112導數(shù)的概念

1、又如何求瞬時速度呢瞬時速度呢? 平均變化率近似地刻畫了曲線在某一區(qū)間上的變化趨平均變化率近似地刻畫了曲線在某一區(qū)間上的變化趨勢勢.l如何精確地刻畫曲線在一點處的變化趨勢呢如何精確地刻畫曲線在一點處的變化趨勢呢?105 . 69 . 4)(2ttth求：從求：從2s到到(2+t)s這段時間內(nèi)平均速度這段時間內(nèi)平均速度tthththv9 . 41 .13)2()2(1 .139 . 4tv1 .139 . 4tv051.13v當t = 0.01時,149.13v當t = 0.01時,0951.13v當t = 0.001時,1049.13v當t =0.001時,09951.13v當t = 0.000

2、1時,10049.13v當t =0.0001時,099951.13vt = 0.00001,100049.13vt = 0.00001,0999951.13vt = 0.000001,1000049.13vt =0.000001, 平均變化率近似地刻畫了曲線在某一區(qū)間上的變化趨平均變化率近似地刻畫了曲線在某一區(qū)間上的變化趨勢勢.l如何精確地刻畫曲線在一點處的變化趨勢呢如何精確地刻畫曲線在一點處的變化趨勢呢?105 . 69 . 4)(2ttth 當當 t 趨近于趨近于0時時, 即無論即無論 t 從小于從小于2的一邊的一邊, 還是從大于還是從大于2的一邊趨近于的一邊趨近于2時時, 平均速度都趨近

3、與一個確定的值平均速度都趨近與一個確定的值 13.1.1 .13 )2()2(lim0ththt 從物理的角度看從物理的角度看, 時間間隔時間間隔 |t |無限變小時無限變小時, 平均速度平均速度 就無限趨近于就無限趨近于 t = 2時的瞬時速度時的瞬時速度. 因此因此, 運動員在運動員在 t = 2 時的時的瞬時速度是瞬時速度是 13.1.v表示表示“當當t =2, t趨近于趨近于0時時, 平均速度平均速度 趨近于確定值趨近于確定值 13.1”.v從從2s到到(2+t)s這段時間內(nèi)平均速度這段時間內(nèi)平均速度tthv9 . 41 .13探探 究究:1.運動員在某一時刻運動員在某一時刻 t0 的

4、瞬時速度怎樣表示的瞬時速度怎樣表示?2.函數(shù)函數(shù)f (x)在在 x = x0 處的瞬時變化率怎樣表示處的瞬時變化率怎樣表示?5 . 68 . 9)5 . 68 . 99 . 4(lim)5 . 68 . 9()(9 . 4lim)()(lim000020000ttttttttthtthttt定義定義:函數(shù)函數(shù) y = f (x) 在在 x = x0 處的瞬時變化率是處的瞬時變化率是xfxxfxxfxx lim )()(lim 0000稱為函數(shù)稱為函數(shù) y = f (x) 在在 x = x0 處的處的導數(shù)導數(shù), 記作記作. )()(lim)(0000 xxfxxfxfx)(0 xf 或或 , 即

5、即0|xxy;)().1 (000其導數(shù)值一般也不相同的值有關(guān)，不同的與xxxf 的具體取值無關(guān)。與 xxf)(0一概念的兩個名稱。瞬時變化率與導數(shù)是同).2(定義定義:函數(shù)函數(shù) y = f (x) 在在 x = x0 處的瞬時變化率是處的瞬時變化率是xfxxfxxfxx lim )()(lim 0000稱為函數(shù)稱為函數(shù) y = f (x) 在在 x = x0 處的處的導數(shù)導數(shù), 記作記作. )()(lim)(0000 xxfxxfxfx)(0 xf 或或 , 即即0|xxy由導數(shù)的定義可知由導數(shù)的定義可知, 求函數(shù)求函數(shù) y = f (x)的導數(shù)的一般方法的導數(shù)的一般方法:1. 求函數(shù)的改變

6、量求函數(shù)的改變量2. 求平均變化率求平均變化率3. 求值求值);()(00 xfxxff.lim)(00 xfxfx;)()(00 xxfxxfxf一差、二化、三極限一差、二化、三極限 例例1 將原油精煉為汽油、柴油、塑膠等各種不同產(chǎn)品將原油精煉為汽油、柴油、塑膠等各種不同產(chǎn)品, 需要對原油進行冷卻和加熱需要對原油進行冷卻和加熱. 如果第如果第 x h時時, 原油的溫度原油的溫度(單單位位: )為為 f (x) = x2 7x+15 ( 0 x8 ) . 計算第計算第2h和第和第6h, 原油溫度的瞬時變化率原油溫度的瞬時變化率, 并說明它們的意義并說明它們的意義.C解解: 在第在第2h和第和第

7、6h時時, 原油溫度的瞬時變化率就是原油溫度的瞬時變化率就是)2(f ).6(f 和和xfxf)2()2(根據(jù)導數(shù)的定義根據(jù)導數(shù)的定義,37)(42xxxxx所以所以,. 3)3(limlim)2(00 xxffxx同理可得同理可得. 5)6( f 在第在第2h和第和第6h時時, 原油溫度的瞬時變化率分別為原油溫度的瞬時變化率分別為3和和5. 它說它說明在第明在第2h附近附近, 原油溫度大約以原油溫度大約以3 / h的速率下降的速率下降; 在第在第6h附近附近,原油溫度大約以原油溫度大約以5 / h的速率上升的速率上升.CC 例例1 將原油精煉為汽油、柴油、塑膠等各種不同產(chǎn)品將原油精煉為汽油、柴油、塑膠等各種不同產(chǎn)品, 需要對原油進行冷卻和加熱需要對原油進行冷卻和加熱. 如果第如果第 x h時時, 原油的溫度原油的溫度(單單位位: )為為 f (x) = x2 7x+15 ( 0 x8 ) . 計算第計算第2h和第和第6h, 原油溫度的瞬時變化率原油溫度的瞬時變化率, 并說明它們的意義并說明它們的意義.C 練