中考數(shù)學(xué)壓軸題破解策略專題16《對角互補模型》

1、專題16對角互補模型破解策略1全等型之“90°”如圖，AOBDCE90°，OC平分AOB，則（1）CDCE；（2）ODOEOC；（3）證明方法一：如圖，過點C分別作CMOA，CNOB，垂足分別為M，N由角平分線的性質(zhì)可得CMCN，MCN90°所以MCDNCE，從而MCDNCE（ASA），故CDCE易證四邊形MONC為正方形所以O(shè)DOEODONNE2ONOC所以方法二：如圖，過C作CFOC，交OB于點F易證DOCEFC45°，COCF，DCOECF所以DCOECF（ASA）所以CDCE，ODFE，可得ODOEOF所以【拓展】如圖，當(dāng)DCE的一邊與AO的延長

2、線交于點D時，則：（1）CDCE；（2）OEODOC；（3）如圖，證明同上2全等型之“120”如圖，AOB2DCE120°，OC平分AOB，則：（1）CDCE；（2）ODOEOC；（3）證明方法一：如圖，過點C分別作CMOA，CNOB，垂足分別為M，N所以易證MCDNCE（ASA），所以CDCE，ODOE2ONOC方法二：如圖，以CO為一邊作FCO60°，交OB于點F，則OCF為等邊三角形易證DCOECF（ASA）所以CDCE，ODOEOFOC，SOCDSOCESOCFOC 2【拓展】如圖，當(dāng)DCE的一邊與BO的延長線交于點E時，則：（1）CDCE；（2）ODOEOC；（3

3、）SOCDSOCEOC 2如圖，證明同上 3、全等型之“任意角”如圖，AOB2，DCE180°2，OC平分AOB，則：（1）CDCE；（2）ODOE2OC·cos；（3）SODCSOECOC 2·sincos證明：方法一：如圖，過點C分別作CMOA，CNOB，垂足分別為M，N易證MCDNCE（ASA）CDCE，ODOE2ON2OC·cosSODCSOEC2SONCOC 2·sincos方法二：如圖，以CO為一邊作FCO180°2，交OB于點F易證DCOECF（ASA）CDCE，ODOEOF2OC·cosSODCSOECSOC

4、FOC 2·sincos【拓展】如圖，當(dāng)DCE的一邊與BO的延長線交于點E時，則：（1）CDCE；（2）ODOE2OC·cos；（3）SODCSOECOC 2·sincos如圖，證明同上 4、相似性之“90°”如圖，AOBDCE90°，COB，則CECD·tan方法一：如圖，過點C分別作CMOA，CNOB，垂足分別為M、N易證MCDNCE，即CECD·tan方法二：如圖，過點C作CFOC，交OB于點F 易證DCOECF，即CECD·tan方法三：如圖，連接DE易證D、O、E、C四點共圓CDECOE，故CECD

5、83;tan【拓展】如圖，當(dāng)DCE的一邊與AO的延長線交于點D時，則CECD·tan 如圖，證明同上 例題講解例1、已知ABC是O的內(nèi)接三角形，ABAC，在BAC所對弧BC上任取一點D，連接AD，BD，CD（1）如圖1，若BAC120°，那么BDCD與AD之間的數(shù)量關(guān)系是什么？（2）如圖2，若BAC，那么BDCD與AD之間的數(shù)量關(guān)系是什么？ 解：（1）BDCDAD 如圖3，過點A分別向BDC的兩邊作垂線，垂足分別為E、F由題意可得ADBADC30°易證AEBAFCBDCD2DEADBDCD2AD×sin如圖4，作EADBAC，交DB的延長線于點EDFBE

6、OAC圖4則EBADCA，所以BECD，AEAD作AFDE于點F，則FAD所以BDCDDE2DF2AD×sin例2如圖1，將一個直角三角板的直角頂點P放在正方形ABCD的對角線BD上滑動，并使其一條直角邊始終經(jīng)過點A，另一條直角邊與BC相交于點F求證：PAPE；如圖2，將中的正方形變?yōu)榫匦?，其余不變，且AD10，CD8，求AP：PE的值；如圖3，在的條件下，當(dāng)P滑動到BD的延長線上時，AP：PE的值是否發(fā)生變化？圖3ADBEPFCADBPCE圖2ADPBEC圖1解：如圖4，過點P分別作PMAB，PNBC，垂足分別為M，N則PMPN，MPN90°，由已知條件可得APE90&#

7、176;，所以APMEPN，所以APMEPN故APPE圖4ADPBECNM如圖5，過點P分別作PMAB，PNBC，垂足分別為M，N則PMAD，PNCD所以BPMBDA，BNPBCD可得，所以易證APMEPN，所以圖5ADBPCENMAP：PF的值不變?nèi)鐖D，理由同圖6ADBEPFCMN進階訓(xùn)練1如圖，四邊形ABCD被對角線BD分為等腰RtABD和RtCBD，其中BAD和BCD都是直角，另一條對角線AC的長度為2，則四邊形ABCD的面積為_ABCD第1題圖答案：四邊形ABCD的面積為2【提示】易證A、B、C、D四點共圓，則BCABDAABDACD，由“全等型之90°”的結(jié)論可得S四邊形A

8、BCDAC222在ABC中，ABAC，A60°，D是BC邊的中點，EDF120°，DE與AB邊相交于點E，DF與AC邊（或AC邊的延長線）相交于點F第1題圖1AEFCDBAEFCDBN第1題圖2如圖1，DF與AC邊相交于點F，求證：BECFAB；如圖2，將圖1中的EDF繞點D順時針旋轉(zhuǎn)一定的角度，使DF與AC邊的延長線交于點F，作DNAC于點N，若DNFN，求證：BECF（BECF）答案：略【提示】過點D作DGAC交AB于點G，證DEGDFC，從而BECFBEEGBGAB第1題答圖1AEFCDBG過點D作DGAC交AB于點G，同可得BECFABDC，延長AB至點H，使得BH

9、CF，則DHDFDE，從而BECFHEDE×DN2DN，所以BECF（BECF）第1題答圖2AEFCDBNHG3在菱形ABCD中，兩條對角線AC，BD相交于點O，MONBCD180°，MON繞點O旋轉(zhuǎn)，射線OM交BC于點E，射線ON交CD于點F，連結(jié)EF如圖1，當(dāng)ABC90°時，OEF的形狀是_；如圖2，當(dāng)ABC60°時，請判斷OEF的形狀，并說明理由；如圖3，在的條件下，將MON的頂點移動到AO的中點O'處，MO'N繞點O'旋轉(zhuǎn)，仍滿足MO'NBCD180°，射線O'M交直線BC于點E，射線O'N交直線CD于點F，當(dāng)BC4，且時，求CE的長第3題圖1ADBCOMEFNA