道中考壓軸題的解法與推廣修改

1、.一道中考壓軸題的解法與推廣（210019） 李玉榮題目（2010年上海市中考壓軸題）如圖1，在RtABC中，ACB90°.半徑為1的圓A與邊AB相交于點(diǎn)D，與邊AC相交于點(diǎn)E，連結(jié)DE并延長，與線段BC的延長線交于點(diǎn)P.（1）當(dāng)B30°時，連結(jié)AP，若AEP與BDP相似，求CE的長；（2）若CE=2，BD=BC，求BPD的正切值；（3）若，設(shè)CE=x，ABC的周長為y，求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式.圖1 圖2(備用) 圖3(備用)本題沿襲了上海市近兩年的中考命題思路和特色，題目以直角三角形與圓為載體，設(shè)置簡潔、清晰，三個問題層次分明，具有一定的區(qū)分度，體現(xiàn)了中考壓軸題的選拔功能

2、，從考查的知識點(diǎn)來看，有三角形的邊角關(guān)系、三角函數(shù)概念、圓的概念、相似三角形的性質(zhì)、勾股定理，同時滲透了在解決問題策略中的對數(shù)學(xué)思想方法的考查（化歸思想、方程思想），筆者研究發(fā)現(xiàn)此題有多種解法，這在中考壓軸題中實不多見，著實是一道值得回味的好題解法1：（1）略；（2）設(shè)BD=x, 則BC=x, AB=x+1, AC=3, 由解得x=4, BD=BC=4,過B作BFAC交PD的延長線于點(diǎn)F, 則BFBP, F=AED=ADE=BDF, BF=BD=4, 由ECPFBP得， 即，； （3）設(shè), 由（2）知，在RtABC中，即，注意到，所以，解得，所以解法2：（2）同解法1得BD=BC=4AB=5,

3、過點(diǎn)D作DFBP交AC于點(diǎn)F，則DFAC, ADFABC，即，（3）設(shè)AF=a，則FE=1-a， ，在RtADF中，即，解得（舍去），即，此時，ADFABC，即， 【評注】從上面的兩種解法看，添加平行線是解題的關(guān)鍵，圖中的圓只起到“AD=AE”的作用，若用“AD=AE”替代圓，此題圖形實際上是一個基本圖形(見右圖)的特殊化（AD=AE，ACBP），而關(guān)于這個基本圖形有一個著名的梅萊勞斯定理：，此定理可以分別過點(diǎn)A、B、C、D、E、P作平行線證明，共有12種輔助線，因此原題已有12種解法，本文不再贅述當(dāng)然直接應(yīng)用梅萊勞斯定理也能求解：(2) 同解法1知BD=BC=4, 由 得 ， ； （3）設(shè)，

4、由 得，以下同解法1 解法13：(2) 同解法1得BD=BC=4在PC上取點(diǎn)F, 使PEF=DPF, 則FE=FP, EFC=2DPF，又A=180°2AED=180°2PEC=2(90°PEC)=2DPF, A=EFC,FECABC, , , CF=, , CP=CF+FP=4,；(3)設(shè)CF=n，則FP=FE=3x-n, 在RtABC中，解得，由FECABC得, 即， 解法14：（2）同解法1得BD=BC=4AB=5, 延長CA至點(diǎn)F，使AF=AB，則CF=8, 連接BF, 則ABF=F, BAC=2F，又BAC=180°2AED=180°

5、2PEC=2(90°PEC)=2DPB, F=DPB, ；(3) 設(shè)BC=n，, CF=3n,AB=AF=3n-1-x, 在RtABC中，解得，【評注】這兩種解法沒有添平行線，而是構(gòu)造等腰三角形通過角相等巧妙地解決問題解法15：(2) 同解法1得BD=BC=4延長EA交A于點(diǎn)F，連接FD并延長交BP于G，則PDFG，P=F=FDA=BDG，B=B, BDGBPD, , 設(shè)，CE=2, CF=4, PC=2k, , , , 解得k=2, 即（3）, PC=3x, CF=x+2, CG=, BDGBPD, , 設(shè)BG=n, 則BD=3n, ， 解得，解法16：(2) 同解法1得BD=BC

6、=4延長DA交A于點(diǎn)F，連接FE并延長交BP于點(diǎn)G，則PDFG，P=F=AEF=GEC，B=B, BFGBDP, , 設(shè)，CE=2, PC=2k, , , BF=4, , 解得（舍去）， k=2, 即（3）, PC=3x, CG=, ，BFGBDP, , 又，解得，【評注】 解法15、16雖然較為繁瑣，但關(guān)注了圓的核心知識：圓的半徑相等、直徑所對的圓周角是直角，為用相似三角形解決問題提供了條件，且不需要用勾股定理 上述解法中，解法14最為簡單，用此解法可證得第（3）題的推廣命題： 若（，設(shè)CE=x，ABC的周長為y，求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式.簡解：輔助線見解法14，(3) 設(shè)BC=n，, CF=kn,AB=AF=kn-1-x, 在RtA