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1、對數(shù)函數(shù)放縮題集錦I.lnx<x-1,Kpln(x+l)<x證明:f(x)=x-l-lnx,f(x)=(x-l)/x1)=0,即lnx<x-1將x替換為x+1,可得ln(x+l)<x圖解-4.0例l,f(x尸ln(x+l)(l)fi(x)<ax恒成立，求a范圍，(2)求證:1十l/n<金n.解:a=l為臨界,顯然a屬于1,+oo)(2)兩邊同時取對數(shù)，只需證ln(l+l/n)vl/n,令a=l,x=l/n可證.例2.求證:1/2+2/3+3/4十.十n/(n+l)n-ln(n+1)解:由x>1+lnx得，k/(k+l)>l+lnk/(k+l)=1

2、+lnk-ln(k+1)疊加整理可證該不等式成立.例3.求證:1+1/2+1/3十.十l/n>ln(n+1)解:由x>m(x+i居，l/k>ln(l+l/k)=ln(k+l)/k=ln(k4-l)-lnk疊加整理可證該不等式成立.練習(xí)1.求證:1/2+2/3+3/4+n/(n+l)<n-ln(n+2)+ln2練習(xí)2.求證:1十172+1/3+.+1/n<lnn+1練習(xí)3.求證:ln2/22+M3/32+ln4/42+.+lnn/n2<(2n2-n-l)/4(n+l)II.lnx>l-l/x,即ln(x+l)Nx/(x+l)證明l:fix)=lnx+l/

3、x-l,f(x)=(x-l)/xf(x)>f(l)=O,即lnx>l-l/x證明2:將不等式I中x替換為1/x得ln(l/x)<1/x-l,lnx>1-1/x將X替換為x+1,可得ln(x+l)>x/(x+1)例4(2014陜西2l).fi(x)=ln(x+1),g(x)=ax/(x+1)(2)f(x)Ng(x)恒成立，求a范圍，(3)求證:1/2+1/3+1/4+.+l/(n+1)<ln(n+1)解:顯然,a屬于(3)由ln(x+l)>x/(x+lXfl/(k+l)=(l/k)/(1/k+1)<ln(1/k+l)=ln(k+l)/k)=ln(k

4、+l)-lnk疊加整理可證該不等式成立.例5.求證:l/(n+1)+1/(n+2)+.1/2n<ln2解:由lnx>l-l/x得l/(n+k)=l-(n+k-1)/(n+k)<ln(n+k)/(n+k-1)=ln(n+k)-ln(n+k-1)疊加整理可證該不等式成立.IILx>l時,lnx<(x-l/x)/2,0<x<l時，lnx>(x-1/x)/2證明:f(x)=x-l/x-2Inx,f(x)=(1/x-1)2>0x>l時,f(x)>f(l)=00<x<l時,f(x)<f(1)=0整理可得此不等式時，f(x)<00例6,f

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