一元二次方程根與系數(shù)關系中考難題突破

1、一、巧妙運用韋達定理例1 先閱讀下列第（1）題的解答過程（1）已知是方程x22x70的兩個實數(shù)根。求2324的值。解法1 、是方程x22x70的兩實數(shù)根2270 2270 且22722722324723（72）4282（）282×（2）32解法2 由求根公式得12 122324（12）23(12)24(12)943(9448)32解法3 由已知得：2 722（）2218 令2324A 2324BAB4（22）4（）4×184×（2）64 AB2(22)4()2() ()4()0 得：2A64 A32請仿照上面解法中的一種或自己另外尋找一種方法解答下列各題（2）已知

2、x1、x2是方程x2x90的兩個實數(shù)根，求代數(shù)式。x137x223x266的值。解 x1、x2是方程x2x90的兩根x1x21 且x12x190 x22x290即 x12x19 x22x29x137x223x266x1(x19)7(x29)3x266 x129x110x23x199x110x2310(x1x2)616例2 已知aa210，bb210，ab，求abab的值分析：顯然已知二式具有共同的形式：x2x10于是a和b可視為該一元二次方程的兩個根再觀察待求式的結(jié)構(gòu)，容易想到直接應用韋達定理求解解：由已知可構(gòu)造一個一元二次方程x2x1=0，其二根為a、b由韋達定理，得ab1，a·b

3、1故abab2二、先恒等變形，再應用韋達定理若已知條件或待證結(jié)論，經(jīng)過恒等變形或換元等方法，構(gòu)造出形如ab、a·b形式的式子，則可考慮應用韋達定理例3 若實數(shù)x、y、z滿足x6y，z2xy9求證：xy證明：將已知二式變形為xy6，xyz29由韋達定理知x、y是方程u26u(z29)0的兩個根 x、y是實數(shù)，364z2360則z20，又z為實數(shù)，z20，即0于是，方程u26u(z29)0有等根，故xy由已知二式，易知x、y是t23t80的兩個根，由韋達定理三、已知一元二次方程兩根的關系(或系數(shù)關系)求系數(shù)關系(或求兩根的關系)，可考慮用韋達定理例5 已知方程x2pxq0的二根之比為12

4、，方程的判別式的值為1求p與q之值，解此方程解：設x2pxq0的兩根為a、2a，則由韋達定理，有a2aP， a·2aq， P24q1 把、代入，得(3a)24×2a21，即9a28a21，于是a=±1 方程為x23x20或x23x20解得x11，x22，或x11，x22例6 設方程x2pxq0的兩根之差等于方程x2qxp0的兩根之差，求證：pq或pq4證明：設方程x2pxq0的兩根為、，x2qxP0的兩根為、由題意知，故有222222從而有()24()24把代入，有p24qq24p，即p2q24p4q0，即(pq)(pq)4(pq)0，即(pq)(pq4)0故pq

5、0或pq40，即pq或pq4四、關于兩個一元二次方程有公共根的題目，可考慮用韋達定理例7 m為問值時，方程x2mx30與方程x24x(m1)0有一個公共根？并求出這個公共根解：設公共根為，易知，原方程x2+mx30的兩根為、m；x24x(m1)0的兩根為、4由韋達定理，得(m)3， (4)(m1) 由得m142， 把代入得33230，即(3)(21)0210，30即3把3代入，得m2故當m2時，兩個已知方程有一個公共根，這個公共根為3課堂練習：1.已知關于x的方程4x24bx7b0有兩個相等的實數(shù)根，y1、y2是關于y的方程y2(2b)y40的兩個根。求以、為根的一元二次方程。 &#

6、160;2.已知關于x的方程x2 xk0有兩個不相等的實數(shù)根。（1）求k的取值范圍（2）化簡|k2|  3.已知關于x的方程（a21）x22(a2)x10有實數(shù)根。求a的取值范圍。（提示：分a210，a210討論）  4.已知關于x的方程x22(k1)xk22k10 （1）求證，對任意實數(shù)k的方程總有兩個不相等的實數(shù)根。（2）如果a是關于y的方程y2(x1x22k)y(x1k)(x2k)0 的根。其中x1、x2是方程的兩根 求代數(shù)式（）÷·的值。  課后鞏固（一） 基礎練習1.已知方程2x22ax(a4)a0的兩實

7、根分別為x1、x2且滿足(x11)(x21)，求a的值。  2.關于x的方程x2(5k1)xk220是否存在負數(shù)k，使方程的兩個實數(shù)根的倒數(shù)和等于4，若存在，求出滿足條件的k的值，若不存在，請說明理由。  3.設、是方程x2x20的兩根，不解方程，求的值。  4.已知關于x的方程k2x2(2k1)x10有兩個不相等的實數(shù)根x1、x2。（1）求k的取值范圍。（2）是否存在實數(shù)k，使方程的兩實根互為相反數(shù)？如果存在求出k的值。如果不存在，請說明理由。解：（1）根據(jù)題意，得(2k1)24k2>0的解得k<.當k<時，方程有

8、兩個不相等的實數(shù)根。（2）存在 如果方程的兩實數(shù)根x1、x2互為相反數(shù)，則x1x20 解得k,經(jīng)檢驗k是方程的解。當k時，方程的兩實數(shù)根x1、x2互為相反數(shù)。讀了上面的解答過程，請判斷是否錯誤，如果有指出錯誤之處，并直接寫出正確答案。 5.如圖已知ABC中，ACB90°,CDAB于D，若AD、BD的長是關于x的方程x2pxq0的兩根，且tgAtgB2，CD1，求p、q的值，并解此二次方程。    （二） 能力提升題1.關于x的方程x2(2a1)x(a3)0.（1）求證：無論a為任何實數(shù)，該方程總有兩個不相等的實數(shù)根。（2）以該方程的兩根為一直角三角形的兩直角邊長，已知該三角形斜邊上的中線長為，求實數(shù)a的值。    2.已知方程5a22002a90及9b22002b50且ab1，求的值。    3.已在ABC的兩邊AB、AC的長是關于x的一元二次方程x2(2k3)xk23k20的兩個實數(shù)根，第三邊BC的長為5。（1）k為何值時，ABC是以BD為斜邊的直角三角形。（2）k為何值時