冪級數(shù)測試題

1、第十四章冪級數(shù)單選題:1設(shè)冪級數(shù)的收斂半徑為R,則下列斷語中正確的是（A）在上一致收斂。（B）在內(nèi)某些點(diǎn)處非絕對收斂。（C)的收斂半徑大于。（D)對任意的,在上一致收斂。2。若冪級數(shù)在處收斂，在處發(fā)散，則該級數(shù)（A)在處發(fā)散；（B)在處收斂；（C)收斂區(qū)間為;（D)當(dāng)時(shí)發(fā)散。3冪級數(shù)級數(shù)的收斂域是（A）(B）（C)(D）4若冪級數(shù)的收斂半徑為R，那么（A)，（B），（C）,（D）不一定存在 。5如果能展開成的冪級數(shù),那么該冪級數(shù)(A)是的麥克勞林級數(shù)；(B)不一定是的麥克勞林級數(shù)；（C）不是的麥克勞林級數(shù)；(D）是在點(diǎn)處的泰勒級數(shù).6.如果，則冪級數(shù)(A）當(dāng)時(shí)，收斂；（B）當(dāng)時(shí)，收斂;（C)當(dāng)

2、時(shí)，發(fā)散；(D)當(dāng)時(shí)，發(fā)散7。設(shè)級數(shù)在處是收斂的，則此級數(shù)在處（A）發(fā)散；(B)絕對收斂;(C）條件收斂；(D)不能確定斂散性。8冪級數(shù)在其收斂區(qū)間的兩個(gè)端點(diǎn)處A全是發(fā)散的.B。全是收斂的C.左端點(diǎn)發(fā)散，右端點(diǎn)收斂.D左端點(diǎn)收斂,右端點(diǎn)發(fā)散9.函數(shù)展開成的冪級數(shù)的方法是。10.冪級數(shù)的收斂域?yàn)榇鸢福?10DDBDAADDDA填空題:1.若冪級數(shù)在內(nèi)收斂,則應(yīng)滿足_。2.設(shè)冪級數(shù)的收斂半徑為2，則級數(shù)的收斂區(qū)間為_.3。級數(shù)的和函數(shù)為_。4.設(shè)是一等差數(shù)列，則冪級數(shù)收斂域是_.5.與有相同的_.6.的冪級數(shù)展開式_。7。冪級數(shù)只有在_區(qū)間內(nèi)才有和函數(shù).8。經(jīng)過逐項(xiàng)微分或逐項(xiàng)積分后冪級數(shù)_不變.9

3、。的冪級數(shù)表達(dá)式_。10.級數(shù)在區(qū)間_收斂.答案：1.。4。 ( -1， 1)5.收斂區(qū)間.6。7。收斂。8。收斂半徑.9.計(jì)算題1.求冪級數(shù)的收斂域及和函數(shù)。2。求冪級數(shù)的收斂域及和函數(shù).3.求冪級數(shù)的收斂半徑與收斂域( 1）4。將函數(shù)展開為的冪級數(shù),并指出收斂域。5。求函數(shù)在x=1處泰勒展開式。6.設(shè)冪級數(shù)當(dāng)時(shí)有且求該冪級數(shù)的函數(shù).7.將展成x的冪級數(shù).8.求冪級數(shù)的和函數(shù)。9。試求冪級數(shù)的收斂區(qū)域及和函數(shù)10。設(shè)，確定的連續(xù)區(qū)間,并求積分的值答案:1.解因且當(dāng)時(shí)級數(shù)都發(fā)散，故該級數(shù)的收斂域?yàn)椋?1, 1 ），令，則,。2。解:收斂半徑，當(dāng)時(shí)，原級數(shù)發(fā)散,故原級數(shù)的收斂域?yàn)? -1, 1

4、).設(shè)其和函數(shù)為,3。 （ 1 )解記,由于,故收斂半徑R=1,收斂區(qū)間為( -1, 1 )當(dāng)時(shí),由于,故級數(shù)發(fā)散,所以該級數(shù)的收斂域?yàn)椋?-1, 1 ） .( 2 ）解記因?yàn)樗允諗堪霃絉=1，收斂域?yàn)?-1， 1 。4.解而而級數(shù)與的收斂域都是 1， 1 ，故當(dāng)時(shí)5.解因.6。設(shè)和函數(shù)則即.解上述關(guān)于的二階微分方程，得。7.解易看出，而兩邊求導(dǎo)，得.8。級數(shù)的和函數(shù)為9.由于級數(shù)在上收斂，所以當(dāng)時(shí),有10.因?yàn)閮缂墧?shù)的收斂域是，所以在上的連續(xù)，且可逐項(xiàng)積分.。證明題：1。設(shè)在內(nèi)收斂,若也收斂，則。2.設(shè)f為冪級數(shù)在( -R， R )上的和函數(shù)，若f為奇函數(shù),則原級數(shù)僅出現(xiàn)奇次冪的項(xiàng),若f為

5、偶函數(shù)，則原級數(shù)僅出現(xiàn)偶次冪的項(xiàng).3.設(shè)函數(shù)定義在 0, 1上,證明它在(0， 1 ）滿足下述方程：4.設(shè)證明當(dāng)時(shí),級數(shù)收斂。5.設(shè)冪級數(shù)，的收斂半徑分別為，設(shè)，證明：當(dāng)時(shí)，冪級數(shù)絕對收斂。6.設(shè)，求證:其中7。設(shè),.證明:當(dāng)時(shí)，滿足方程.8。若冪級數(shù)的收斂半徑為R（0），且在(或時(shí)收斂，則級數(shù)在 0, R （或R， 0 )上一致收斂.9。設(shè)函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的各階導(dǎo)數(shù)一致有界,即存在正數(shù)M,對一切，有,證明:對內(nèi)任一點(diǎn)與有。10。證明:滿足方程.答案:1.證明:因?yàn)楫?dāng)收斂，有又當(dāng)時(shí),收斂,從而可知在左連續(xù),于是.2。,，當(dāng)為奇函數(shù)時(shí),有,從而，這時(shí)必有。當(dāng)為偶函數(shù)時(shí)，有此式當(dāng)且僅當(dāng).3.證明:設(shè)則。所以故。 0x1。4。因?yàn)樗?取極限得到,從而級數(shù)的收斂半徑故時(shí),級數(shù)收斂。5.對于任意，由于，所以,絕對收斂。又所以絕對收斂。6.時(shí),，故從而7.由于,冪級數(shù)的收斂半徑是1，所以當(dāng)時(shí)，可微，且故即滿足方程.8.證明：設(shè)級數(shù)在時(shí)收斂，對于有=已知級