《變量與函數(shù)》教案

1、對變量與函數(shù)的教學(xué)研究鄭超予一內(nèi)容和內(nèi)容解析【內(nèi)容】變量與函數(shù)的概念【內(nèi)容解析】“14.1變量與函數(shù)”是人教版義務(wù)教育課程標(biāo)準(zhǔn)實驗教科書八年級上冊第十四章第一單元，本設(shè)計是第1課時，引導(dǎo)學(xué)生從生活實例中抽象出常量、變量與函數(shù)等概念，其中函數(shù)的概念是本節(jié)核心內(nèi)容函數(shù)概念的核心是兩個變量間的特殊對應(yīng)關(guān)系：（1）由哪一個變量確定另一個變量；（2）唯一對應(yīng)關(guān)系.如果直接研究某個量y有一定困難，我們可以去研究另一個與之有關(guān)的量x，從而達(dá)到研究的目的.這也是一種化繁為簡的轉(zhuǎn)化思想。本節(jié)課是函數(shù)入門課，首先必須準(zhǔn)確認(rèn)識變量與常量的特征，初步感受到現(xiàn)實世界各種變量之間聯(lián)系的復(fù)雜性，同時感受到研究主要從化繁就簡

2、入手，在初中階段主要研究兩個變量之間的特殊對應(yīng)關(guān)系本設(shè)計把重點放在認(rèn)識“兩個變量間的特殊對應(yīng)關(guān)系：由哪一個變量確定另一變量；唯一確定的含義?！?而函數(shù)圖象較為直觀形象，有助于學(xué)生理解函數(shù)的概念，因此把函數(shù)圖象中的部分內(nèi)容提前到本課時學(xué)習(xí)。二目標(biāo)和目標(biāo)解析【目標(biāo)】理解常量、變量與函數(shù)的概念【目標(biāo)解析】（1）借助簡單實例，學(xué)生初步感知用常量與變量來刻畫一些簡單的數(shù)學(xué)問題，能指出具體問題中的常量、變量初步理解存在一類變量可以用函數(shù)方式來刻畫，能舉出涉及兩個變量的實例，并指出由哪一個變量確定另一個變量，這兩個變量是否具有函數(shù)關(guān)系。初步理解對應(yīng)的思想，體會函數(shù)概念的核心是兩個變量之間的特殊對應(yīng)關(guān)系，能判

3、斷兩個變量間是否具有函數(shù)關(guān)系。（2）借助簡單實例，引領(lǐng)學(xué)生參與變量的發(fā)現(xiàn)和函數(shù)概念的形成過程,體會從生活實例抽象出數(shù)學(xué)知識的方法，感知現(xiàn)實世界中變量之間聯(lián)系的復(fù)雜性，數(shù)學(xué)研究從最簡單的情形入手，化繁為簡。（3）從學(xué)生熟悉、感興趣的實例引入課題，引領(lǐng)學(xué)生參與變量的發(fā)現(xiàn)和函數(shù)概念的形成過程,體驗“發(fā)現(xiàn)、創(chuàng)造”數(shù)學(xué)知識的樂趣。學(xué)生初步感知實際生活蘊(yùn)藏著豐富的數(shù)學(xué)知識，感知數(shù)學(xué)是有用、有趣的學(xué)科。三、教學(xué)問題診斷分析變量與函數(shù)的概念把學(xué)生由常量數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)引入變量數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中。學(xué)生知道代數(shù)式中的字母可以表示數(shù)，方程中的未知數(shù)求出來后也是一個“已知數(shù)”，從“靜態(tài)”的角度理解字母所表示的數(shù)，另外，學(xué)生在日常生

4、活中也接觸到函數(shù)圖象、兩個變量的關(guān)系等樸素的函數(shù)關(guān)系的生活實例。但是學(xué)生初次接觸函數(shù)的概念，難以理解定義中“唯一確定”的準(zhǔn)確含義。 【教學(xué)重點】借助簡單實例，從兩個變量間的特殊對應(yīng)關(guān)系抽象出函數(shù)的概念?！窘虒W(xué)難點】怎樣理解“唯一對應(yīng)”四、教學(xué)過程設(shè)計（一）導(dǎo)言：我們生活在一個運(yùn)動的世界中，周圍的事物都是運(yùn)動的，例如：地球在宇宙中的運(yùn)動這一問題，此時地球在宇宙中的位置隨著時間的變化而變化，這是生活中的常識，學(xué)生都很容易理解。再例如，氣溫隨著高度的升高而降低，年齡隨著時間的增長而增長。這幾個問題中都涉及兩個量的關(guān)系，地球的位置與時間，溫度與高度，年齡與時間?！驹O(shè)計意圖】從學(xué)生的生活入手，開門見山，

5、在極短的時間(一兩分鐘)內(nèi)指明本節(jié)課的學(xué)習(xí)內(nèi)容?，F(xiàn)實世界中各種量之間的聯(lián)系紛繁復(fù)雜，應(yīng)向?qū)W生說明我們數(shù)學(xué)的研究方法是化繁就簡，本節(jié)課只關(guān)注一類簡單的問題。（二）概念的引入1.票房收入問題：每張電影票的售價為10元。（1）若一場售出150張電影票，則該場的票房收入是 元；若售出205張、310張呢？（2）若一場售出x張電影票，則該場的票房收入y元，則y= 。思考：（1）票房收入隨售出的電影票變化而變化，即y隨 的變化而變化；（2）當(dāng)售出票數(shù)x取定一個確定的值時，對應(yīng)的票房收入y的取值是否唯一確定？2行程問題：汽車以60千米/小時的速度勻速行駛，行駛里程為s千米，行駛時間為t小時.請根據(jù)題意填表：

6、思考：行駛路程隨 的變化而變化，有關(guān)系式s= ，即s隨 的變化而變化；3.氣溫問題：圖一是北京春季某一天的氣溫隨時間t變化的圖象，看圖回答： （1）這天的8時的氣溫是 ，14時的氣溫是 ，最高氣溫是 ，最低氣溫是 ；（3）這一天中，在4時12時，氣溫（ ），在16時24時，氣溫（ ）。A.持續(xù)升高 B.持續(xù)降低 C.持續(xù)不變思考：（1）天氣溫度隨 的變化而變化，即T隨 的變化而變化；（2）當(dāng)時間t取定一個確定的值時，對應(yīng)的溫度T的取值是否唯一確定？【設(shè)計意圖】這三個問題中都含有變量之間的單值對應(yīng)關(guān)系，通過研究這些問題引出常量、變量、函數(shù)等概念，通過這種從實際問題出發(fā)開始討論的方式，使學(xué)生體驗從

7、具體到抽象地認(rèn)識過程。問題的形式有填空、列表、求值、寫解析式、讀圖等，隱含著在函數(shù)關(guān)系中表示兩個變量的對應(yīng)關(guān)系有解析法、列表法、圖象法。（三）概念的界定思考：上述三個問題中，分別涉及哪些量的關(guān)系？那些量是變化的？那些量是不變的？哪個量的變化導(dǎo)致另一個量的變化而變化？在一個問題中，當(dāng)一個量取了確定的值之后，另一個量對應(yīng)的能取幾個值？在上面的三個問題中，其中一個量的變化引起另一個量的變化（按照某種規(guī)律變化），變化的量叫做變量；有些量的值始終不變（例如電影票的單價10元）并且當(dāng)其中一個變量取定一個值時，另一個變量就隨之確定，且它的對應(yīng)值只有一個。教師根據(jù)學(xué)生的回答，在黑板上板書：售出票數(shù)票房收入行駛

8、時間行駛路程時間氣溫學(xué)生們會得出：師生對上述三個問題進(jìn)行分析，找出它們的共性，歸納出函數(shù)的概念。在某一變化過程中有兩個變量x和y，如果對于x的每一個值，y總有唯一的值與它對應(yīng)，我們就說x是自變量，y是x的函數(shù)?！驹O(shè)計意圖】（1）如何把具體的實例進(jìn)行抽象，形式化為數(shù)學(xué)知識是本課的關(guān)鍵。這里提出的問題“上述三個問題中，分別涉及哪些量的關(guān)系？通過哪一個量可以確定另一個量？”是一個關(guān)鍵的“腳手架”，借助“腳手架”，學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)概念的形成過程，引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識為什么要引進(jìn)變量、常量、函數(shù)的概念，逐步了解如何給數(shù)學(xué)概念下定義。（2）此處板書是“腳手架”的重要組成部分，揭示“兩個量的對應(yīng)關(guān)系”。問題回顧：指出前

9、面三個問題中涉及到的量，并指出其中的變量、常量、自變量與函數(shù)?！驹O(shè)計意圖】鞏固常量、變量、自變量、函數(shù)的概念。例1 一個三角形的底邊為5，這一邊上的高h(yuǎn)可以任意伸縮。（1）高h(yuǎn)的變化會引起三角形中哪些量發(fā)生變化？這些變量是高h(yuǎn)的函數(shù)嗎？（2）試求面積s隨h變化的關(guān)系式，并指出其中的常量、變量與自變量。例2 如果用r表示圓的半徑，半徑r的變化會引起圓中哪些量發(fā)生變化？這些變量是半徑r的函數(shù)嗎？【設(shè)計意圖】例1、例2的引入用幾何畫板做動態(tài)演示。此兩例引導(dǎo)學(xué)生體會幾何問題中兩個變量在動態(tài)變化過程中的依存關(guān)系。例3 問題1中，售出票數(shù)是票房的函數(shù)嗎？問題2中，學(xué)號x是成績f的函數(shù)嗎？【設(shè)計意圖】（1）

10、引導(dǎo)學(xué)生從逆向思維的角度進(jìn)行思考，更全面地理解函數(shù)的概念。（2）培養(yǎng)學(xué)生逆向思維的習(xí)慣。（3）讓學(xué)生對這三個問題留下更深刻的印象，特別是“成績問題，”它將在函數(shù)這一章書的教學(xué)中反復(fù)被引用，幫助學(xué)生深入理解函數(shù)的概念。（4） 概念鞏固1.請同學(xué)們找出這些函數(shù)的常量、變量、自變量和函數(shù)：(1) y =3000-300x； (2) y=x； (3) S= ； 解：(1)常量是3000，300；變量是x，y；自變量是x；y是x的函數(shù)。 (2)常量是1；變量是x，y；自變量是x；y是x的函數(shù)。 (3)常量是；變量是r，s；自變量是r；s是r的函數(shù)。2. 根據(jù)所給的 條件，寫出y與x的函數(shù)關(guān)系式： y 比

11、 x的1/3 少2。 y 是 x的倒數(shù)的4倍。 矩形的周長是18 cm ,它的長是ycm，寬是x cm。 等腰三角形的頂角度數(shù)y與底角x的關(guān)系。【設(shè)計意圖】（1）例題和鞏固練習(xí)，鞏固變量與函數(shù)等概念，讓學(xué)生充分體會到許多問題中的變量關(guān)系都存在著函數(shù)關(guān)系，隱含著在函數(shù)關(guān)系中表示兩個變量的對應(yīng)關(guān)系有解析法、列表法、圖象法。（2）練習(xí)二提出具有實際背景的問題有利于學(xué)生理解函數(shù)，在理解了函數(shù)的基礎(chǔ)上，讓學(xué)生自己根據(jù)題意寫出函數(shù)關(guān)系。（五）概念辨析1.兩個變量x、y滿足關(guān)系式，填表并回答問題：y是x的函數(shù)嗎？為什么？2.下列各圖中，表示y是x的函數(shù)的有_（可以多選）。3你能舉出涉及兩個變量的例子嗎？它們具有函數(shù)關(guān)系嗎？【設(shè)計意圖】理解函數(shù)概念的核心是“由哪一個變量確定另一個變量；唯一對應(yīng)關(guān)系”，給定自變量x的任意一個值就有唯一確定的y的值和它對應(yīng)，這樣的對應(yīng)可以是“自變量的一個取