馮恩信電磁場(chǎng)與電磁波 課后習(xí)題答案

1、習(xí)題1.1 已知，求:(a) A和B 的大小（模）； (b) A和B的單位矢量；(c) ；(d) ；(e)A和B之間的夾角；(f) A在B上的投影。解：(a) A和B 的大小 (b) A和B的單位矢量 (c) (d) (e)A和B之間的夾角 根據(jù)得 (f) A在B上的投影 1.2如果矢量A、B和C在同一平面，證明A·(BC)=0。 證明：設(shè)矢量A、B和C所在平面為平面 1.3已知A=、B和C，證明這三個(gè)矢量都是單位矢量，且三個(gè)矢量是共面的。證明：1）三個(gè)矢量都是單位矢量 2）三個(gè)矢量是共面的1.4 ；，當(dāng)時(shí)，求。解：當(dāng)時(shí)， 所以 1.5證明三個(gè)矢量A、B和C形成一個(gè)三角形的三條邊，并

2、利用矢積求此三角形的面積。證明 ：因?yàn)?所以三個(gè)矢量A、B和C形成一個(gè)三角形此三角形的面積為1.6 P點(diǎn)和Q點(diǎn)的位置矢量分別為和，求從P點(diǎn)到Q點(diǎn)的距離矢量及其長(zhǎng)度。 解：從P點(diǎn)到Q點(diǎn)的距離矢量為從P點(diǎn)到Q點(diǎn)的距離為1.7 求與兩矢量A和B都正交的單位矢量。解：設(shè)矢量與兩矢量A和B都正交，則 （1） （2）（1）+（2） 得 （3）（1）+3（2）得 （4）如果矢量是單位矢量，則 所以 1.8將直角坐標(biāo)系中的矢量場(chǎng)分別用圓柱和圓球坐標(biāo)系中的坐標(biāo)分量表示。解：在圓柱坐標(biāo)系中在圓球坐標(biāo)系中 1.9 將圓柱坐標(biāo)系中的矢量場(chǎng)用直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)分量表示。解：根據(jù) （1）得又因?yàn)?（2）利用（2）式可得

3、1.10 將圓球坐標(biāo)系中的矢量場(chǎng)用直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)分量表示。解：根據(jù) （1）得 又因?yàn)椋?）得 = 1.11 計(jì)算在圓柱坐標(biāo)系中兩點(diǎn)和之間的距離。解：兩點(diǎn)和之間的距離為 1.12空間中同一點(diǎn)上有兩個(gè)矢量，取圓柱坐標(biāo)系，A，B，求:(a) A+B ； (b) AB； (c) A和B的單位矢量； (d) A和B之間的夾角； (e) A和B的大??； (f) A在B上的投影。解：(a)(b) (c) (d) A和B之間的夾角 (e) A和B的大小 (f) A在B上的投影 =1.13 矢量場(chǎng)中，取圓柱坐標(biāo)系，已知在點(diǎn)矢量為A，在點(diǎn)矢量為B；求:(a)A+B ； (b) A·B；(c) A和B

4、之間的夾角。解：轉(zhuǎn)換到直角坐標(biāo)系 (a)A+B(b) A·B(c) A和B之間的夾角 1.14 計(jì)算在圓球坐標(biāo)系中兩點(diǎn)和之間的距離及從P點(diǎn)到Q點(diǎn)的距離矢量。解：根據(jù)圓球坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的關(guān)系 1.15空間中的同一點(diǎn)上有兩個(gè)矢量，取圓球坐標(biāo)系，A，B，求:(a) A+B ； (b) A·B； (c) A和B的單位矢量； (d) A和B之間的夾角； (e) A和B的 大小； (f) A在B上的投影。解：(a)A+B (b) A·B(c) A和B的單位矢量 ；(d) A和B之間的夾角(e) A和B的 大小 (f) A在B上的投影 1.16 求的梯度。解：1.17 求標(biāo)量場(chǎng)

5、在點(diǎn)(1,1,1)沿方向的變化率。解： 所以 1.18由，利用圓柱坐標(biāo)和直角坐標(biāo)的關(guān)系，推導(dǎo)。解：在直角坐標(biāo)系中（1） （2）（3）（4）（5）由（2）、（3）式可得（6）（7）（8）（9）由（1）（5）式得而再由（6）（9）式可得 = 1.19 求的梯度。解：1.20 由，利用圓球坐標(biāo)和直角坐標(biāo)的關(guān)系，推導(dǎo)。解： 1.21 求的梯度。解： 1.22 求梯度，其中為常數(shù)。解： 1.23在圓球坐標(biāo)系中，矢量場(chǎng)為，其中為常數(shù)，證明矢量場(chǎng)對(duì)任意閉合曲線的環(huán)量積分為零，即 。證明：根據(jù)斯托克思定理：=0所以 =01.23 證明（1）；（2）。證明：（1） （2） 1.24 由A 推導(dǎo)。解： 圖111.

6、25由推導(dǎo)和。解： （1） 由得 （2） 1.26 計(jì)算下列矢量場(chǎng)的散度a) b) c) 解：a) b) c) 1.27 計(jì)算散度，其中為常矢量。解：1.28 由推導(dǎo)。解： 1.29 已知 a) (r) b) (r)= c) (r)=求。解：a)b) c) 1.30求矢量場(chǎng)穿過由確定的區(qū)域的封閉面的通量。解：解法1：為半徑為1的圓弧側(cè)面；為側(cè)平面；下端面；上端面。 =解法2：1.31由(A)推導(dǎo)A 。解：1）設(shè)，為邊長(zhǎng)為和的，中心在的矩形回路 2）設(shè)，為邊長(zhǎng)為和的，中心在的矩形回路 3）設(shè)，為邊長(zhǎng)為和的，中心在的矩形回路 因此 1.32計(jì)算矢量場(chǎng)的旋度解：1.33計(jì)算解：1.34 已知，計(jì)算解

7、：對(duì)于任意矢量，若=01.35 證明矢量場(chǎng)E=既是無散場(chǎng)，又是無旋場(chǎng)。證： 1.36 已知E=，求E和E。解： 1.37 證明。解： 1.38 已知計(jì)算解：根據(jù)亥姆霍茲定理 其中 因?yàn)?，因此；?duì)于 所以 1.39已知計(jì)算解：根據(jù)亥姆霍茲定理 其中 因?yàn)?，因此；?duì)于 所以第2章習(xí)題2-1.已知真空中有四個(gè)點(diǎn)電荷，分別位于(1,0,0)，(0,1,0)，(-1,0,0,)，(0,-1,0)點(diǎn)，求(0,0,1)點(diǎn)的電場(chǎng)強(qiáng)度。解： 2-2.已知線電荷密度為的均勻線電荷圍成如圖所示的幾種形狀，求P點(diǎn)的電場(chǎng)強(qiáng)度。 a b c題2-2圖解：(a) 由對(duì)稱性(b) 由對(duì)稱性(c) 建立坐標(biāo)系如圖所示，兩條半無

8、限長(zhǎng)線電荷產(chǎn)生的電場(chǎng)為半徑為a的半圓環(huán)線電荷產(chǎn)生的電場(chǎng)為總電場(chǎng)為2-3.真空中無限長(zhǎng)的半徑為a的半邊圓筒上電荷密度為，求軸線上的電場(chǎng)強(qiáng)度。解:在無限長(zhǎng)的半邊圓筒上取寬度為的窄條,此窄條可看作無限長(zhǎng)的線電荷,電荷線密度為,對(duì)積分,可得真空中無限長(zhǎng)的半徑為a的半邊圓筒在軸線上的電場(chǎng)強(qiáng)度為 題2-3圖 題24圖2-4.真空中無限長(zhǎng)的寬度為a的平板上電荷密度為，求空間任一點(diǎn)上的電場(chǎng)強(qiáng)度。解: 在平板上處取寬度為的無限長(zhǎng)窄條，可看成無限長(zhǎng)的線電荷，電荷線密度為，在點(diǎn)處產(chǎn)生的電場(chǎng)為其中 ；對(duì)積分可得無限長(zhǎng)的寬度為a的平板上的電荷在點(diǎn)處產(chǎn)生的電場(chǎng)為2-5.已知真空中電荷分布為 r為場(chǎng)點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離，a，

9、b為常數(shù)。求電場(chǎng)強(qiáng)度。解：由于電荷分布具有球?qū)ΨQ性，電場(chǎng)分布也具有球?qū)ΨQ性，取一半徑為 r 的球面，利用高斯定理 等式左邊為 半徑為 r 的球面內(nèi)的電量為因此，電場(chǎng)強(qiáng)度為 2-6.在圓柱坐標(biāo)系中電荷分布為r為場(chǎng)點(diǎn)到z軸的距離，a為常數(shù)。求電場(chǎng)強(qiáng)度。解: 由于電荷分布具有軸對(duì)稱性，電場(chǎng)分布也具有軸對(duì)稱性，取一半徑為 r ,單位長(zhǎng)度的圓柱面，利用高斯定理 等式左邊為半徑為r 、高為1的圓柱面內(nèi)的電量為因此，電場(chǎng)強(qiáng)度為 2-7. 在直角坐標(biāo)系中電荷分布為 求電場(chǎng)強(qiáng)度。解: 由于電荷分布具有面對(duì)稱性，電場(chǎng)分布也具有面對(duì)稱性，取一對(duì)稱的方形封閉面,利用高斯定理,穿過面積為 S的電通量為,方形封閉面內(nèi)的電

10、量為因此，電場(chǎng)強(qiáng)度為 2-8. 在直角坐標(biāo)系中電荷分布為 求電場(chǎng)強(qiáng)度。題28圖解: 由于電荷分布具有面對(duì)稱性，電場(chǎng)分布也具有面對(duì)稱性，取一對(duì)稱的方形封閉面,利用高斯定理,穿過面積為 S的電通量為,方形封閉面內(nèi)的電量為 因此，電場(chǎng)強(qiáng)度為 2-9.在電荷密度為（常數(shù)）半徑為a的帶電球中挖一個(gè)半徑為b的球形空腔，空腔中心到帶電球中心的距離為c(b+c<a)。求空腔中的電場(chǎng)強(qiáng)度。題2-9圖解:由電場(chǎng)的疊加性,空腔中某點(diǎn)的電場(chǎng)等于完全均勻填充電荷的大球在該點(diǎn)的電場(chǎng)與完全均勻填充負(fù)電荷的小球在該點(diǎn)的電場(chǎng)之和。利用高斯定理，可求得完全均勻填充電荷的大球在該點(diǎn)的電場(chǎng)為完全均勻填充負(fù)電荷的小球在該點(diǎn)的電場(chǎng)

11、為 所以，空腔中某點(diǎn)的電場(chǎng)為 為從球心指向空腔中心的矢量。2-10.已知電場(chǎng)分布為 求電荷分布。題210圖解:由得 2-11. 已知在圓柱坐標(biāo)中，電場(chǎng)分布為 其中為常數(shù)。求電荷分布。解: 由，得在， （在圓柱坐標(biāo)系）在，因此 在r=a，r=b有面電荷.電荷面密度為 2-12.若在圓球坐標(biāo)系中電位為 求電荷分布。解:由得體電荷密度對(duì)求拉普拉斯運(yùn)算得 因此 下面計(jì)算r=a，r=b的分界面上的面電荷。面電荷密度2-13.分別計(jì)算方形和圓形均勻線電荷在軸線上的電位。 (a) (b)解:(a) 方形均勻線電荷在軸線上的電位方形每條邊均勻線電荷的電位其中 方形均勻線電荷在軸線上的電位為(b) 圓形均勻線電

12、荷在軸線上的電位2-14.計(jì)算題2-5給出的電荷分布的電位。解: 題2-5給出的電荷分布的電場(chǎng)為 由電位的定義,電位為 對(duì)于r>a 對(duì)于r<a 2-15 四偶極子電荷與圓球坐標(biāo)位置為，求處的電位。解：其中 ；= 2-16.已知電場(chǎng)強(qiáng)度為，試求點(diǎn)(0,0,0)與點(diǎn)(1,2,1)之間的電壓。題216圖解：解法1：從點(diǎn)(0,0,0)到點(diǎn)(1,2,1)的路徑取(0,0,0)到點(diǎn)(1,0,0)-+ 點(diǎn)(1,0,0)到點(diǎn)(1,2,0)-+點(diǎn) (1,2,0)到點(diǎn)(1,2,1)解2 2-17.已知在球坐標(biāo)中電場(chǎng)強(qiáng)度為，試求點(diǎn)與點(diǎn)之間的電壓。解：從點(diǎn)到點(diǎn)的路徑取到點(diǎn) +點(diǎn) 到點(diǎn)+點(diǎn)到點(diǎn)2-18.已知

13、在圓柱坐標(biāo)中電場(chǎng)強(qiáng)度為，試求點(diǎn)與點(diǎn)之間的電壓。解：點(diǎn)到點(diǎn)之間路徑取到點(diǎn) +點(diǎn)到點(diǎn) 2-19.半徑為a，長(zhǎng)度為L(zhǎng)的圓柱介質(zhì)棒均勻極化，極化方向?yàn)檩S向，極化強(qiáng)度為(為常數(shù))。求介質(zhì)中的束縛電荷。解: (1)介質(zhì)中的束縛電荷體密度為(2) 介質(zhì)表面的束縛電荷面密度為在圓柱介質(zhì)棒的側(cè)面上束縛電荷面密度為零;在上下端面上束縛電荷面密度分別為.2-20.求上題中的束縛電荷在軸線上產(chǎn)生的電場(chǎng)。解： 上下端面上束縛電荷產(chǎn)生的電場(chǎng) 由例題，圓盤形電荷產(chǎn)生的電場(chǎng)為式中a 為圓盤半徑.對(duì)上式做變換,可上端面上束縛電荷產(chǎn)生的電場(chǎng)為 同理,做變換,可下端面上束縛電荷產(chǎn)生的電場(chǎng)為 上下端面上束縛電荷產(chǎn)生的總電場(chǎng)為 2-2

14、1.半徑為a的介質(zhì)球均勻極化，求束縛電荷分布。解: (1)介質(zhì)中的束縛電荷體密度為 (2) 介質(zhì)表面的束縛電荷面密度為2-22.求上題中束縛電荷在球中心產(chǎn)生的電場(chǎng)。解:介質(zhì)表面的束縛電荷在球心產(chǎn)生的電場(chǎng)在介質(zhì)球表面取半徑為寬度為的環(huán)帶,可看成半徑為,電荷線密度為的線電荷圓環(huán),例中給出了線電荷圓環(huán)的電場(chǎng),對(duì)積分得 題2-22圖2-23.無限長(zhǎng)的線電荷位于介電常數(shù)為的均勻介質(zhì)中，線電荷密度為常數(shù)，求介質(zhì)中的電場(chǎng)強(qiáng)度。解: 設(shè)無限長(zhǎng)的線電荷沿 z軸放置, 利用高斯定理,容易求得介質(zhì)中的電場(chǎng)強(qiáng)度為 為場(chǎng)點(diǎn)到線電荷的距離.2-24. 半徑為a的均勻帶電球殼，電荷面密度為常數(shù)，外包一層厚度為d、介電常數(shù)為

15、的介質(zhì)，求介質(zhì)內(nèi)外的電場(chǎng)強(qiáng)度。解:由于電荷與介質(zhì)分布具有球?qū)ΨQ性，取半徑為 r的球面，采用高斯定理上式左右兩邊分別為 由此得 因?yàn)?，所?2-25.兩同心導(dǎo)體球殼半徑分別為a、b，兩導(dǎo)體之間介質(zhì)的介電常數(shù)為，內(nèi)、外導(dǎo)體球殼電位分別為。求兩導(dǎo)體球殼之間的電場(chǎng)和球殼面上的電荷面密度。解：設(shè)內(nèi)導(dǎo)體帶電荷為 q，由于電荷與介質(zhì)分布具有球?qū)ΨQ性，取半徑為 r的球面，采用高斯定理，兩導(dǎo)體球殼之間的電場(chǎng)為 兩導(dǎo)體球殼之間的電壓為得出 所以球殼面上的電荷面密度為 2-26 兩同心導(dǎo)體球殼半徑分別為a、b，兩導(dǎo)體之間有兩層介質(zhì)，介電常數(shù)為、，介質(zhì)界面半徑為c，內(nèi)外導(dǎo)體球殼電位分別為。求兩導(dǎo)體球殼之間的電場(chǎng)和球殼

16、面上的電荷面密度以及介質(zhì)分界面上的束縛電荷面密度。解：設(shè)內(nèi)導(dǎo)體帶電荷為 q，由于電荷與介質(zhì)分布具有球?qū)ΨQ性，取半徑為 r的球面，采用高斯定理可得，兩導(dǎo)體球殼之間的電場(chǎng)為 兩導(dǎo)體球殼之間的電壓為 2-27 圓柱形電容器，內(nèi)外導(dǎo)體半徑分別為a、b，兩導(dǎo)體之間介質(zhì)的介電常數(shù)為，介質(zhì)的擊穿場(chǎng)強(qiáng)為，求此電容器的耐壓。解：設(shè)圓柱形電容器長(zhǎng)度為L(zhǎng)，內(nèi)導(dǎo)體電量為，利用高斯定理，可得內(nèi)外導(dǎo)體間的電壓為 因此 所以電場(chǎng)可表示為 內(nèi)導(dǎo)體表面的電場(chǎng)為 所以如果介質(zhì)的擊穿場(chǎng)強(qiáng)為，則電容器的耐壓為 2-28已知真空中一內(nèi)外半徑分別為a、b的介質(zhì)球殼，介電常數(shù)為，在球心放一電量為q的點(diǎn)電荷。（1）用介質(zhì)中的高斯定理求電場(chǎng)強(qiáng)

17、度；（2）求介質(zhì)中的極化強(qiáng)度和束縛電荷。解：（1）由題意，電場(chǎng)具有球?qū)ΨQ結(jié)構(gòu)。采用高斯定理，在半徑為r的球面上由得 （2） 這里 2-29 某介質(zhì)的介電常數(shù)為，和均為常數(shù)，若介質(zhì)中的電場(chǎng)強(qiáng)度為恒值且只有分量，證明 。證： 2-30 .有三層均勻介質(zhì)，介電常數(shù)分別為,取坐標(biāo)系使分界均平行于xy面。已知三層介質(zhì)中均為勻強(qiáng)場(chǎng)，且，求。解：因?yàn)槿龑咏橘|(zhì)中均為勻強(qiáng)場(chǎng)，設(shè)第二、三層介質(zhì)中的電場(chǎng)強(qiáng)度分別為；由邊界條件可得，由邊界條件， 可得 ，即；所以 ，2-31 .半徑為a的導(dǎo)體球中有兩個(gè)半徑均為b的球形腔，在其中一個(gè)空腔中心有一個(gè)電量為q的點(diǎn)電荷在該球形空腔中心，如圖所示，如果導(dǎo)體球上的總電量為0，求導(dǎo)

18、體球腔中及球外的電場(chǎng)強(qiáng)度。解：（1）在有點(diǎn)電荷的空腔中，由于對(duì)稱性，電場(chǎng)強(qiáng)度為，為從空腔中心指向該空腔中場(chǎng)點(diǎn)的位置矢量。（2）在另一沒有點(diǎn)電荷的空腔中，由于靜電屏蔽，該空腔中的電場(chǎng)強(qiáng)度為零。（3）在導(dǎo)體球外，由于導(dǎo)體球?yàn)榈任惑w，除了導(dǎo)體球面上外，導(dǎo)體球外沒有電荷，因此導(dǎo)體球外電場(chǎng)具有球?qū)ΨQ性，且導(dǎo)體球上的電量為q,所以導(dǎo)體球外的電場(chǎng)強(qiáng)度為 r為導(dǎo)體球心到場(chǎng)點(diǎn)的距離。 題2.31圖題2.32圖2-32 .同軸圓柱形電容器內(nèi)外半徑分別為a、b，導(dǎo)體之間一半填充介電常數(shù)為的介質(zhì)，另一半填充介電常數(shù)為的介質(zhì)。當(dāng)電壓為V時(shí)，求電容器中的電場(chǎng)和電荷分布。解：設(shè)同軸電容器長(zhǎng)度為，內(nèi)導(dǎo)體上的電量為q,在內(nèi)外導(dǎo)

19、體之間取半徑為 r的圓柱面，利用高斯定理在兩個(gè)半柱面上，電場(chǎng)強(qiáng)度分別相等，上式變?yōu)?由介質(zhì)邊界條件，可得 內(nèi)外導(dǎo)體之間的電壓為 由此得，從而得 電荷分布為介質(zhì)側(cè)；介質(zhì)側(cè)2-33 z>0半空間為介電常數(shù)為的介質(zhì)，z<0半空間為介電常數(shù)為的介質(zhì)，當(dāng)(1)電量為q的點(diǎn)電荷放在介質(zhì)分界面上；(2)電荷線密度為的均勻線電荷放在介質(zhì)分界面上。求電場(chǎng)強(qiáng)度。解：（1）電量為q的點(diǎn)電荷放在介質(zhì)分界面上以點(diǎn)電荷為中心作以半徑為r的球，利用高斯定理 設(shè)上、下半球面上的電位移矢量分別、，根據(jù)對(duì)稱性，在上、下半球面上大小分別相等，有 =根據(jù)邊界條件，因此 （2）電荷線密度為的均勻線電荷放在介質(zhì)分界面上 以線

20、電荷為軸線作以半徑為r單位長(zhǎng)度的圓柱面，利用高斯定理 設(shè)上、下半柱面上的電位移矢量分別、，根據(jù)對(duì)稱性，在上、下半柱面上大小分別相等，有 =根據(jù)邊界條件，因此 2-34.面積為A，間距為d的平板電容器電壓為V，介電常數(shù)為厚度為t的介質(zhì)板分別按如圖a、b所示的方式放置在兩導(dǎo)電平板之間。分別計(jì)算兩種情況下電容器中電場(chǎng)及電荷分布。題2.34圖解：（a）設(shè)導(dǎo)體板之間介質(zhì)與空氣中的電場(chǎng)分別為、，那么、滿足關(guān)系 （邊界條件）求解以上兩式得 ； 根據(jù)導(dǎo)體表面上的邊界條件，在上、下導(dǎo)體表面上的電荷面密度為 (b) 由圖可見，導(dǎo)體板之間介質(zhì)與空氣中的電場(chǎng)為 根據(jù)導(dǎo)體表面上的邊界條件，在上、下導(dǎo)體板與空氣的界面上的

21、電荷面密度為 在上、下導(dǎo)體板與介質(zhì)的界面上的電荷面密度為 2-35 在內(nèi)外半徑分別為和之間的圓柱形區(qū)域內(nèi)無電荷，在半徑分別為和的圓柱面上電位分別為和0。求該圓柱形區(qū)域內(nèi)的電位和電場(chǎng)。解：由電荷分布可知，電位僅是的函數(shù)，電位滿足拉普拉斯方程，方程為解微分方程得 利用邊界條件 得 ， 因此 2-36在半徑分別為和的兩同軸導(dǎo)電圓筒圍成的區(qū)域內(nèi)，電荷分布為，為常數(shù)，若介質(zhì)介電常數(shù)為，內(nèi)導(dǎo)體電位為V，外導(dǎo)體電位為0。求兩導(dǎo)體間的電位分布。解：由電荷分布可知，電位僅是的函數(shù)，電位滿足泊松方程 解微分方程得 利用邊界條件 得 ， 2-37 兩塊電位分別為0和V的半無限大的導(dǎo)電平板構(gòu)成夾角為的角形區(qū)域，求該角

22、形區(qū)域中的電位分布。 c b a 題2.37圖 題2.38 圖解：由題意，在圓柱坐標(biāo)系中，電位僅是的函數(shù)，在導(dǎo)電平板之間電位方程為其通解為 由邊界條件 ，得所以， 2-38 .由導(dǎo)電平板制作的金屬盒如圖所示，除盒蓋的電位為V外，其余盒壁電位為0，求盒內(nèi)電位分布。解：用分離變量法，可得電位的通解為 利用邊界條件，可求出系數(shù) （m、n為奇數(shù)） （m、n為偶數(shù)）2-39 在的勻強(qiáng)電場(chǎng)中沿z軸放一根半徑為a的無限長(zhǎng)導(dǎo)電圓柱后，求電位及電場(chǎng)。題2.39圖解：由分離變量法，無限長(zhǎng)導(dǎo)電圓柱外的電位的通解為 （1）設(shè)，當(dāng)時(shí)的電位等于無導(dǎo)電圓柱的電位，即 （2）要使式（1）的電位在時(shí)等于式（2），可得到系數(shù) ，

23、再由導(dǎo)體界面的邊界條件得 因此，電位的特解為 2-40 .在無限大的導(dǎo)電平板上方距導(dǎo)電平板h處平行放置無限長(zhǎng)的線電荷，電荷線密度為，求導(dǎo)電平板上方的電場(chǎng)。解:用鏡像法,導(dǎo)電平板的影響等效為鏡像位置的一個(gè)電荷線密度為-的線電荷, 導(dǎo)電平板上方的電場(chǎng)為 式中、分別為線電荷及其鏡像線電荷到場(chǎng)點(diǎn)的距離矢量。2-41 由無限大的導(dǎo)電平板折成的角形區(qū)，在該角形區(qū)中某一點(diǎn)()有一點(diǎn)電荷q，用鏡像法求電位分布。解：如圖將空間等分為8個(gè)區(qū)，在每個(gè)區(qū)中以原來的導(dǎo)電面為鏡面可以依次找到鏡像位置，原電荷的位置為()，另外7個(gè)鏡像電荷在圓柱坐標(biāo)系中的坐標(biāo)為：()，()，()，()，()，()，()。鏡像電荷為對(duì)于場(chǎng)點(diǎn)，

24、電荷到場(chǎng)點(diǎn)的距離矢量為 ；則場(chǎng)點(diǎn)的電場(chǎng)為 題2-41圖題2-42圖2-42 半徑為a，帶電量為Q的導(dǎo)體球附近距球心f處有一點(diǎn)電荷q，求點(diǎn)電荷q所受的力。解：點(diǎn)電荷q 受到的力（場(chǎng)）有兩部分，一部分等效為鏡像電荷的力，另一部分等效為位于球中心的點(diǎn)電荷的力。由鏡像法，鏡像電荷的大小和位置分別為 由于包圍導(dǎo)體球的總電量為Q，所以位于位于球中心的點(diǎn)電荷=Q-;因此點(diǎn)電荷q 受到的力為 2-43 內(nèi)外半徑分別為a、b的導(dǎo)電球殼內(nèi)距球心為d(d<a)處有一點(diǎn)電荷q，當(dāng)(1)導(dǎo)電球殼電位為零；(2)導(dǎo)電球殼電位為V；(3)導(dǎo)電球殼上的總電量為Q；分別求導(dǎo)電球殼內(nèi)外的電位分布。題2-43圖解：（1）導(dǎo)電

25、球殼電位為零由于導(dǎo)電球殼電位為零，導(dǎo)電球殼外無電荷分布，因此導(dǎo)電球殼外的電位為零。導(dǎo)電球殼內(nèi)的電位的電位由導(dǎo)電球殼內(nèi)的點(diǎn)電荷和導(dǎo)電球殼內(nèi)壁上的電荷產(chǎn)生，而導(dǎo)電球殼內(nèi)壁上的電荷可用位于導(dǎo)電球殼外的鏡像電荷等效，兩個(gè)電荷使導(dǎo)電球殼內(nèi)壁面上的電位為零，因此鏡像電荷的大小、距球心的距離分別為；導(dǎo)電球殼內(nèi)的電位為 其中、分別為場(chǎng)點(diǎn)與點(diǎn)電荷及鏡像電荷的距離，用圓球坐標(biāo)表示為 （2）導(dǎo)電球殼電位為V 當(dāng)導(dǎo)電球殼電位為V時(shí)，從導(dǎo)電球外看，導(dǎo)電球面是等位面，且導(dǎo)電球外的電位是球?qū)ΨQ的，其電位滿足 利用邊界條件得 導(dǎo)體球殼內(nèi)的電位可看成兩部分的疊加，一部分是內(nèi)有點(diǎn)電荷但球殼為零時(shí)的電位，這一部分的電位同前；另一部

26、分是內(nèi)無點(diǎn)電荷但球殼電位為V時(shí)的電位，這一部分的電位為V。因此導(dǎo)電球殼電位為V時(shí)，導(dǎo)電球殼內(nèi)的電位為 其中、分別為場(chǎng)點(diǎn)與點(diǎn)電荷及鏡像電荷的距離。(3)導(dǎo)電球殼上的總電量為Q當(dāng)導(dǎo)電球殼上的總電量為Q時(shí)，從導(dǎo)電球外看，導(dǎo)電球面是等位面，且導(dǎo)電球外的電位是球?qū)ΨQ的，導(dǎo)電球殼內(nèi)的總電量為Q+q,其電位滿足導(dǎo)電球殼上的電位為同上得，導(dǎo)電球殼內(nèi)的電位為 2-44 無限大導(dǎo)電平面上有一導(dǎo)電半球，半徑為a，在半球體正上方距球心及導(dǎo)電平面h處有一點(diǎn)電荷q，求該點(diǎn)電荷所受的力。題2-44圖解：要使導(dǎo)體球面和平面上的電位均為零，應(yīng)有三個(gè)鏡像電荷，如圖所示。三個(gè)鏡像電荷的電量和位置分別為點(diǎn)電荷q所受的力為三個(gè)鏡像電荷

27、的電場(chǎng)力，即 力的正方向向上。2-45無限大導(dǎo)電平面上方平行放置一根半徑為a的無限長(zhǎng)導(dǎo)電圓柱，該導(dǎo)電圓柱軸線距導(dǎo)電平面為h，求導(dǎo)電圓柱與導(dǎo)電平面之間單位長(zhǎng)度的電容。解：如果無限長(zhǎng)導(dǎo)電圓柱上有電荷線密度，導(dǎo)電平面可用鏡像位置的線電荷等效，鏡像電荷線密度為-。由導(dǎo)體圓柱的鏡像法可求得導(dǎo)體圓柱的電位，那么，單位導(dǎo)體圓柱與導(dǎo)電平面之間的電容為題2-45圖2-46 z>0半空間為介電常數(shù)為的介質(zhì)，z<0半空間為介電常數(shù)為的介質(zhì)，在界面兩邊距界面為h的對(duì)稱位置分別放置電量分別為和的點(diǎn)電荷。分別計(jì)算兩個(gè)點(diǎn)電荷所受得力。解：利用鏡像法，計(jì)算z>0半空間的場(chǎng)時(shí)，原來的問題可等效為圖2-46(b

28、)，計(jì)算z<0半空間的場(chǎng)時(shí)，原來的問題可等效為圖2-46(c)。這樣上半空間的電位可表示為 式中為到場(chǎng)點(diǎn)的距離，為的鏡像位置的電荷到場(chǎng)點(diǎn)的距離；下半空間的電位可表示為 式中為到場(chǎng)點(diǎn)的距離，為的鏡像位置的電荷到場(chǎng)點(diǎn)的距離。利用邊界條件，和得 由此得 和所受的斥力分別為 (a) (b) (c)題2-46圖2-47.兩同心導(dǎo)體球殼半徑分別為a、b，兩導(dǎo)體之間介質(zhì)的介電常數(shù)為，求兩導(dǎo)體球殼之間的電容。解：設(shè)內(nèi)導(dǎo)體帶電荷為 q，由于電荷與介質(zhì)分布具有球?qū)ΨQ性，取半徑為 r的球面，采用高斯定理，兩導(dǎo)體球殼之間的電場(chǎng)為 兩導(dǎo)體球殼之間的電壓為 兩導(dǎo)體球殼之間的電容為 2-48 兩同心導(dǎo)體球殼半徑分別為

29、a、b，兩導(dǎo)體之間有兩層介質(zhì)，介電常數(shù)為、，介質(zhì)界面半徑為c，求兩導(dǎo)體球殼之間的電容。解：設(shè)內(nèi)導(dǎo)體帶電荷為 q，由于電荷與介質(zhì)分布具有球?qū)ΨQ性，取半徑為 r的球面，采用高斯定理可得，兩導(dǎo)體球殼之間的電場(chǎng)為 兩導(dǎo)體球殼之間的電壓為兩導(dǎo)體球殼之間的電容為 2-49 面積為A，間距為d的導(dǎo)電平板之間放置介電常數(shù)為，厚度為t的介質(zhì)板，如圖a、b所示。分別計(jì)算兩種情況下導(dǎo)電平板之間的電容。題2-49圖解：（a）設(shè)導(dǎo)體板之間介質(zhì)與空氣中的電場(chǎng)分別為、，那么、滿足關(guān)系 （邊界條件）求解以上兩式得 ； 根據(jù)導(dǎo)體表面上的邊界條件，在上、下導(dǎo)體表面上的電荷面密度為 電容為 (b) 由圖可見，導(dǎo)體板之間介質(zhì)與空氣中

30、的電場(chǎng)為 根據(jù)導(dǎo)體表面上的邊界條件，在上、下導(dǎo)體板與空氣的界面上的電荷面密度為 在上、下導(dǎo)體板與介質(zhì)的界面上的電荷面密度為 電容為 2-50 兩塊沿方向無限延伸的導(dǎo)電平板夾角為，與和的圓柱面相截，兩板之間的電壓為V，。忽略邊緣效應(yīng)，求兩塊板間的電位分布，電場(chǎng)，以及單位長(zhǎng)度的電容。題2.50圖解：在圓柱坐標(biāo)系中，電位只和有關(guān)，在兩塊導(dǎo)電平板之間此方程的通解為 利用邊界條件，得 電場(chǎng)強(qiáng)度為 板上單位長(zhǎng)度的電量為板上單位長(zhǎng)度的電容為 2-51 真空中半徑為a的導(dǎo)體球電位為V，求電場(chǎng)能量。解：用兩種方法求解。1） 用電位求電場(chǎng)能量 2） 用電場(chǎng)強(qiáng)度求電場(chǎng)能量導(dǎo)體球內(nèi)的電場(chǎng)強(qiáng)度為零，導(dǎo)體球外的電場(chǎng)強(qiáng)度為

31、電場(chǎng)能量為2-52 .圓球形電容器內(nèi)導(dǎo)體的外半徑為a，外導(dǎo)體的內(nèi)半徑為b，內(nèi)外導(dǎo)體之間填充兩層介電常數(shù)分別為、的介質(zhì)，界面半徑為c，電壓為V。求電容器中的電場(chǎng)能量。解：設(shè)圓球形電容器內(nèi)導(dǎo)體上的電荷為 q，由高斯定理可求得在內(nèi)外導(dǎo)體之間 從而可求得內(nèi)外導(dǎo)體之間的電壓為圓球形電容器的電容為 電場(chǎng)能量為 2-53 長(zhǎng)度為d的圓柱形電容器內(nèi)導(dǎo)體的外半徑為a，外導(dǎo)體的內(nèi)半徑為b，內(nèi)外導(dǎo)體之間填充兩層介電常數(shù)分別為、的介質(zhì)，界面半徑為c，電壓為V。求電容器中的電場(chǎng)能量。解：設(shè)圓柱形電容器內(nèi)導(dǎo)體上的電荷為q，用高斯定理，在內(nèi)外導(dǎo)體之間 內(nèi)外導(dǎo)體之間的電壓為 內(nèi)外導(dǎo)體之間的電容為 電場(chǎng)能量為 2-54 兩個(gè)點(diǎn)

32、電荷電量均為，放在介電常數(shù)為的介質(zhì)中，間距為，求互位能。解： 兩個(gè)點(diǎn)電荷的互位能為將一個(gè)點(diǎn)電荷從無限遠(yuǎn)移到和另一個(gè)間距為處外力做的功 2-55 兩尺寸為a×a的平行導(dǎo)電平板之間距離為d，帶電量分別為,當(dāng)將介電常數(shù)為的介質(zhì)板插入導(dǎo)電板之間深度為x時(shí)，分別求介質(zhì)板所受的電場(chǎng)力。題2.55 圖解：設(shè)空氣填充部分和介質(zhì)填充部分導(dǎo)電平板上的電荷密度分別為、由導(dǎo)體邊界條件得，；由介質(zhì)邊界條件得或，因此 空氣填充部分和介質(zhì)填充部分導(dǎo)電平板上的電量分別為，。由及得平行導(dǎo)電平板之間的電場(chǎng)能量為 由虛功原理，對(duì)于常電荷系統(tǒng)，介質(zhì)所受的沿x方向電場(chǎng)力為 第3章習(xí)題3-1 半徑為的薄圓盤上電荷面密度為，繞其

33、圓弧軸線以角頻率旋轉(zhuǎn)形成電流，求電流面密度。解：圓盤以角頻率旋轉(zhuǎn)，圓盤上半徑為處的速度為，因此電流面密度為3-2 在銅中，每立方米體積中大約有個(gè)自由電子。如果銅線的橫截面為，電流為。計(jì)算1） 電流密度； 2） 電子的平均漂移速度；解：1）電流密度 2) 電子的平均漂移速度， 3-3 一寬度為傳輸帶上電荷均勻分布，以速度勻速運(yùn)動(dòng)，形成的電流，對(duì)應(yīng)的電流強(qiáng)度為，計(jì)算傳輸帶上的電荷面密度。解：電流面密度為 因?yàn)?所以 3-4 如果是運(yùn)動(dòng)電荷密度，是運(yùn)動(dòng)電荷的平均運(yùn)動(dòng)速度，證明：證：如果是運(yùn)動(dòng)電荷密度，是運(yùn)動(dòng)電荷的平均運(yùn)動(dòng)速度，則電流密度為 代入電荷守恒定律得3-5 由的鐵制作的圓錐臺(tái)，高為，兩端面的

34、半徑分別為和。求兩端面之間的電阻。解：用兩種方法（1）如題圖3.5所示題3.5圖，（2）設(shè)流過的電流為，電流密度為電場(chǎng)強(qiáng)度為 電壓為 3-6 在兩種媒質(zhì)分界面上，媒質(zhì)1的參數(shù)為，電流密度的大小為，方向和界面法向的夾角為；媒質(zhì)2的參數(shù)為。求媒質(zhì)2中的電流密度的大小、方向和界面法向的夾角，以及界面上的電荷面密度。解：根據(jù)邊界條件，媒質(zhì)2中的電流密度和界面法向的夾角為 ， 3-7 同軸電纜內(nèi)導(dǎo)體半徑為，外導(dǎo)體半徑為，內(nèi)外導(dǎo)體之間有兩層媒質(zhì)。內(nèi)層從到，媒質(zhì)的參數(shù)為；外層從到，媒質(zhì)的參數(shù)為；求（1） 每區(qū)域單位長(zhǎng)度的電容；（2） 每區(qū)域單位長(zhǎng)度的電導(dǎo)；（3） 單位長(zhǎng)度的總電容；（4） 單位長(zhǎng)度的總電導(dǎo)。

35、解： 內(nèi)外導(dǎo)體之間的兩層媒質(zhì)是非理想的，那么設(shè)同軸電纜內(nèi)、外導(dǎo)體之間單位長(zhǎng)度的漏電流為那么在半徑為的圓柱面上電流均勻，電流密度為 電場(chǎng)強(qiáng)度為 第一層的電壓為 第二層的電壓為 第一層單位長(zhǎng)度的電導(dǎo)為 第二層單位長(zhǎng)度的電導(dǎo)為 單位長(zhǎng)度的總電導(dǎo)為 利用靜電比擬第一層單位長(zhǎng)度的電容為 第二層單位長(zhǎng)度的電容為 單位長(zhǎng)度的總電容為 3-8 在上題中，當(dāng)同軸電纜長(zhǎng)度為，內(nèi)外導(dǎo)體之間的電壓為，利用邊界條件求界面上的電荷面密度。解： 由上題， 因此 3-9 兩同心導(dǎo)體球殼，內(nèi)導(dǎo)體球殼半徑為，外導(dǎo)體球殼半徑為。兩同心導(dǎo)體球殼之間填充兩層媒質(zhì)，內(nèi)層從到，媒質(zhì)的參數(shù)為；外層從到，媒質(zhì)的參數(shù)為；求同心導(dǎo)體球殼（1） 每區(qū)域的電容；（2） 每區(qū)域的電導(dǎo)；（3） 總電容；（4） 總電導(dǎo)。解： 內(nèi)外導(dǎo)體之間的兩層媒質(zhì)是非理想的，那么設(shè)同心導(dǎo)體球殼之間的漏電