第十二章 矩陣位移法 - 四川理工學院

1、第十二章第十二章 矩矩 陣陣 位位 移移 法法學習內(nèi)容 有限單元法的基本概念，結(jié)構(gòu)離散化。 平面桿系結(jié)構(gòu)的單元分析：局部坐標系下的單元剛度矩陣和整體坐標系下的單元剛度矩陣。 平面桿系結(jié)構(gòu)的整體分析：結(jié)構(gòu)整體剛度矩陣和結(jié)構(gòu)整體剛度方程。 邊界條件的處理，單元內(nèi)力計算。 利用對稱性簡化位移法計算。 矩陣位移法的計算步驟和應用舉例。學習目的和要求矩陣位移法矩陣位移法是以計算機為計算工具的現(xiàn)代化結(jié)構(gòu)分析方法?；谠摲ǖ慕Y(jié)構(gòu)分析程序在結(jié)構(gòu)設(shè)計中得到了廣泛的應用。因此，以計算機進行結(jié)構(gòu)分析是本章的學習目的。矩陣位移法是以位移法為理論基礎(chǔ)，以矩陣為表現(xiàn)形式，以計算矩陣位移法是以位移法為理論基礎(chǔ)，以矩陣為表現(xiàn)

2、形式，以計算機為為運算工具的綜合分析方法。機為為運算工具的綜合分析方法。引入矩陣運算的目的是式計算過程程序化，便于計算機自動化處理盡管矩陣位移法運算模式呆板，過程繁雜，但這些正是計算機所需要的和十分容易解決的。矩陣位移法的特點是用“機算”代替“手算”。因此，學習本章是既要了解它與位移法的共同點，更要了解它的一些新手法和新思想。本章的基本要求本章的基本要求：矩陣位移法包含兩個基本環(huán)節(jié)：單元分析和整體分析。在單元分析中，熟練掌握單元剛度矩陣和單元等效荷載的概念和形成。熟練掌握已知結(jié)點位移求單元桿端力的計算方法。在整體分析中，熟練掌握結(jié)構(gòu)整體剛度矩陣元素的物理意義和集成過程，熟練掌握結(jié)構(gòu)綜合結(jié)點荷載

3、的集成過程。掌握單元定位向量的建立，支撐條件的處理。自由式單元的單元剛度矩陣要求背記，但要領(lǐng)會其物理意義，并會有它推出特殊單元的單元剛度矩陣。12.1 概概 述述 矩陣位移法以傳統(tǒng)的結(jié)構(gòu)力學作為理論基礎(chǔ)，以矩陣作為數(shù)學表達形式，以電子計算機作為計算手段，一種三位一體的方法。采用矩陣進行運算，不僅公式緊湊，而且形式統(tǒng)一，便于使計算過程規(guī)格化和程序化。這些正是適應了電子計算機進行自動化計算的要求。1、矩陣位移法的基本思路先將結(jié)構(gòu)離散成有限個單元，按照單元的力學性質(zhì)，建立單元剛度方程，形成單元剛度矩陣；然后在滿足變形條件和平衡條件的前提下，將這些單元集合成整體，即由單元剛度矩陣集成整體剛度矩陣，建立

4、結(jié)構(gòu)的位移法基本方程，進而求出結(jié)構(gòu)的位移和內(nèi)力。這樣，在一撤一搭的過程中就使一個復雜結(jié)構(gòu)的計算問題轉(zhuǎn)化為有限個簡單單元的分析與集成問題。因此，矩陣位移法基本環(huán)節(jié)是：結(jié)構(gòu)的離散化、單元分析和整體分析。2、單元劃分在桿件結(jié)構(gòu)矩陣分析中，一般是把桿件的轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)折點、匯交點、邊界點、突變點或集中荷載作用點等列為結(jié)點，結(jié)點之間的桿件部分作為單元。如圖1（a）所示。為了減少基本未知量的數(shù)目，跨間集中荷載作用點可不作為結(jié)點，但要計算跨間荷載的等效結(jié)點荷載；跨間結(jié)點也可不作為結(jié)點（如圖1（b）所示），但要推到相應的單元剛度矩陣，編程序麻煩。12.2單元分析一單元分析一 局部坐標系下的單元分析 單元分析的目的是建立

5、單元剛度方程，形成單元剛度矩陣。1、坐標系的選擇:在矩陣位移法中采用兩種坐標系：局部坐標系和整體坐標系。采用局部坐標系（以桿的軸線作為軸如圖2），可直接由虎克定律、轉(zhuǎn)角位移方程得到2、局部坐標系中的單元剛度矩陣在局部坐標系中，桿端力及桿端位移的正方向如圖2所示。單元剛度方程可表示為：其中單元的桿端力列陣和桿端位移列陣為：單元剛度方程單元剛度方程1q1u1v2v2q2u1X1Y1M2X2Y2M)(,1221uulNXNX-=D=-=llEAND=)(),(212211uulEAXuulEAX-=-=由虎克定律：由轉(zhuǎn)角位移方程，并考慮：2QYBA=1,QYAB-=12,vv -=D()212212

6、212)(6vvlEIlEIY-+-=qq()212212112)(6vvlEIlEIY-+=qq()212212642vvlEIlEIlEIM-+=qq()212211624vvlEIlEIlEIM-+=qq寫成矩陣表達式為：222111MYXMYXe222111qqvuvue-lEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEAlEAlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEAlEA460260612061200000260460612061200000222323222323= kee單元剛度方程單元剛度矩陣212221121121DD=kkkkFFD= kF3、單元剛度矩陣

7、的特性單元剛度系數(shù)的意義單剛中的每個元素稱為單元剛度系數(shù)，代表由于單位桿端位移引起的桿端力。如第i行第j列元素代表當?shù)趈個桿端位移分量=1（其它位移分量為零）時引起的第i個桿端力分量的值。單剛中第j列元素代表當?shù)趈個桿端位移分量=1（其它位移分量為零）時引起的六個桿端力分量的值。由圖10-4可見，產(chǎn)生的單元變形及單元的桿端力與產(chǎn)生的單元變形及單元的桿端力相同。由此得到：單元剛度矩陣的第二列元素變符號即第五列元素，第一列元素變符號即第四列元素。第三列元素不變符號即第六列元素，但要注意,。由于單元剛度矩陣是對稱矩陣，所以，各行元素之間也具有類似的關(guān)系。由反力互等定理可知，單元剛度矩陣是對稱矩陣。一

8、般單元的單元剛度矩陣是奇異矩陣，不存在逆陣。因此上，由單元剛度方程，如已知桿端位移可求出桿端力，且是唯一解。但如已知桿端力，則求不出桿端位移，桿端位移可能無解，可能無唯一解?？砂礂U端將單元剛度方程寫成分塊形式：一般單元的單元剛度矩陣是奇異矩陣。不存在逆矩陣。與單元剛度方程相應的正、反兩類問題如表。4、特殊單元的單元剛度矩陣一般單元的六個桿端位移分量可以指定為任意值。特殊單元的某個或某些桿端位移已知為零。特殊單元的單元剛度矩陣，可由一般單元的剛度矩陣中劃去與零位移對應的行和列得到。忽略軸向變形時梁單元在局部坐標系中的單元剛度矩陣。連續(xù)梁單元的單元剛度矩陣。桁架單元在局部坐標系中的單元剛度矩陣。1

9、2.3單元分析二單元分析二 整體坐標系下的單元分析選局部坐標系推導單元剛度矩陣方便且單元剛度矩陣的形式簡單。但是，在一個復雜的結(jié)構(gòu)中，各單元的局部坐標系不盡相同，很不統(tǒng)一。為了進行整體分析，必須選一個統(tǒng)一的坐標系（稱為整體坐標系)。按這個統(tǒng)一的坐標系來建立各單元的剛度矩陣。單元坐標轉(zhuǎn)換矩陣單元坐標轉(zhuǎn)換矩陣1X1Y1M2X2Y2Myx1X1Y1M2X2Y2Myxyxyx11111111cossinsincosMMYXYYXX=+-=+=22222222cossinsincosMMYXYYXX=+-=+=局部坐標系中的桿端力整體坐標系中的桿端力寫成矩陣表達式：=222111MYXMYX222111

10、MYXMYX-1000000cossin0000sincos0000001000000cossin0000sincos單元坐標轉(zhuǎn)換矩陣T是一正交矩陣。TTT1=-同理：（a）（b）FTF=FTFT=D=DTD=DTT =T2、整體坐標系中的單元剛度矩陣3、整體坐標系中的單元剛度矩陣的特性整體坐標系中的單元剛度矩陣與局部坐標系中的單元剛度矩陣有類似的特性。另外還有，局部坐標系中的單元剛度矩陣，只與單元的幾何形狀、物理常數(shù)有關(guān)，而與單元的位置和方位無關(guān)。整體坐標系中的單元剛度矩陣，與單元的幾何形狀、物理常數(shù)及單元的方位有關(guān)。例題1建立單元剛度矩陣例13-1求圖示剛架中各單元在整體標系中的單元剛度矩

11、陣。設(shè)各桿的幾何尺寸相同。l=5m，A=0.5m2, I=1/24m4E=3107kN/m2441025,10300=lEIlEA21解(1)求k1k2=-lEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEAlEAlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEAlEA460260612061200000260460612061200000222323222323503003012000300-1003003012000300503003012000300-1003003012000300-104,101004,10306,10121244243=lEIlEIlEI（2）求 ke kkI

12、T=,11單元=9021單元=0 -=100000001000010000000100000001000010Tk2=500300300030012-1000300300030012-500300300030012-100030030003012104-=100001010100300301200030010000101011111111TkTkT返回12.4連續(xù)梁整體分析連續(xù)梁整體分析 整體分析的目的是建立整體剛度方程，導出整體剛度矩陣。具體作法有兩種：一種是傳統(tǒng)位移法，另一種是單元集成法（即剛度集成法或直接剛度法）。下面以連續(xù)梁為例，用傳統(tǒng)位移法建立整體剛度方程，進而總結(jié)出單元集成法。整體

13、剛度方程是整體結(jié)構(gòu)的結(jié)點力與結(jié)點位移之間的關(guān)系式，是通過考慮結(jié)構(gòu)的變形連續(xù)條件和平衡條件建立起來的。無論何種結(jié)構(gòu)，其整體剛度方程都具有統(tǒng)一的形式：K是整體剛度矩陣，結(jié)構(gòu)的結(jié)點位移列向量，F(xiàn)結(jié)構(gòu)的結(jié)點力列向量。2、整體剛度矩陣的性質(zhì)K中的元素Kij稱為整體剛度系數(shù)，它表示當?shù)趈個結(jié)點位移分量j=1（其他結(jié)點位移分量為零）時所產(chǎn)生的第i個結(jié)點力Fi。K是對稱矩陣，是稀疏帶狀矩陣。引入支承條件之前是奇異矩陣，引入支承條件之后是非奇異矩陣，存在逆陣。3、整體剛度矩陣的集成由變形連續(xù)條件知，結(jié)點發(fā)生單位位移，交與該結(jié)點的各單元的桿端也發(fā)生單位位移；由剛度系數(shù)的物理意義知，單位桿端位移產(chǎn)生的桿端力是單元剛

14、度矩陣中的元素，單位結(jié)點位移產(chǎn)生的結(jié)點力是整體剛度矩陣中的元素；由平衡條件知交與某結(jié)點的各單元桿端力之和等于該結(jié)點的相應結(jié)點力。故整體剛度矩陣中的元素是由對應的單元剛度矩陣中的元素疊加而成。綜上所述，直接剛度法是根據(jù)單元的結(jié)點位移分量的局部碼和總碼之間的對應關(guān)系，由單元剛度矩陣集成結(jié)構(gòu)整體剛度矩陣。4、單元定位向量集成整體剛度矩陣的關(guān)鍵，是定單元剛度矩陣中的元素在整體剛度矩陣中的位置。這首先要知道單元的結(jié)點位移分量的局部碼和總碼之間的對應關(guān)系，即單元定位向量。它是單元結(jié)點位移總碼按局部碼順序排列而成的向量記為。圖9所示連續(xù)梁各單元的這種對應關(guān)系及各單元定位向量如下表。其次，要注意在單元剛度矩陣

15、中，元素按局部碼排列，在整體剛度矩陣中，元素按總碼排列。所以單元剛度矩陣中的元素在整體剛度矩陣中的定位原則是：將各單元的單剛的行列局部碼（i）、（j）換成對應的結(jié)點位移總碼i、j，按此行列總碼將單剛元素送入總剛。即直接剛度法的實施過程如下：將K置零。將單元定位向量寫在單元剛度矩陣的上方和右側(cè)，確定出單元剛度矩陣中的各元素在整體剛度矩陣K中的位置并累加到K。對所有單元循環(huán)一邊，最后得到整體剛度矩陣K。例題2建立連續(xù)梁剛度矩陣例13-1試求圖示連續(xù)梁的整體剛度矩陣K。i1i2i31230123解：1）編碼凡給定為零的結(jié)點位移分量,其總碼均編為零。=112=2232）單元定位向量=3303）求單剛并

16、集成總剛k=14i12i12i14i1(1)(2)12 =K4i12i12i14i1k=24i22i22i24i2(1)(2)23+4i22i22i24i2k=34i32i32i34i3(1)(2)30+4i312312300在給節(jié)點位移編碼時已經(jīng)考慮了支承條件。(先處理法)返回12.5 剛架整體分析剛架整體分析 1、剛架整體分析的特點 剛架的整體分析與連續(xù)梁相比，基本思路相同，但情況復雜一些，主要表現(xiàn)在：1）剛架中每個結(jié)點位移分量增加到三個：角位移和兩個方向的線位移。(一般情況下要考慮剛架各桿的軸向變形）；2）各桿方向不盡相同，在整體分析中采用整體坐標系，故要進行坐標變換；3）剛架中除了剛結(jié)

17、點，還要考慮鉸結(jié)點等其它情況。2、單元定位向量1）結(jié)點位移分量的統(tǒng)一編碼總碼平面剛架中的一個結(jié)點可能有一個、兩個或三個結(jié)點位移，在進行結(jié)點位移分量編碼時，應考慮每個結(jié)點的位移情況，對結(jié)構(gòu)的所有結(jié)點位移分量進行統(tǒng)一編碼。對每個結(jié)點的三個位移分量，按照先x軸方向，再y軸方向后轉(zhuǎn)動放順序依次編碼，編完一個結(jié)點再編下一個結(jié)點。對于已知為零的結(jié)點位移分量，其總碼均編為0。如圖10(a)結(jié)構(gòu)的結(jié)點位移分量的統(tǒng)一編碼如圖中所示。2）單元定位向量圖10(a)所示各桿軸上的箭頭表示各單元局部坐標系的軸的正方向，單元在始末兩端的六個位移分量的局部碼(1)、(2)、(6)也是按著先x軸方向，再y軸方向后轉(zhuǎn)動放順序依

18、次編碼的，如圖10(b)所示。單元定位向梁仍然是由單元結(jié)點位移總碼按局部碼順序排列而成的向量。各單元結(jié)點位移分量局部馬和總碼之間的對應關(guān)系及單元定位向量如下表。單元單元局部碼總碼單元定位向量局部碼總碼單元定位向量(1)1(2)2(3)3(4)0(5)0(6)4(1)1(2)2(3)3(4)0(5)0(6)03、單元集成過程：與連續(xù)梁整體剛度矩陣集成過程相同。將K置零。將單元定位向量寫在單元剛度矩陣的上方和右側(cè)，確定出單元剛度矩陣中的各元素在整體剛度矩陣K中的位置并累加到K。對所有單元循環(huán)一邊，最后得到整體剛度矩陣K。例題3建立剛架剛度矩陣1、結(jié)點位移分量的統(tǒng)一編碼總碼yx000123040結(jié)點

19、位移列陣:=1234T=uAvAACT結(jié)點力列陣:F=F1F2F3F4T2、單元定位向量211(1)(2)(3)(4)(6)(5)2(1)(2)(3)(5)(4)(6)=1123004T=2123000TACB集成圖示結(jié)構(gòu)的整體剛度矩陣3、單元集成過程503003012000300-1003003012000300503003012000300-1003003012000300-104k=1123004K=123430000001230100030100500305030104k2=500300300030012-1000300300030012-500300300030012-1000300

20、30003012104123000+12+030+0+300+030+0+100已知單剛返回4、鉸結(jié)點的處理給結(jié)點位移分量進行統(tǒng)一編碼時，考慮鉸結(jié)點的特點。圖11所示結(jié)構(gòu)在鉸結(jié)點處的兩桿端結(jié)點應看作半獨立的兩個結(jié)點（C1和C2）它們的線位移相同，編成同碼，角位移不同，編成異碼。例題4帶鉸結(jié)點剛架剛度矩陣1）結(jié)點位移分量的統(tǒng)一編碼鉸結(jié)點處的兩桿端結(jié)點應看作半獨立的兩個結(jié)點（C1和C2），它們的線位移相同，采用同碼，角位移不同，采用異碼。集成圖示剛架的整體剛度矩陣2）單元定位向量：=1123456T=2123000T=3457000T3）按次序進行單元集成：00012321AC1BD0004564

21、75C23503003012000300-1003003012000300503003012000300-1003003012000300-104k=11234561234567300500-3010030000-30000012300-12300301000-30500-12-30012-30K=104-3000030000123000k2=500300300030012-1000300300030012-500300300030012-100030030003012104+12+030+0+300+030+0+100k3=500300300030012-1000300300030012-5

22、00300300030012-100030030003012104457000+12+030+0+300+030+0+10030?已知單元剛度矩陣返回返回12.6 等效結(jié)點荷載等效結(jié)點荷載 1、位移法基本方程 1）整體剛度矩陣 前面討論了結(jié)構(gòu)的整體剛度矩陣，建立了整體剛度方程 F=K（a） 它表示由結(jié)點位移推算結(jié)點力F的關(guān)系式。它只反映了結(jié)構(gòu)的剛度性質(zhì)，不涉及結(jié)構(gòu)上的實際荷載。并不是用以分析原結(jié)構(gòu)的位移法方程。2）位移法基本方程按位移法計算，就是將原結(jié)構(gòu)分解為如圖12所示位移法基本體系的兩種狀態(tài)：狀態(tài)一只有荷載單獨作用（結(jié)點位移為零）此時在基本結(jié)構(gòu)中引起的結(jié)點約束力，記為FP 。狀態(tài)二只有結(jié)點

23、位移單獨作用（荷載為零）此時在基本結(jié)構(gòu)中引起的結(jié)點約束力為位移法基本方程是基本體系附加約束中的總反力2、等效結(jié)點荷載原荷載可以是非結(jié)點荷載，或是結(jié)點荷載，或是兩者的組合。現(xiàn)將原荷載換成與之等效的結(jié)點荷載P 。等效的原則是原荷載與等效結(jié)點荷載產(chǎn)生相同的結(jié)點位移?；蛘f是原荷載與等效結(jié)點荷載在位移法基本體系中產(chǎn)生相同的結(jié)點約束力FP 。由此及可得出如下的結(jié)論：等效結(jié)點荷載為P=-Fp位移法基本方程為K=P(c)如將剛度方程(a)中的結(jié)點力F換成等效結(jié)點荷載P 及得到位移法基本方程(c)。3、集成等效結(jié)點荷載將非結(jié)點荷載化為等效結(jié)點荷載的具體作法如下：e求實際荷載產(chǎn)生的單元的固端力向量形成局部坐標系中

24、的單元等效結(jié)點荷載：形成整體坐標系中的單元等效結(jié)點荷載：。依次將各單元的等效結(jié)點荷載P 中元素按單元定位向量在整體結(jié)構(gòu)的等效結(jié)點荷載P 中進行定位累加，最后得到P 。如果結(jié)構(gòu)還作用著直接結(jié)點荷載，將結(jié)構(gòu)等效結(jié)點荷載與直接結(jié)點荷載相累加，即得結(jié)構(gòu)結(jié)點荷載列陣。4、單元最后桿端力：或者：例題5等效結(jié)點荷載矩陣按單元集成法求整體結(jié)構(gòu)的等效結(jié)點荷載局部坐標系中的單元固端約束力PFe整體坐標系中的單元等效結(jié)點荷載 PTFTP-=ee整體結(jié)構(gòu)的等效結(jié)點荷載P由各單元P中的元素按在P中進行定位并累加。e等效結(jié)點荷載與直接結(jié)點荷載疊加，即得結(jié)構(gòu)的結(jié)點荷載。4.8kN/m2.5m2.5m5m8kN12yx例13

25、-3求圖示結(jié)構(gòu)的等效結(jié)點荷載P.PFe解:1)求單元,.10120111mkNMkNYXPPP-=-=mkNMkNYXPPP.10120222=-=單元,.540111mkNMkNYXPPP=mkNMkNYXPPP.540222-= TPF1012010120-= TPF540540-=2)求 PTFTP-=單元的傾角1=01 2 3 0 0 4單元的傾角2=90123000P=123401210-10+4+05 -=-=-=504504540540100000001000010000000100000001000010PTFTP TPPTFIFTP101010120-=-=-=4125-10

26、 TPF1012010120-= TPF540540-=12.7 計算步驟和算例計算步驟和算例 用矩陣位移法計算平面剛架的步驟如下： 1）整理原始數(shù)據(jù)，進行局部編碼和整體編碼。 2）形成局部坐標系中的單元剛度矩陣。3）形成整體坐標系中的單元剛度矩陣。4）用單元集成法形成整體剛度矩陣K。5）求局部坐標下的單元等效結(jié)點荷載和整體坐標系下的單元等效結(jié)點荷載。6）用單元集成法形成整體結(jié)構(gòu)的等效結(jié)點荷載。7）解方程K=P，求出結(jié)點位移。8）求各桿的桿端力。矩陣位移法解圖示梁矩陣位移法解圖示梁, ,作作M圖圖. .m4kN/m4kN1061=EI242=EI61=EI2m1m8m41.1.離散化離散化12

27、34123(1)(2)(3)(4)2.2.求總剛求總剛 =35 . 15 . 18/641k =84412/2442k =35 . 15 . 133k212121212132322121432143 =35 . 1005 . 1114004115 . 1005 . 13km4kN/m4kN1061=EI242=EI61=EI2m1m8m41234123(1)(2)(3)(4)矩位移法解圖示梁矩位移法解圖示梁, ,作作M圖圖. .1.1.離散化離散化2.2.求總剛求總剛 =35 . 15 . 18/6431kk =84412/2442k =35 . 1005 . 1114004115 . 100

28、5 . 13k3.3.求總荷求總荷 0=DPkN/m424812/2=ql48108/=Pl1kN1010 -=10101qF -=48482qF21322121-=10101EF-=48482EF -=0483810EP -=0483810P矩位移法解圖示梁矩位移法解圖示梁, ,作作M圖圖. .m4kN/m4kN1061=EI242=EI61=EI2m1m8m41234123(1)(2)(3)(4)1.1.離散化離散化2.2.求總剛求總剛 =35 . 15 . 18/6431kk =84412/2442k =35 . 1005 . 1114004115 . 1005 . 13k3.3.求總荷

29、求總荷 -=10101qF -=48482qF -=0483810P4.4.邊界條件處理邊界條件處理-=048381035.1005.1114004115.1005.134321-=0483801000011400411000014321m4kN/m4kN1061=EI242=EI61=EI2m1m8m41234123(1)(2)(3)(4)矩位移法解圖示梁矩位移法解圖示梁, ,作作M圖圖. .1.1.離散化離散化2.2.求總剛求總剛 =35 . 15 . 18/6431kk =84412/2442k3.3.求總荷求總荷 -=10101qF -=48482qF4.4.邊界條件處理邊界條件處理-

30、=04838010000114004110000143215.5.解方程解方程 -=D0476.681.5043216.6.求桿端力求桿端力 -+-=101081. 5035 . 15 . 131F-=43.2729. 1矩位移法解圖示梁矩位移法解圖示梁, ,作作M圖圖. .m4kN/m4kN1061=EI242=EI61=EI2m1m8m41234123(1)(2)(3)(4)1.1.離散化離散化2.2.求總剛求總剛 =35 . 15 . 18/6431kk =84412/2442k3.3.求總荷求總荷 -=10101qF -=48482qF4.4.邊界條件處理邊界條件處理5.5.解方程解方

31、程 -=D0476.681.5043216.6.求桿端力求桿端力 -=43.2729. 11F -=-+-=43.1943.274848476. 681. 584482F =+=71. 943.19000476. 635 . 15 . 133F7.7.作作M圖圖1.2927.4319.439.71例題6矩陣位移法舉例000123000456例：求內(nèi)力。橫梁b1h1=0.5m1.26m,立柱b2h2=0.5m1m.6m12m1kN/m213xy.1031. 212,1094. 66,108 .274,109 .132,103 .83,1094. 6, 6,241, 5 . 0:33323333-

32、=lEIlEIlEIlEIlEAlEIlIA柱.1058. 012,1047. 36,108 .274,109 .132,105 .52,1094. 6,12,121,63. 0:33323333-=lEIlEIlEIlEIlEAlEIlIA梁解:1)原始數(shù)據(jù)及編碼.1031. 212,1094. 66,108 .274,109 .132,103 .83,1094. 6, 6,241, 5 . 0:33323333-=lEIlEIlEIlEIlEAlEIlIA柱-=lEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEAlEAlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEAlEAk4602

33、60612061200000260460612061200000222323222323e=8 .2794. 6094. 631. 20003 .83kk139 .1394. 6094. 631. 20003 .83-8 .2794. 609 .1394. 6094. 631. 2094. 631. 20003 .83003 .83-.1058. 012,1047. 36,108 .274,109 .132,105 .52,1094. 6,12,121,63. 0:33323333-=lEIlEIlEIlEIlEAlEIlIA梁103-=8 .2747. 3047. 358. 00005 .5

34、29 .1347. 3047. 358. 00005 .529 .1347. 3047. 358. 00005 .528 .2747. 3047. 358. 00005 .52k21032)形成k3)形成k單元、(=90o)坐標轉(zhuǎn)換矩陣為 -=100000001000010000000100000001000010T-=1000010108 .2794. 6094. 631. 20003 .8310000101011111111TkTkT-=8 .27094. 603 .83094. 6031. 2kk131039 .13094. 603 .83094. 6031. 2-8 .27094. 6

35、9 .13094. 603 .83003 .83094. 6031. 294. 6031. 2-單元(=0o)坐標轉(zhuǎn)換矩陣為單位矩陣所以:kk=224)形成K=00032112=654321=0006543+11k+11k=22211211kkkkK-=6 .5547. 394. 647. 388.83094. 6081.549 .1347. 3047. 358. 00005 .529 .1347. 3047. 358. 00005 .526 .5547. 394. 647. 388.83094. 6081.54K1035)求等效節(jié)點荷載P=3-30330F:P固端力1=-=3033-03PP

36、TFT11單元在整體坐標系中的等效節(jié)點荷載000321集 成 等效 節(jié) 點荷載=0003-03P6)解基本方程-=DDDDDD-0003036 .5547. 394. 647. 388.83094. 6081.549 .1347. 3047. 358. 00005 .529 .1347. 3047. 358. 00005 .526 .5547. 394. 647. 388.83094. 6081.54106543213-=DDDDDD5 .9613. 58244 .2813. 5847654321=00032112=654321=0006543-=DDDDDD5 .9613. 58244 .2

37、813. 5847654321-=D5 .9613. 58244 .2813. 58477)求桿端力單元T0004 .2813. 5847-=D1=+D= PFTkF-=-+-49. 876. 443. 009. 224. 143. 03303300004 .2813. 58471000000010000100000001000000010000108 .2794. 6094. 631. 20003 .839 .1394. 6094. 631. 20003 .839 .1394. 6094. 631. 20003 .838 .2794. 6094. 631. 20003 .83103=+D=

38、PFTkF-=-04. 343. 024. 109. 243. 024. 15 .9613. 58244 .2813. 58478 .2747. 309 .1347. 3047. 358. 0047. 358. 00005 .52005 .529 .1347. 308 .2747. 3047. 358. 0047. 358. 00005 .52005 .52103=00032112=654321=0006543-=DDDDDD5 .9613. 58244 .2813. 5847654321=D0005 .9613. 5824=+D= PFTkF-=-38. 424. 143. 004. 324

39、. 143. 00005 .9613. 58241000000010000100000001000000010000108 .2794. 6094. 631. 20003 .839 .1394. 6094. 631. 20003 .839 .1394. 6094. 631. 20003 .838 .2794. 6094. 631. 20003 .83103T38. 424. 143. 004. 324. 143. 0-TF04. 343. 024. 109. 243. 024. 1 -=TF49. 876. 443. 009. 224. 143. 0-=8.492.093.044.38M圖(k

40、N.m)4.761.240.431.241.24Q圖(kN)N=0.43N=1.24N=0.43N圖(kN)返回634512（0,0,0）（0,0,0）（1,2,3）（7,8,9）（4,5,6）（10,11,12）計軸變時的結(jié)點位移編碼計軸變時的結(jié)點位移編碼634512（0,0,0）（0,0,0）（1,0,2）（4,0,5）（1,0,3）（4,0,6）不計軸變時的結(jié)點位移編碼不計軸變時的結(jié)點位移編碼梁單元的單剛梁單元的單剛 -=iliilililililiiliilililililikkee4/62/6/6/12/6/122/64/6/6/12/6/122222xEIAl,e12eF1eF3e

41、F2eF4梁單元的單剛梁單元的單剛 -=iliilililililiiliilililililikkee4/62/6/6/12/6/122/64/6/6/12/6/122222xEIAl,e12eF1eF3eF2eF4柱單元的單剛柱單元的單剛局部單剛與梁相同局部單剛與梁相同.eeF1eF3eF2eF4eF2eF41eF1eF3111i 4i 4i 2i 2li/6li/6li/6li/6 -=iliilililililiiliilililililikkee4/62/6/6/12/6/122/64/6/6/12/6/122222qP不計軸變不計軸變, ,作彎矩圖作彎矩圖已知已知: :各桿長均為各

42、桿長均為12m,12m,線剛度均為線剛度均為1212mkNqkNP/5,10=1(0,0,0)2(0,0,0) 3(1,0,2)4(1,0,3) 123解解: : -=486246616124648661611k43212100 -=486246616124648661611k =k32132148661qP不計軸變不計軸變, ,作彎矩圖作彎矩圖已知已知: :各桿長均為各桿長均為12m,12m,線剛度均為線剛度均為1212mkNqkNP/5,10=1(0,0,0)2(0,0,0) 3(1,0,2)4(1,0,3) 123解解: : -=4862466161246486616122kk43213

43、020 =k3213214866148242448+43213100 -=486246616124648661613kqP1(0,0,0)2(0,0,0) 3(1,0,2)4(1,0,3) 123不計軸變不計軸變, ,作彎矩圖作彎矩圖已知已知: :各桿長均為各桿長均為12m,12m,線剛度均為線剛度均為1212mkNqkNP/5,10=解解: : -=4862466161246486616122kk4321302043213100 -=486246616124648661613k =k3213219624624966662X XY Y6345121(1,2)2(3,4)3(5,6)4(7,8)

44、5(7,8)6(9,10)7(11,12)8(13,14)9(15,16)10(17,18)7891011121314151617xEAl,e12e1e2eF1eF211=elEA/lEA/12=elEA/lEA/eeelEAlEAF211-=eeelEAlEAF212+-=eelEAlEAlEAlEAFF-=2121/elEA-=211111 eeekF=局部坐標系單元剛度方程局部坐標系單元剛度方程 -=1111lEAke局部單剛局部單剛-整體部坐標系單元剛度方程整體部坐標系單元剛度方程-整體單剛整體單剛exeF1yeF2eF2eF1eF4eF3sincos211eeeFFF+=sincos

45、432eeeFFF+=eeFFFFFF=432121sincos0000sincos eeeFTF= eeeT= eeeTeeTkTF= eeekF= eeTeeTkTk = eelEAk-=22222222sinsincossinsincossincoscossincoscossinsincossinsincossincoscossincoscos-整體單剛整體單剛 eelEAk-=22222222sinsincossinsincossincoscossincoscossinsincossinsincossincoscossincoscos整體分析及求桿端力與剛架類似整體分析及求桿端力與剛架

46、類似.例例:矩陣位移法求圖示桁架各桿軸力矩陣位移法求圖示桁架各桿軸力.P4m3m已知已知:EA=6 0 , P=100解解:3121(0,0)2(0,0)3(0,0)4(1,2) -=-=11112011111lEAk901= -=1010000010100000201k43212100 =20000k-整體單剛整體單剛 eelEAk-=22222222sinsincossinsincossincoscossincoscossinsincossinsincossincoscossincoscosP4m3m3121(0,0)2(0,0)3(0,0)4(1,2) -=1111122k5/3sin5/4cos22= -=32. 476. 532. 476. 576. 568. 776. 568. 732. 476. 532. 476. 576. 568. 776. 568. 7202k43212100 =32.2476.576.568.7k-整體單剛整體單剛 eelEAk-=22222222sinsincossinsincossincoscossincoscossinsincossinsincossincoscossincoscosP4m3m3121(0,0)2(0,0)3(0,0)4(1,2) -=11