高中數(shù)學(xué)函數(shù)知識(shí)點(diǎn)梳理新人教A版

1、用心 愛心 專心 i 高中數(shù)學(xué)函數(shù)知識(shí)點(diǎn)梳理 1.函數(shù)的單調(diào)性 設(shè)Xi x2 a,bxi式X2那么 (%x2)f (xjf (x2) I 0 ：= f (Xi) - f (x2)o = f (x)在 la,b 1 上是增函數(shù)； X 一 X? (%-x2)f(為)-f(x2)I ： o= f (Xi) -f (x2): o = f (x)在 a,b 1 上是減函數(shù). Xi X2 (2)設(shè)函數(shù)y = f(x)在某個(gè)區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，如果 f (x) . 0 ,貝U f(x)為增函數(shù)；如果 f (x) :：: 0，則f (x)為減函數(shù). 注：如果函數(shù)f(x )和g(x)都是減函數(shù)，則在公共定義域內(nèi)，和函數(shù)

2、f(x) g(x)也是減 函數(shù)；如果函數(shù)y = f(U)和U二g(x)在其對(duì)應(yīng)的定義域上都是減函數(shù)，則復(fù)合函數(shù) y - fg(x)是增函數(shù). 2.奇偶函數(shù)的圖象特征 奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，偶函數(shù)的圖象關(guān)于 y 軸對(duì)稱；反過(guò)來(lái)，如果一個(gè)函數(shù)的圖 象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，那么這個(gè)函數(shù)是奇函數(shù)； 如果一個(gè)函數(shù)的圖象關(guān)于 y 軸對(duì)稱，那么這個(gè)函 數(shù)是偶函數(shù). 注：若函數(shù)y = f (x)是偶函數(shù)，則f (x +a) = f(x a)；若函數(shù)y = f (x + a)是偶 函數(shù)，貝U f (x a) = f (_x a). 注：對(duì)于函數(shù)y = f(x)(xR), f (x a) = f (b-x)恒成立，則

3、函數(shù)f (x)的對(duì)稱軸是 a + b a + b 函數(shù)x ；兩個(gè)函數(shù)y = f (x a)與y = f (b -x)的圖象關(guān)于直線 x 對(duì)稱. 2 2 注：若f (x) = f (x +a),則函數(shù)y = f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(-,0)對(duì)稱；若 2 f(x-f (x a),則函數(shù)y = f (x)為周期為2a的周期函數(shù). 3. 多項(xiàng)式函數(shù)P(x)二anxn an2 丨1| - ao的奇偶性 多項(xiàng)式函數(shù)P(x)是奇函數(shù) u P(x)的偶次項(xiàng)(即奇數(shù)項(xiàng))的系數(shù)全為零. 多項(xiàng)式函數(shù)P(x)是偶函數(shù) u P(x)的奇次項(xiàng)(即偶數(shù)項(xiàng))的系數(shù)全為零. 23.函數(shù)y二f (x)的圖象的對(duì)稱性 (1) 函數(shù)y

4、 = f(x)的圖象關(guān)于直線 x=a對(duì)稱二f (a x)二f (a-X) 二 f (2a -x)二 f (x). a + b (2) 函數(shù)y二f(x)的圖象關(guān)于直線 x 對(duì)稱二f (a mx)= f (b-mx) 2 =f (a b - mx) = f (mx). 4. 兩個(gè)函數(shù)圖象的對(duì)稱性 (1) 函數(shù)y = f (x)與函數(shù)y = f(-x)的圖象關(guān)于直線 x=0(即y軸)對(duì)稱. a + b (2) 函數(shù)y = f (mx - a)與函數(shù)y = f (b - mx)的圖象關(guān)于直線 x 對(duì)稱. 2m 用心 愛心 專心 ii (3) 函數(shù)y二f (x)和y = f _(x)的圖象關(guān)于直線 y=

5、x 對(duì)稱. 25.若將函數(shù)y = f(X)的圖象右移a、上移b個(gè)單位，得到函數(shù) y二f(X - a) b的圖 用心 愛心 專心 3 象；若將曲線f(x, y)=0的圖象右移a、上移b個(gè)單位，得到曲線f(x_a,y_b)=O的圖 象. 5. 互為反函數(shù)的兩個(gè)函數(shù)的關(guān)系 f(a) =b：二 f(b) = a. 27.若函數(shù)y二f (kx b)存在反函數(shù)，則其反函數(shù)為y =1f(x) _b,并不是 k y = f (kx b),而函數(shù) y = f，(kx b)是 y = 6. 幾個(gè)常見的函數(shù)方程 (1) 正比例函數(shù) f (x) =cx, f (x+y) = f (x) + f (y), f (1)

6、= c. (2) 指數(shù)函數(shù) f (x)二 ax, f (x y)二 f(x)f(y), f(1) = a = 0. (3) 對(duì)數(shù)函數(shù) f (x) =logax, f (xy) = f(x) f (y), f (a) =1(a 0,a = 1). (4) 幕函數(shù) f (x) , f (xy)二 f(x)f (y), f(1). (5) 余弦函數(shù) f(x)二cosx,正弦函數(shù) g(x)二s inx , f(x y) = f(x)f(y) g(x)g(y), f(0) =1,1叫 =1. 7. 幾個(gè)函數(shù)方程的周期(約定 a0) (1) f(x) = f(x a)，則 f (x)的周期 T=a； (2

7、) f (x) = f (x a) =0 , 1 或 f(x a) (f(x) = 0), f(x) 1 或 f (x a) (f(x)=0), f(x) 或丄f (x) - f2(x)二 f(x a),(f(x) 0,1),則 f (x)的周期 2 f(x)的周期 T=4a； (5) f(x) f(x a) f (x 2a)f (x 3a) f (x 4a) =f(x)f(x a)f (x 2a)f(x 3a)f(x 4a),則 f (x)的周期 T=5a； (6) f(x a) f (x) - f (x a)，貝U f (x)的周期 T=6a. 8. 分?jǐn)?shù)指數(shù)幕 =- ( a0,m, nN

8、用，且 n1). a 1 屮 a n m ( a 0, m, n N，且 n 1). a下 9. 根式的性質(zhì) (1) (n a)n =a. (2) 當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，Va = a ； a a0 當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，nan =|a| . -a,a cO 1 f (x) -b的反函數(shù). k T=2a； f(x) =1 1 (f (x)式0)，則 f (x)的周期 T=3a； f (xX2) f(x a) 二且 f(a1(f(x1)宓廠何快 一2a)，則 m (1) an 用心 愛心 專心 4 10. 有理指數(shù)幕的運(yùn)算性質(zhì) ar as =ar*(a 0, r, s Q). (2) (ar)s =ars(a 0

9、, r,s Q). (3) (ab)r 二 arbr(a 0,b 0, r Q). 注：若 a0, p 是一個(gè)無(wú)理數(shù)，則 an表示一個(gè)確定的實(shí)數(shù)上述有理指數(shù)幕的運(yùn)算性 質(zhì)，對(duì)于無(wú)理數(shù)指數(shù)幕都適用 33. 指數(shù)式與對(duì)數(shù)式的互化式 log a N 二 b = ab = N (a 0, a = 1,N 0). 34. 對(duì)數(shù)的換底公式 logm N loga N 一 ( a 0,且 a =1, m 0,且 m , N 0). log ma 推論 logam bn = nlog a b ( a 0,且 a 1, m,n 0 ,且 m = 1, n = 1, N 0). m 11. 對(duì)數(shù)的四則運(yùn)算法則 若

10、 a 0, a 工 1, M 0, N 0，貝 U (1) loga(MN )=呱 M log a N ; (2) loga M = log a M -loga N ; N (3) log a M nloga M (n R). 注：設(shè)函數(shù) f (x) =logm (ax2 bx c)(a = 0)，記厶=b2 -4ac.若 f (x)的定義域?yàn)?R,則a 0，且:0;若f (x)的值域?yàn)镽,則a 0，且:-0.對(duì)于a = 0的情形，需要 單獨(dú)檢驗(yàn). 12. 對(duì)數(shù)換底不等式及其推論 1 若 a 0,b 0,x 0,x ,則函數(shù) y 二 logax(bx) a 1 1 (1) 當(dāng) a - b時(shí)，在(0, )和(一，：)上 y = loga