輪胎模型20100312

1、第一章 輪胎模型目錄1.1 輪胎側偏特性介紹11.2 輪胎縱滑與側滑下的簡化理論模型1輪胎坐標系11.2.2 理論模型推導21.2.2.1 接地印跡不存在滑移的情況41.2.2.2 接地印跡存在滑移的情況61.2.2.3 兩種特殊載荷分布函數(shù)下的輪胎模型91.3 輪胎側偏特性的半經驗模型12“統(tǒng)一模型”(Unitire Model)13“魔術模型”（Magic Formula Tire Model）141.4 輪胎的“環(huán)模型”16坐標系、位移和應變171.4.1.1 坐標系的建立171.4.1.2 任意點的位移181.4.1.3 應變位移關系19動力學方程221.4.2.1 哈密爾頓原理221

2、.4.2.2 輪輞輪胎系統(tǒng)的動能231.4.2.3 非保守力做的功24保守力做的功261.4.2.5 環(huán)模型的動力學模型281.4.2.6 復習復合函數(shù)的變分291.5 基于環(huán)模型的“swift模型”30第一章 輪胎模型簡單說明輪胎分析對車輛動力學特性研究中的作用1.1 輪胎側偏特性介紹（引入為何要介紹復雜的輪胎模型）1、 先介紹為何輪胎在車輛動力學特性分析中的重要作用車輛受到的外力，除了空氣阻力和重力外，其它的力都通過輪胎作用于車輛，因此輪胎的特性，很大程度上影響著外力對車輛的作用結果，輪胎好比人腳上所穿的鞋，鞋的特性影響著人的行走效果，例如，不能在該穿跑步鞋的時候穿拖鞋。2、本科階段所學的

3、知識太過簡化，沒能反應出真實特性。1.2 輪胎縱滑與側滑下的簡化理論模型輪胎坐標系 1、車輪平面，左邊的圖給出了車輪平面，即垂直于車輪旋轉軸的輪胎中分平面；2、X軸，車輪平面與地面的交線，沿車輛前進方向為正向；3、坐標原點O，X軸與車輪旋轉軸線在地面投影線的交點。4、Z軸，過O點的垂線，向上為正；5、Y軸，過O點，垂直于XOZ的線，方向與X、Z軸服從右手螺旋定則。6、側偏角，輪胎運動方向與X軸的交角；7、車輪外傾角，車輪平面與XOZ平面的交角； 理論模型推導輪胎的簡化物理模型如圖1所示。假設胎體只能發(fā)生y方向的平移彈性變形，而繞z軸的轉角與沿x軸的位移均可忽略不計。 圖1（a）輪胎的物理模型

4、圖1（b）輪胎接地印跡為方便推導，將輪胎接地印跡圖的坐標變化成如下：圖2 新坐標下的輪胎接地印跡圖中，為地面相對輪胎的速度，其方向與車輛的行駛方向相反。當車輛往前行駛時，接地印跡上的A點，將依次經過B、C，然后退出接地區(qū)。在制動（或驅動）與側偏聯(lián)合工況下，輪胎印跡的變形如圖2所示。在沒有側偏時印跡中心線與OX軸重合。當輪胎產生側偏時，地面相對于輪胎的運動速度v與輪胎的旋轉平面ox成一個側偏角，印跡中心線如ABC所示。AB為附著區(qū)，BC為滑移區(qū)。整個印跡長度為2a。胎體在側向力作用下，產生平移變形： （1.2.1）其中，為胎體的側移剛度。胎面上的一點從A點開始與地面接觸，經時間t后，滾動到達P點

5、。這時，輪胎旋轉平面上的對應點，由O點轉動到X點。其坐標為： （1.2.2）其中，輪胎旋轉角速度；輪胎滾動半徑。 為了計算印跡上的力與力矩，必須先計算印跡上各點的各向剪應力與，而求剪應力則又必須先確定胎面層上的接觸印跡內各點的變形。1）胎面層上接觸區(qū)的變形 （1.2.3）式中，為車輪的運動半徑。定義制動滑移率與驅動滑移率為：推導得： （1.2.4）為了統(tǒng)一制動與驅動的表達式，這里定義縱向滑移率與側向滑移率如下（與的定義域為）：于是： （1.2.5）可以看出，與一般文獻上定義的滑移率的大小相等，但符號相反。2）胎面層上接觸區(qū)的剪應力設胎面材料的x、y方向的剛度分別為常數(shù)與，則附著區(qū)內P點的相應剪

6、應力為 （1.2.6）1.2.2.1 接地印跡不存在滑移的情況注意：所謂接地印跡處沒有出現(xiàn)滑移，即表示印跡處的側向應力側向附著力。如果胎面接地印跡區(qū)內無滑移，則式（1.2.6）對整個印跡范圍都適用，合成剪應力為： （1.2.7）其方向可按下式確定：可見，在一定的、狀態(tài)下合成應力的大小與x成正比，其方向與x無關。x、y方向的切力、可按下式求得：其中：，、分別定義為縱滑剛度和側滑剛度。總切向力F的大小為： （1.2.8）其方向同樣可表示為：這里定義：無量綱縱向力 無量綱側向力 無量綱總切向力 （1.2.9）相對縱滑率 相對側滑率 相對總滑移率 其中，輪胎垂直載荷，輪胎與路面之間的摩擦系數(shù)所以可得到

7、各切向力的無量綱表達式如下： （1.2.10）考慮到：，則x、y向的切向力和總切向力為：定義無量綱的相對剪應力，無量綱坐標為，則在無滑移條件下，有： （1.2.11）與： （1.2.12）回正力矩可根據(jù)印跡上的剪應力與求得： （1.2.13）其中定義：為縱向拖距，為橫向拖距。上式兩邊除以，則得到無量綱回正力矩表達式為： （1.2.14）其中：1.2.2.2 接地印跡存在滑移的情況當接地印跡出現(xiàn)滑移時，根據(jù)滑移出現(xiàn)的力學條件可得滑移區(qū)內的合成應力表達式。設垂直載荷分布形式的無量綱函數(shù)為，則垂直載荷的一般形式為 （1.2.15）設起滑點B的坐標為，對應的無量綱值為，則由變形及剛度特性決定的起滑點B

8、的總切應力為 （1.2.16）其應等于由附著條件決定的切應力 （1.2.17）聯(lián)立上兩式可得進而求得起滑點條件為： （1.2.18）上式中，由于x的取值區(qū)間為02a，所以的取值區(qū)間為02。在已知側偏角以及車速V時，可求得綜合相對滑移率，從而根據(jù)上式可以求得起滑點位置（或）。假定滑移區(qū)內的切向力方向與附著區(qū)內的方向服從相同規(guī)律，則接地印跡上的總切向力為 其無量綱表達式為： （1.2.19）其中：根據(jù)假設的滑移區(qū)切向力方向與附著區(qū)一致，可得： （1.2.20）回正力矩可由橫向應力與縱向應力對原始印跡中心點的力矩求積得到，其表達式為：其中，為接地印跡前端點的側向變形。無量綱表達式為 （1.2.21）

9、先考慮上式中的第一個分量兩邊除以，得：2）其中，為垂直載荷偏距，表達式為：2）兩邊除以，并結合式（1.2.20），得：3）結論：由于是的函數(shù)，且與都是的函數(shù)，因此在垂直載荷分布函數(shù)一定時，是綜合相對滑移率的單變量函數(shù)，且隨而單調下降的。為此，當一定時，增大可使增大，從而使下降，當3）與無滑移區(qū)情況下的表達式相同。 下面來考察的另一個分量：4）其中，為附著區(qū)內胎面的側向變形；為滑移區(qū)內的胎面?zhèn)认蜃冃危僭O滑移區(qū)內的胎面剛度也是，則其表達式為：4）兩邊除以，并考慮，得：其中：兩邊除以，并結合式（1.2.20），得：5）當時（即代表不存在滑移區(qū)），上式與無滑移區(qū)時的表達式相同。1.2.2.3 兩種特

10、殊載荷分布函數(shù)下的輪胎模型（一）均勻載荷分布均勻載荷分布時，根據(jù)式（1.2.18）可得起滑點條件:1）當時，接地印跡不存在滑移區(qū)，參看式（1.2.10）可知此時的總切向力為：同時有x、y方向的無量綱切向力：因此可得回正力矩： 其中：2）當時，接地印跡存在滑移區(qū)，參看式（1.2.19）可知此時的總切向力為： 其中：，所以同時可知：對于均布載荷，載荷重心偏至距離，同時有將上兩式代入縱向與橫向拖距表達式可得：因此，將上面幾式代入無量綱的回正力矩表達式，即可得到無量綱的回正力矩為：（二）拋物線對稱分布的載荷函數(shù)為使載荷分布函數(shù)滿足力和力矩平衡條件，可取載荷分布函數(shù)為：根據(jù)式（1.2.18）可得起滑點條

11、件: 或 1）當時，接地印跡不存在滑移區(qū)，參看式（1.2.10）可知此時的總切向力為：同時有x、y方向的無量綱切向力：因此可得回正力矩： 其中：2）當時，接地印跡存在滑移區(qū)，參看式（1.2.19）可知此時的總切向力為： 其中：，所以同時可知：對于拋物線對稱載荷，載荷重心偏至距離，同時有將上兩式代入縱向與橫向拖距表達式可得：因此，將上面幾式代入無量綱的回正力矩表達式，即可得到無量綱的回正力矩為：由此可得著名的fiala輪胎模型。小結：理論模型的求解步驟：1）獲得垂直載荷分布函數(shù)；2）根據(jù)側偏角，計算綜合相對滑移率；3）基于，計算起滑位置，并判斷是否存在滑移區(qū)；4）計算x、y方向的切向力、；5）計

12、算沿x、y方向的輪胎拖距，并由此求出回正力矩。根據(jù)上面分析可知，輪胎側偏特性求解關鍵在于獲得載荷分布函數(shù)。1.3 輪胎側偏特性的半經驗模型根據(jù)前面的分析可知，利用理論模型進行輪胎特性分析的前提是已經獲得了輪胎的載荷分布函數(shù)，然而由于具有很強的非線性和隨機性，因此很難獲得的準確表達式，其給利用理論模型進行求解帶來了困難。半經驗模型是在試驗數(shù)據(jù)的基礎上，結合理論模型，擬合出輪胎的側偏特性模型。由理論分析可知：，而其中是的函數(shù)，因此，對于特定的輪胎，是的函數(shù)，即：在（即沒有縱滑）的特殊情況下，因此有根據(jù)上面的分析可知：在的特殊情況下，通過試驗數(shù)據(jù)擬合得到的表達式，也就是在的條件下無量綱總切向力與相對

13、總滑移率的表達式。另外，根據(jù)輪胎拖距、的表達式可知，、也是即的函數(shù)，因此也可通過試驗進行獲取。這樣我們便可利用試驗數(shù)據(jù)直接擬合出輪胎特性模型而不需依賴對的掌握?！敖y(tǒng)一模型”(Unitire Model)“統(tǒng)一模型”是我國中國工程院院士郭孔輝提出的?！敖y(tǒng)一模型”是利用指數(shù)形式，針對試驗數(shù)據(jù)擬合出輪胎的穩(wěn)態(tài)側偏、縱滑及縱滑側偏聯(lián)合工況下的側向力、縱向力以及回正力矩的指數(shù)模型。其表達式如下：其中，為曲率系數(shù)，；為縱向摩擦系數(shù)，；為縱向摩擦系數(shù)，；為相對縱向滑移率，；為相對側向滑移率，； ，；為側向剛度，。以上公式中出現(xiàn)的參數(shù)均由輪胎試驗數(shù)據(jù)，利用數(shù)學方法進行參數(shù)識別獲得，其過程如下：1.3.2“魔術

14、模型”（Magic Formula Tire Model）由荷蘭Delft大學的Hans B.Pacejka教授提出的。“魔術模型”是以三角函數(shù)的形式來擬合輪胎試驗數(shù)據(jù)，其是一個能同時表達縱向力、側向力和回正力矩的輪胎模型，故稱為“魔術”模型，其形式如下：式中，可以代表縱向力或側向力，只是在表示不同力的時候，其相應的模型參數(shù)都要進行調整；自變量可以表示輪胎的側偏角或縱向滑移率。公式主要參數(shù)說明：1）、分別代表原點的水平偏移量和垂直偏移量，其主要是考慮輪胎制造誤差帶來的影響；2）代表峰值因子，代表形狀因子，將模型表達式改為：由上面第一個方程可知，所以是的峰值；為形狀因子，它控制著魔術公式中正弦函

15、數(shù)的范圍，因此它決定了所得曲線的形狀，C值可由曲線峰值以及穩(wěn)態(tài)值決定，即；可用來展寬或者收縮的范圍，稱為剛度因子。3）BCD代表平移剛度，B代表剛度因子系數(shù)B、C、D的乘積對應于原點處的斜率，當時，此時，所以。當和確定后，即可由與的關系式求出，即，或者，所以也被稱為剛度系數(shù)。4）代表曲率因子輪胎特性曲線與原始中心對稱曲線通常有較大的偏差，為了能夠產生這種不對稱的輪胎特性曲線而引入了曲率因子，其用來控制曲線峰值處的曲率，為峰值處的自變量。其它細節(jié)參看書Tyre and Vehicle Dynamics，2002年出版，作者Hans B. Pacejka，魔術模型就是由Pacejka教授提出的。優(yōu)

16、缺點說明：此處不對統(tǒng)一模型和魔術模型的優(yōu)缺點進行評述，由于可調參數(shù)太多，同一個模型不同的人調試出來的結果可能都不一樣，因此沒有最好，只有更好。但應該說明一下，由于魔術模型在商業(yè)推廣上做的較好，在大型動力學仿真軟件Adams中的輪胎模型使用的便是魔術模型。1.4 輪胎的“環(huán)模型”剛性環(huán)模型主要是用于分析輪胎的動態(tài)特性。輪胎橫截面如上圖所示，依據(jù)剛度大小可將輪胎模型簡化為三個部分：1、帶束層，圓形、薄的環(huán)；2、胎側，由徑向與周向彈環(huán)組成；3、輪輞，由剛性的，有質量和慣量的圓組成。抽象的環(huán)模型1.4.1坐標系、位移和應變.1 坐標系的建立這里建立兩個坐標系，一個是空間固定的坐標系；另一個是旋轉坐標系

17、，旋轉坐標系的角速度為車輪的旋轉角速度；兩個坐標系的原點重合，且原點固定不動。如下圖所示。坐標用于描述輪輞中心在固定坐標系中的位置；坐標用于描述輪輞中心在旋轉坐標系中的位置；環(huán)上任意點到車輪中心的向量在固定坐標系中描述為，在旋轉坐標系中描述為，其中，為車輪的旋轉角速度。從任意點的向量長度都是可知，固定坐標系與旋轉坐標系的原點重合。因此，與有關系： （1.4.1）問題：為何要引入兩個坐標系？1.4.1.2 任意點的位移設A點為圓環(huán)中面上的任意點，則在輪胎運動過程中，輪胎上任意點位移可由三部分組成：1）車輪旋轉運動引起的；2）車輪平移運動引起的；3）輪胎變形引起的；設旋轉坐標系中，圓環(huán)中面上任意點

18、為A，經車輪平動后為，經輪胎變形后為，由于是在旋轉坐標中，所以可以忽略旋轉運動所帶來的位移。則分別為旋轉坐標系中，A點到點的徑向和切向位移；設為點到點的徑向和切向位移，則有如下關系： （1.4.2）因此，在旋轉坐標系中，從車輪中心到變形后的點的向量為： （1.4.3）式中：為旋轉坐標系中，在輪胎變形前沿徑向和切向的單位向量；為車輪半徑。 應變位移關系設有變形前有兩個點和，的位置用極坐標表示為，的位置為，則到的距離為： （1.4.4）設變形后的點為分別為、，如下圖所示：則變形后，有關系：同理，有：因為，所以另外，從上圖可以看出， （1.4.5）因此有、間的距離為： （1.4.6）式中： （1.4

19、.7）將上式代入到式（1.4.6）得到： （1.4.8）式中， （1.4.9）下圖為變形前后的關系圖，定義三個應變：切向應變：法向應變： （1.4.10）剪應變：根據(jù)余弦定義有關系：1）對比式（1.4.81）可得到：2）2）代入到式（1.4.10）有 （1.4.12）另外，由式（1.4.5）可得到：（1.4.13）將上式代入到式（1.4.9）得到：（1.4.14）再將上式代入到式（1.4.12），并考慮到環(huán)的變形量很小，略去小項后整理得： （1.4.15）考慮到環(huán)的厚度很小，所以認為沿厚度方向的徑向變形都與中面上的徑向變形相等，且剪應變與切向應變相比要小很多，對其進行忽略，因此有： （1.4.

20、16） （1.4.17） （1.4.18）另外，假設切向變形量沿厚度方向成線性變化，即有關系：9）上式中，為環(huán)的橫截面的旋轉角；是環(huán)橫截面上距離中面的長度；、是中面上的徑向與切向變形；將（1.4.19）和（1.4.16）代入到（1.4.18）得， （1.4.20）為方便描述，以下將，用、代替，其已經特指是中面上的變形。將式（1.4.19）和（1.4.20）代入到式（1.4.15）的第一式中，可得：（1.4.21）最后，將式（1.4.2）代入上式中，用和代替和，消元整理后得到： （1.4.22）另外，根據(jù)幾何分析，還可推導出一個結論，輪胎變形后沿徑向和切向的單位向量和與變形前徑向和切向的單位向量

21、的關系為： （1.4.23）1.4.2動力學方程 1.4.2.1 哈密爾頓原理動力學系統(tǒng)的普遍方程有：拉格朗日方程和哈密爾頓方程。對一個復雜動力學系統(tǒng)而言，要建模首先想到的就是要借鑒這兩個方程進行建模。拉格朗日方程是哈密爾頓方程的一個特例，它少了對彈性勢能（非保守系統(tǒng)）的描述，由于輪胎具有彈性，必須考慮彈性勢能的影響，因此，這里要使用哈密爾頓方程。設為拉格朗日函數(shù)，即其中，為系統(tǒng)的動能，為非保守力所作的功，為保守力所作的功；定義哈密爾頓作用量：拉格朗日函數(shù)在時間到的積分哈密爾頓原理：對于完整的、有勢的力學系統(tǒng)，在相同的時間、相同的起始和終了位置、相同的約束條件下，系統(tǒng)在所有可能的各種運動中，真

22、實運動使哈密爾頓作用量取極值（通常是極小值）。 （1.4.24）滿足：，為廣義坐標。哈密爾頓原理也可以理解為：當哈密爾頓作用量的泛函時，所確定的運動為真實運動，以此來求出動力學方程。當系統(tǒng)是保守系統(tǒng)時，此時由式（1.4.24）便可得到拉格朗日方程：根據(jù)式（1.4.24）可知，要想建立起非保守系統(tǒng)的動力學方程，必須先確定系統(tǒng)的動能、保守力所作的功以及非保守力所作的功 輪輞輪胎系統(tǒng)的動能1）輪胎的動能由于輪胎環(huán)厚度很小，因此假設橫截面上各點的速度都與中面上的點的速度相同。因此在旋轉坐標系中可得輪胎的動能表達式：微元質量：由式（1.4.3），可以推導得到：其中，所以有 （1.4.25）將（1.4.2

23、5）代入到（1.4.24）得到 （1.4.26）式中，表示輪胎橫截面的面積；為輪胎的角速度。2）輪輞的動能輪輞的運動由平動與轉動構成，因此固定坐標系中輪輞的動能為：上式中，為輪輞的慣量；為輪輞角速度相對于輪胎角速度的波動角速度，上式在旋轉坐標系統(tǒng)表示為： （1.4.27）1.4.2.3 非保守力做的功由于輪胎帶束層具有彈性，因此輪胎環(huán)中非保守力所做的功即為彈性應變能。根據(jù)材料力學可知，由材料應變引起的能量表達式為： （1.4.28）式中，為由充氣壓力引起的帶束層沿切向的初始應力，為由運動產生的應力增量。初始應力產生的應變能表達式如下：輪胎環(huán)上的微元受力圖受力分析：1）輪胎微元受到胎體沿徑向的彈

24、性力作用，為胎體沿圓周方向單位長度的徑向彈性剛度，為胎體沿徑向的初始變形；2）離心力作用，；3）胎體內氣體的徑向作用力，為胎體內氣體壓力；4）橫截面上的切向力；5）橫截面上的徑向變形力，由于很小，且上、下兩個截面的徑向變形力方向相反，為此，徑向變形力互相抵消。方向如圖所示；根據(jù)以上分析，可列出沿徑向的力平衡方程：根據(jù)，虎克定律有：其中，為材料的楊氏模量，為輪胎中面半徑，為胎體沿徑向的初始變形。將上兩式結合，消去整理得到：由于相對較大，因此，上式可簡化為： （1.4.29）將式（1.4.22）和式（1.4.29）代入式（1.4.28），整理后得到： （1.4.30）式中，為橫截面的慣性積。1.4.2.4保守力做的功1）胎體的彈性變形能結合式（1.4.2）得到： （1.4.31）式中，為胎體沿圓周方向單為長度的切向彈性剛度；為胎體沿圓周方向單為長度的徑向彈性