)3(5,6)4(7,8)

44、5(7,8)6(9,10)7(11,12)8(13,14)9(15,16)10(17,18)7891011121314151617xEAl,e12e1e2eF1eF211=elEA/lEA/12=elEA/lEA/eeelEAlEAF211-=eeelEAlEAF212+-=eelEAlEAlEAlEAFF-=2121/elEA-=211111 eeekF=局部坐標(biāo)系單元?jiǎng)偠确匠叹植孔鴺?biāo)系單元?jiǎng)偠确匠?-=1111lEAke局部單剛局部單剛-整體部坐標(biāo)系單元?jiǎng)偠确匠陶w部坐標(biāo)系單元?jiǎng)偠确匠?整體單剛整體單剛exeF1yeF2eF2eF1eF4eF3sincos211eeeFFF+=sincos

45、432eeeFFF+=eeFFFFFF=432121sincos0000sincos eeeFTF= eeeT= eeeTeeTkTF= eeekF= eeTeeTkTk = eelEAk-=22222222sinsincossinsincossincoscossincoscossinsincossinsincossincoscossincoscos-整體單剛整體單剛 eelEAk-=22222222sinsincossinsincossincoscossincoscossinsincossinsincossincoscossincoscos整體分析及求桿端力與剛架類似整體分析及求桿端力與剛架

46、類似.例例:矩陣位移法求圖示桁架各桿軸力矩陣位移法求圖示桁架各桿軸力.P4m3m已知已知:EA=6 0 , P=100解解:3121(0,0)2(0,0)3(0,0)4(1,2) -=-=11112011111lEAk901= -=1010000010100000201k43212100 =20000k-整體單剛整體單剛 eelEAk-=22222222sinsincossinsincossincoscossincoscossinsincossinsincossincoscossincoscosP4m3m3121(0,0)2(0,0)3(0,0)4(1,2) -=1111122k5/3sin5/4cos22= -=32. 476. 532. 476. 576. 568. 776. 568. 732. 476. 532. 476. 576. 568. 776. 568. 7202k43212100 =32.2476.576.568.7k-整體單剛整體單剛 eelEAk-=22222222sinsincossinsincossincoscossincoscossinsincossinsincossincoscossincoscosP4m3m3121(0,0)2(0,0)3(0,0)4(1,2) -=11