關(guān)于“一線三垂直”模型及其在平面幾何中的應(yīng)用

1、關(guān)于“一線三垂直”模型及其在平面幾何中的應(yīng)用 “一線三垂直”模型是“一線三等角”模型的特殊情況，（關(guān)于“一線三等角”模型詳見比例與相似高級教程（六）：相似三角形的“一線三等角”模型），即三個等角角度為90º，于是有三組邊相互垂直，所以稱為“一線三垂直”模型。  “一線三垂直”的性質(zhì)：1，模型中必定存在至少兩個三角形相似，三對等角，三對成比例的邊長；2，當(dāng)模型中有一組對應(yīng)邊長相等時，則模型中必定存在全等三角形。   “一線三垂直”模型在平面幾何中有著及其重要的地位，常出現(xiàn)的圖例有以下幾種：其中，在“變形2”模型下，根據(jù)相似原理，推理出了

2、著名的“射影定理”這里主要討論有一對對應(yīng)邊相等的情況。【例1】如圖，在等腰直角三角形ABC中，ACB=Rt，AC=BC，AECE于點E，BDCE于點D，AE=5cm，BD=2cm，則DE的長為多少？【提示】根據(jù)“一線三垂直”模型的性質(zhì)，ACECBD，于是CD=AE=5cm，CE=BD=2cm，DE=5-2=3（cm）【例2】如圖，在ABC中，CA=CB，點D 為BC中點，CEAD于點E，交AB于點F，連接DF。求證：AD=CF+DF.【解析】此題乍一看起來和【例1】相同，卻不能照搬照抄。從要證明的結(jié)論來看，需要把AD這條線段“轉(zhuǎn)化”到直線CF上。如圖，過點B作BGCB，交CF的延長線于點G。則

3、易證ACDCBG，于是AD=CG=CF+FG；BG=CD=BD，BF=BF，DBF=GBF=45º，故BDFBGF，于是FD=FG，所以AD=CF+DF。關(guān)于“一線三垂直”模型及其在平面幾何中的應(yīng)用（二）“一線三垂直”的性質(zhì)：1，模型中必定存在至少兩個三角形相似，三對等角，三對成比例的邊長；2，當(dāng)模型中有一組對應(yīng)邊長相等時，則模型中必定存在全等三角形?！纠?】如圖，在ABC中，AB=AC，BAC=90º，分別過B，C向過A點的直線作垂線，垂足分別為E，F(xiàn)。（1）如圖1，過點A的直線與斜邊BC不相交時，求證：EF=EB+CF；（2）如圖2，過點A的直線與斜邊BC相交時，其他條

4、件不變，若BE=10，CF=3.求EF的長。 【提示】（1）圖1是“一線三垂直”的基礎(chǔ)模型，ABECAF；（2）圖2是“一線三垂直”的變形4，和【例1】相同?！纠?】如圖，已知AEB中，AEB=90º，以AB為邊向外作正方形ABCD，連接AC、BD，交于點O，連接EO。若BE=2，EO=32，求五邊形AEBCD的面積?！窘馕觥恳驗锳BC=AEB=90º，故構(gòu)造“一線三垂直”模型，如圖。過點C作CPEB，交EB延長線于點P，連接OP。則根據(jù)“一線三垂直”模型的性質(zhì)，AEBBPC，BP=AE；AOB=AEB=90º，A、E、B、O四點共圓（詳見“四點共圓”在解題中的妙

5、用（一），BEO=BAO=45º；同理BPO=BCO=45º，故EOP為等腰直角三角形；EO=32，EP=6，BP=4，根據(jù)勾股定理，AB²=16+4=20，即S正方形ABCD=20，SAEB=4×2÷2=4，S五邊形AEBCD=20+4=24.關(guān)于“一線三垂直”模型及其在平面幾何中的應(yīng)用（三）【例5】已知ABC中，ACB=90º，AC=BC，CD為AB邊上的中線，點E為BC邊上任意一點（不與A、D、B重合），BFCE于點F，交CD于點G，AHCE，交CE延長線于點H，交CD延長線于點M。求證：（1）CG=AE；（2）DE=DM。【提

6、示】（1）根據(jù)“一線三垂直”模型，ACHCBF，ACE=CBG，又CAE=BCG=45º，AC=BC，ACEBCG；（2）由“一線三垂直”模型可知，ACE=CBG，BF=CH，HCM=FBE，又BFE=CHM=90º，CHMBFE，BE=CM，從而DE=DM。同時我們也應(yīng)該注意到：ACMCBE；ADMCDEBDG；AHECFG；DM=DG=DE；GEM為等腰直角三角形等。構(gòu)造“一線三垂直”模型，是作輔助線常用的一種手段?！纠?】如圖，直線l1l2l3，且l1到l2的距離為3，l2到l3的距離為4，等腰直角ABC的直角頂點C在l2上，點A、B分別在l1、l3上。求ABC的面積

7、。【提示】過點C作l2的垂線，分別交l1和l3于點D、E，構(gòu)造“一線三垂直”模型，則CD=3，AD=CE=4，AC=5.關(guān)于“一線三垂直”模型及其在平面幾何中的應(yīng)用（四）【例7】（2018初二希望杯練習(xí)題）如圖，四邊形ABCD為直角梯形，ADBC，BCD=90º，AB=BC+AD，DAC=45 º，E為CD上一點，且BAE=45 º，若CD=4，求ABE的面積。【解析】如圖，過點E作EGAE，交AB延長線于點G，過點G作GHDC，交DC延長線于點H，構(gòu)造“一線三垂直”模型；過點G作GKBC于點K，過點B作BFAD于點F。則ADEEHG，DE=G

8、H；AD=EH=CD，DE=CH，故四邊形CKGH為正方形。AF=4-BC，AB=4+BC，BF=4，（4+BC）²=（4-BC）²+4²，解得：BC=1，所以AB=5；設(shè)DE=x，則BK=1-x，GK=x，AE²=x²+4²AEG為等腰直角三角形，AG²=2AE²，（5+BG）²=2（x²+4²），將BG代入，化簡得：（7x-4）²=0，x=4/7，ABE面積=梯形ABCD面積-ADE面積-BCE面積=（1+4）×4÷2-4×4/7÷

9、2-1×(4-4/7)÷2=50/7。在直角坐標(biāo)系中構(gòu)造“一線三垂直”模型，是解決坐標(biāo)問題的一種有效手段?！纠?】如圖，在直角坐標(biāo)系中，點A（1，2），點B（0，-1），已知ABC為等腰直角三角形，求點C的坐標(biāo)。【解析】設(shè)C（m，p）。（1）當(dāng)BAC為直角時：當(dāng)點C在AB右側(cè)時，如圖1。過點A作DEx軸，交y軸于點D，過點C作CEDE于點E。根據(jù)“一線三垂直”模型，ABDACE，DB=AE，CE=DA，即：m-1=3，2-p=1，解得：m=4，p=1，C（4，1）； 當(dāng)點C在AB左側(cè)時，如圖2。過點A作DEx軸，交y軸于點D，過點C作CEDE于點E。根據(jù)“一線三垂直”模型，

10、ABDACE，DB=AE，CE=DA，即：1-m=3， p -2=1，解得：m=-2，p=3，C（-2，3）；（或者用下列方法：此時，點C和中的C關(guān)于點A對稱，故m=2×1-4=-2，p=2×21=3.） （2）當(dāng)ABC為直角時：當(dāng)點C在AB右側(cè)時，如圖3。過點A作AEx軸，交y軸于點E，過點C作CDy軸于點D。根據(jù)“一線三垂直”模型，ABEBCD，DB=AE，BE=CD，即：-1-p=1，m=3，解得：m=3，p=-2，C（3，-2）； 當(dāng)點C在AB左側(cè)時，如圖4。過點B作DEx軸，過點C作CDDE于點D，過點A作AEDE于點E。根據(jù)“一線三垂直”模型

11、，ABEBCD，BE=CD，BD=AE，即：0-m=3， p -（-1）=1，解得：m=-3，p=0，C（-3，0）；（或者用下列方法：此時，點C和中的C關(guān)于點B對稱，故m=2×0-3=-3，p=-1×2（-2）=0.）（3）當(dāng)ACB為直角時：當(dāng)點C在AB右側(cè)時，如圖5。過點C作CDx軸，過點A作ADCD于點D，CD交y軸于點E。根據(jù)“一線三垂直”模型，ACDCBE，BE=CD，CE=DA，即：m=2-p，p-（-1）=m-1，解得：m=2，p=0，即CD與x軸重合，點E與O重合，C（2，0）； 當(dāng)點C在AB左側(cè)時，如圖6。過點C作CDx軸，過點A作ADCD于點D

12、，CD交y軸于點E。根據(jù)“一線三垂直”模型，ACDCBE，BE=CD，CE=DA，即：1-m= p-（-1），2-p = 0-m，解得：m=-1，p=1，C（-1，1）。（或者用下列方法：此時，點C和中的C關(guān)于AB的中點對稱，AB的中點坐標(biāo)為（0.5，0.5），故m=2×0.5-2=-1，p=0.5×20=1.）綜上所述：符合條件的點C的坐標(biāo)有6個：（4，1）；（-2，3）；（3，-2）；（-3，0）；（2，0）；（-1，1）。關(guān)于“一線三垂直”模型及其在平面幾何中的應(yīng)用（五）前面討論的是關(guān)于“一線三垂直模型”有兩條邊相等時的情況。如果不存在兩條邊相等，那么“一線三垂直模型

13、”的性質(zhì)是必然存在一對或幾對相似三角形，這個性質(zhì)在初中平面幾何中的應(yīng)用也是十分廣泛，尤其在直角坐標(biāo)系中的函數(shù)圖像與平面幾何的綜合應(yīng)用題或壓軸題經(jīng)常得到應(yīng)用，也是作輔助線的思想方法。經(jīng)常出現(xiàn)的圖例跟前面介紹的一樣（關(guān)于“一線三垂直”模型及其在平面幾何中的應(yīng)用（一），只是直角的兩條邊不一定相等?！纠?】如圖，在直角坐標(biāo)系中，點A（1，3），點B（2，-1），坐標(biāo)軸上是否存在點C，使得ACB為直角？若存在，請求出點C的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由?！窘馕觥浚?）當(dāng)點C在y軸上時：如圖1，設(shè)C（0，c），分別過點A、B作x軸的平行線，交y軸于點D、E。則根據(jù)“一線三垂直模型”，ACDCBE，ADCE=CDBE，即：1(c+1)=(3-c)2，解得：c1=1+2，c2=1-2，故C（0，1+2）；或C（0，1-2）；（2）當(dāng)點C在x軸上時：如圖2，設(shè)C（c，0），分別過點A、B作y軸的平行線，交x軸于點D、E。則根據(jù)“一線三垂直模型”，ACDCBE，ADCE=CDBE，即：3（2-c）=（1-c）2，或3（c-2）=（c-1）2，綜上所述，符合條件的點C的坐標(biāo)有4個，分別為：（0，1+2）；（0，1-2）；【例10】如圖，在直角坐標(biāo)系中，點A（1，3），點B（2，-1