全等三角形模型(教案)

1、全等三角形模型適用學科初中數(shù)學適用年級初中一年級適用區(qū)域江蘇課時時長（分鐘）60知識點全等三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定、直角三角形的全等的判定教學目標熟練掌握三角形全等的判定定理，能夠靈活運用這些定理進行推理和證明；能夠從模型的觀點去理解復雜的幾何圖形的推理。教學重點熟練掌握三角形全等的判定定理教學難點能夠從模型的觀點去理解復雜的幾何圖形的推理教學過程一、課堂導入【問題】如圖，你能感覺到哪兩個三角形全等嗎？【思考】ABDACE二、復習預習【問題】工人師傅常用角尺平分一個任意角，作法如下：如圖，AOB是一個任意角，在邊OA，OB上分別取OM=ON移動角尺，使角尺兩邊相同的刻度分別與M、N重合則

2、過角尺頂點P的射線OP便是AOB的角平分線，為什么？請你說明理由【解答】OP平分AOB理由如下：OM=ON，PM=PN，OP=OPMOPNOP（SSS）MOP=NOPOP平分MON（即OP是AOB的角平分線）三、知識講解考點1全等三角形性質(zhì)：全等三角形的對應邊相等，對應角相等，對應邊上的高、中線相等，對應角的平分線相等。考點2全等三角形的判定：所有三角形SAS、ASA、AAS、SSS；直角三角形HL四、例題精析【例題1】【題干】如圖，正方形ABCD中，E、F分別為BC、CD上的點，且AEBF，垂足為點G求證：AE=BF【答案】證明：正方形ABCD，ABC=C=90°，AB=BCAEB

3、F，AGB=BAG+ABG=90°，ABG+CBF=90°，BAG=CBF在ABE和BCF中，ABEBCF（ASA），AE=BF【解析】根據(jù)正方形的性質(zhì)，可得ABC與C的關(guān)系，AB與BC的關(guān)系，根據(jù)兩直線垂直，可得AGB的度數(shù)，根據(jù)直角三角形銳角的關(guān)系，可得ABG與BAG的關(guān)系，根據(jù)同角的余角相等，可得BAG與CBF的關(guān)系，根據(jù)ASA，可得ABEBCF，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)，可得答案【例題2】【題干】如圖，四邊形ABCD是正方形，BEBF，BE=BF，EF與BC交于點G（1）求證：AE=CF；（2）求證：AECF【答案】（1）證明：四邊形ABCD是正方形，ABC=90

4、76;，AB=BC，BEBF，F(xiàn)BE=90°，ABE+EBC=90°，CBF+EBC=90°，ABE=CBF，在AEB和CFB中，AEBCFB（SAS），AE=CF（2）延長AE交BC于O，交CF于H，AEBCFB，BAE=BCF，ABC=90°，BAE+AOB=90°，AOB=COH，BCF+COH=90°，CHO=90°，AECF【解析】（1）利用AEBCFB來求證AE=CF（2）利用全等三角形對應角相等、對頂角相等、等量代換即可證明【例題3】 【題干】（2014順義區(qū)一模）已知：如圖1，MNQ中，MQNQ（1）請你以M

5、N為一邊，在MN的同側(cè)構(gòu)造一個與MNQ全等的三角形，畫出圖形，并簡要說明構(gòu)造的方法；（2）參考（1）中構(gòu)造全等三角形的方法解決下面問題：如圖2，在四邊形ABCD中，ACB+CAD=180°，B=D求證：CD=AB【答案】：（1）如圖1，以N 為圓心，以MQ 為半徑畫圓??；以M 為圓心，以NQ 為半徑畫圓??；兩圓弧的交點即為所求主要根據(jù)“SSS”判定三角形的全等（2）如圖3，延長DA至E，使得AE=CB，連結(jié)CEACB +CAD =180°，DACDAC +EAC =180°BACBCA =EAC在EAC和BAC中，AECEACBCA （SAS），B=E，AB=CE

6、B=D，D=E，CD=CE，CD=AB 【解析】（1）以點N為圓心，以MQ長度為半徑畫弧，以點M為圓心，以NQ長度為半徑畫弧，兩弧交于一點F，則MNF為所畫三角形（2）延長DA至E，使得AE=CB，連結(jié)CE證明EACBCA，得：B =E，AB=CE，根據(jù)等量代換可以求得答案【例題4】 【題干】問題背景：如圖1：在四邊形ABCD中，AB=AD，BAD=120°，B=ADC=90°E，F(xiàn)分別是BC，CD上的點且EAF=60°探究圖中線段BE，EF，F(xiàn)D之間的數(shù)量關(guān)系小王同學探究此問題的方法是，延長FD到點G使DG=BE連結(jié)AG，先證明ABEADG，再證明AEFAGF，

7、可得出結(jié)論，他的結(jié)論應是 ；探索延伸：如圖2，若在四邊形ABCD中，AB=AD，B+D=180°E，F(xiàn)分別是BC，CD上的點，且EAF=BAD，上述結(jié)論是否仍然成立，并說明理由；實際應用：如圖3，在某次軍事演習中，艦艇甲在指揮中心（O處）北偏西30°的A處，艦艇乙在指揮中心南偏東70°的B處，并且兩艦艇到指揮中心的距離相等，接到行動指令后，艦艇甲向正東方向以60海里/小時的速度前進，艦艇乙沿北偏東50°的方向以80海里/小時的速度前進.1.5小時后，指揮中心觀測到甲、乙兩艦艇分別到達E，F(xiàn)處，且兩艦艇之間的夾角為70°，試求此時兩艦艇之間的距離

8、【答案】問題背景：EF=BE+DF；探索延伸：EF=BE+DF仍然成立證明如下：如圖，延長FD到G，使DG=BE，連接AG，B+ADC=180°，ADC+ADG=180°，B=ADG，在ABE和ADG中，ABEADG（SAS），AE=AG，BAE=DAG，EAF=BAD，GAF=DAG+DAF=BAE+DAF=BAD-EAF=EAF，EAF=GAF，在AEF和GAF中，AEFGAF（SAS），EF=FG，F(xiàn)G=DG+DF=BE+DF，EF=BE+DF；實際應用：如圖，連接EF，延長AE、BF相交于點C，AOB=30°+90°+（90°-70&#

9、176;）=140°，EOF=70°，EOF=AOB，又OA=OB，OAC+OBC=（90°-30°）+（70°+50°）=180°，符合探索延伸中的條件，結(jié)論EF=AE+BF成立，即EF=1.5×（60+80）=210海里答：此時兩艦艇之間的距離是210海里 【解析】問題背景：根據(jù)全等三角形對應邊相等解答；探索延伸：延長FD到G，使DG=BE，連接AG，根據(jù)同角的補角相等求出B=ADG，然后利用“邊角邊”證明ABE和ADG全等，根據(jù)全等三角形對應邊相等可得AE=AG，BAE=DAG，再求出EAF=GAF，然后利用

10、“邊角邊”證明AEF和GAF全等，根據(jù)全等三角形對應邊相等可得EF=GF，然后求解即可；實際應用：連接EF，延長AE、BF相交于點C，然后求出EAF=AOB，判斷出符合探索延伸的條件，再根據(jù)探索延伸的結(jié)論解答即可五、課堂運用【基礎】1.在平面內(nèi)正方形ABCD與正方形CEFH如圖放置，連DE，BH，兩線交于M求證：（1）BH=DE（2）BHDE【答案】證明：（1）在正方形ABCD與正方形CEFH中，BC=CD，CE=CH，BCD=ECH=90°，BCD+DCH=ECH+DCH，即BCH=DCE，在BCH和DCE中，BCHDCE（SAS），BH=DE；（2）BCHDCE，CBH=CDE，

11、又CGB=MGD，DMB=BCD=90°，BHDE 【解析】（1）根據(jù)正方形的性質(zhì)可得BC=CD，CE=CH，BCD=ECH=90°，然后求出BCH=DCE，再利用“邊角邊”證明BCH和DCE全等，根據(jù)全等三角形對應邊相等證明即可；（2）根據(jù)全等三角形對應角相等可得CBH=CDE，然后根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理求出DMB=BCD=90°，再根據(jù)垂直的定義證明即可2.（1）操作發(fā)現(xiàn)如圖1，在等邊ABC中，點M是BC上的任意一點（不含端點B，C），連接AM，以AM為邊作等邊AMN，連接CN，猜想ABC與ACN有何數(shù)量關(guān)系？并證明你的結(jié)論；（2）類比探究如圖2，在等邊ABC

12、中，點M是BC延長線上的任意一點（不含端點C），其他條件不變，（1）中的結(jié)論是否仍然成立？請說明理由【答案】（1）在等邊ABC中，AB=AC，BAC=BAM+MAC=60°在等邊AMN中，AM=AN，MAN=NAC+MAC=60°BAM=NAC=60°-MAC，在ABM和ACN中，ABMACN（SAS），ABC=ACN（2）在等邊ABC中，AB=AC，BAM=BAC+MAC=60°+MAC在等邊AMN中，AM=AN，NAC=NAM+MAC=60°+MAC，BAM=NAC=60°+MAC，在ABM和ACN中，ABMACN（SAS），AB

13、C=ACN 【解析】（1）由全等三角形可以判定AB=AC，AM=AN，即可求證ABMACN，即可求得ABC=ACN；（2）和（1）同理，由全等三角形可以判定AB=AC，AM=AN，即可求證ABMACN，即可求得ABC=CAN.【鞏固】1.如圖，ABC和ADE都是等腰三角形，且BAC=90°，DAE=90°，B，C，D在同一條直線上求證：BD=CE【答案】ABC和ADE都是等腰直角三角形，AD=AE，AB=AC，又EAC=90°+CAD，DAB=90°+CAD，DAB=EAC，在ADB和AEC中，ADBAEC（SAS），BD=CE【解析】求出AD=AE，A

14、B=AC，DAB=EAC，根據(jù)SAS證出ADBAEC即可2.如圖，ABC與BEF都是等邊三角形，D是BC上一點，且CD=BE，求證：EDB=CAD【答案】如圖，過點D作DGAB交AC于G，ABC是等邊三角形，GDC=ABC=C=60°，AC=BC，CDG是等邊三角形，DG=CD=CG，AGD=120°，BD=AG，CD=BE，BE=DG，又BEF是等邊三角形EBF=60°，EBD=DGA=120°，在EBD和DGA中EBDDGA（SAS），EDB=CAD【解析】過點D作DGAB交AC于G，求出EBD=AGD=120°，BD=AG，根據(jù)SAS證E

15、BDDGA，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)推出即可【拔高】正方形ABCD中，點E、F分別是邊AD、AB的中點，連接EF（1）如圖1，若點G是邊BC的中點，連接FG，則EF與FG關(guān)系為： ；（2）如圖2，若點P為BC延長線上一動點，連接FP，將線段FP以點F為旋轉(zhuǎn)中心，逆時針旋轉(zhuǎn)90°，得到線段FQ，連接EQ，請猜想BF、EQ、BP三者之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論（3）若點P為CB延長線上一動點，按照（2）中的作法，在圖3中補全圖形，并直接寫出BF、EQ、BP三者之間的數(shù)量關(guān)系： 【答案】（1）點E、F分別是邊AD、AB的中點，G是BC的中點，AE=AF=BF=BG，在AEF和BFG中，AEFBFG（SAS），EF=FG，AFE=BFG=45°，EFFG，EF=FG；（2）BF+EQ=BP理由：如圖2，取BC的中點G，連接FG，則EFFG，EF=FG，1+2=90°，又2+3=90°，1=3，在FQE和FPG中，F(xiàn)QEFPG（SAS），QE=PG且BF=BG，BG+GP=BP，BF+EQ=BP；（3）如圖3所示，BF+BP=EQ【解析】（1）根據(jù)線段中點的定義求出AE=AF=BF=BG，然