垂直于弦的直徑 教案設計

1、垂直于弦的直徑 教案設計第一課時 (一)教學目標 ：(1)理解圓的軸對稱性及垂徑定理的推證過程;能初步應用垂徑定理進行計算和證明;(2)進一步培養(yǎng)學生觀察問題、分析問題和解決問題的能力;(3)通過圓的對稱性 ,培養(yǎng)學生對數(shù)學的審美觀 ,并激發(fā)學生對數(shù)學的熱愛.教學重點、難點：重點：垂徑定理及應用;從感性到理性的學習能力.難點：垂徑定理的證明.教學學習活動設計：(一)實驗活動 ,提出問題：1、實驗：讓學生用自己的方法探究圓的對稱性 ,教師引導學生努力發(fā)現(xiàn)：圓具有軸對稱、中心對稱、旋轉(zhuǎn)不變性.2、提出問題：老師引導學生觀察、分析、發(fā)現(xiàn)和提出問題.通過演示實驗觀察感性理性引出垂徑定理.(二)垂徑定理

2、及證明：在O中 ,CD是直徑 ,AB是弦 ,CDAB ,垂足為E.求證：AE=EB , = , =.證明：連結OA、OB ,那么OA=OB.又CDAB ,直線CD是等腰OAB的對稱軸 ,又是O的對稱軸.所以沿著直徑CD折疊時 ,CD兩側的兩個半圓重合 ,A點和B點重合 ,AE和BE重合 , 、 分別和 、 重合.因此 ,AE=BE , = , =.從而得到圓的一條重要性質(zhì).垂徑定理：平分這條弦 ,并且平分弦所對的兩條弧.組織學生剖析垂徑定理的條件和結論：CD為O的直徑 ,CDAB AE=EB , = , =.為了運用的方便 ,不易出現(xiàn)錯誤 ,將原定理表達為：過圓心;垂直于弦;平分弦;平分弦所對

3、的優(yōu)弧;平分弦所對的劣弧.加深對定理的理解 ,突出重點 ,分散難點 ,防止學生記混.(三)應用和訓練例1、在O中 ,弦AB的長為8cm ,圓心O到AB的距離為3cm ,求O的半徑.分析：要求O的半徑 ,連結OA ,只要求出OA的長就可以了 ,因為條件點O到AB的距離為3cm ,所以作OEAB于E ,而AE=EB= AB=4cm.此時解RtAOE即可.解：連結OA ,作OEAB于E.那么AE=EB.AB=8cm ,AE=4cm.又OE=3cm ,在RtAOE中 ,(cm).O的半徑為5 cm.說明：學生獨立完成 ,老師指導解題步驟;應用垂徑定理計算：涉及四條線段的長：弦長a、圓半徑r、弦心距d、

4、弓形高h關系：r =h+d; r2 =d2 + (a/2)2例2、 ：在以O為圓心的兩個同心圓中 ,大圓的弦AB交小圓于C、D兩點.求證AC=BD.(證明略)說明：此題為根底題目 ,對各個層次的學生都要求獨立完成.練習1：教材P78中練習1 ,2兩道題.由學生分析思路 ,學生之間展開評價、交流.指導學生歸納：構造垂徑定理的根本圖形 ,垂徑定理和勾股定理的結合是計算弦長、半徑、弦心距等問題的常用方法;在圓中解決弦的有關問題經(jīng)常作的輔助線弦心距.(四)小節(jié)與反思教師組織學生進行：知識：(1)圓的軸對稱性;(2)垂徑定理及應用.方法：(1)垂徑定理和勾股定理有機結合計算弦長、半徑、弦心距等問題的方法

5、 ,構造直角三角形;(2)在因中解決與弦有關問題經(jīng)常作的輔助線弦心距;(3)為了更好理解垂徑定理 ,一條直線只要滿足過圓心;垂直于弦;那么可得平分弦;平分弦所對的優(yōu)弧;平分弦所對的劣弧.(五)作業(yè)教材P84中11、12、13.第二課時 (二)教學目標 ：(1)使學生掌握垂徑定理的兩個推論及其簡單的應用;(2)通過對推論的探討 ,逐步培養(yǎng)學生觀察、比擬、分析、發(fā)現(xiàn)問題 ,概括問題的能力.促進學生創(chuàng)造思維水平的開展和提高(3)滲透一般到特殊 ,特殊到一般的辯證關系.教學重點、難點：重點：垂徑定理的兩個推論;對推論的探究方法.難點：垂徑定理的推論1.學習活動設計：(一)分解定理(對定理的剖析)1、復

6、習提問：定理：平分這條弦 ,并且平分弦所對應的兩條弧.2、剖析：(教師指導)(二)新組合 ,發(fā)現(xiàn)新問題：(A層學生自己組合 ,小組交流 ,B層學生老師引導) , ,(包括原定理 ,一共有10種)(三)探究新問題 ,歸納新結論：(1)平分弦(不是直徑)的直徑垂直于弦 ,并且平分弦對應的兩條弧.(2)弦的垂直平分線經(jīng)過圓心 ,并且平分弦對應的兩條弧.(3)平分弦所對的一條弧的直徑 ,垂直平分弦 ,并且平分弦所對的另一條弧.(4)圓的兩條平行線所夾的弧相等.(四)穩(wěn)固練習：練習1、平分弦的直徑垂直于弦 ,并且平分弦所對的兩條弧這句話對嗎?為什么?(在推論1(1)中 ,為什么要附加不是直徑這一條件.)

7、練習2、填空：在O中 ,(1)假設MNAB ,MN為直徑 ,那么_ ,_ ,_;(2)假設AC=BC ,MN為直徑 ,AB不是直徑 ,那么那么_ ,_ ,_;(3)假設MNAB ,AC=BC ,那么_ ,_ ,_;(4)假設 = ,MN為直徑 ,那么_ ,_ ,_.(此題目的：穩(wěn)固定理和推論)(五)應用、反思例、四等分 .(A層學生自主完成 ,對于其他層次的學生在老師指導下完成)教材P80中的第3題圖 ,是典型的錯誤作.此題目的：是引導學生應用定理及推論來平分弧的方法 ,通過學生自主操作培養(yǎng)學生的動手能力;通過與教材P80中的第3題圖的比照 ,加深學生對感性知識的認識及理性知識的理解.培養(yǎng)學生

8、的思維能力.(六)小結：知識：垂徑定理的兩個推論.能力：推論的研究方法;平分弧的作圖.(七)作業(yè) ：第三課時 垂徑定理及推論在解題中的應用教學目的：要求學生掌握垂徑定理及其推論 ,會解決有關的證明 ,計算問題.培養(yǎng)學生嚴謹?shù)倪壿嬐评砟芰?提高學生方程思想、分類討論思想的應用意識.通過例4(趙州橋)對學生進行愛國主義的教育;并向?qū)W生滲透數(shù)學來源于實踐 ,又反過來效勞于實踐的辯證唯物主義思想教學重點：垂徑定理及其推論在解題中的應用教學難點 ：如何進行輔助線的添加教學內(nèi)容：(一)復習1.垂徑定理及其推論1：對于一條直線和一個圓來說 ,具備以下五個條件中的任何個 ,那么也具有其他三個： 直線過圓心 ;

9、 垂直于弦 ; 平分弦 ; 平分弦所對的優(yōu)弧 ; 平分弦所對的劣弧.可簡記為：知2推3推論2：圓的兩條平行弦所夾的弧相等.2.應用垂徑定理及其推論計算(這里不管什么層次的學生都要自主研究)涉及四條線段的長：弦長a、圓半徑r、弦心距d、弓形高h關系：r =h+d ; r2 =d2 + (a/2)23.常添加的輔助線：(學生歸納) 作弦心距 ; 作半徑 .-構造直角三角形4.可用于證明：線段相等、弧相等、角相等、垂直關系;同時為圓中的計算、作圖提供依據(jù).(二)應用例題：(讓學生分析 ,交流 ,解答 ,老師引導學生歸納)例1、1300多年前 ,我國隋代建造的趙州石拱橋的橋拱是圓弧形 ,它的跨度(弧所

10、對的弦的長)為37.4米 ,拱高(弧中點到弦的距離 ,也叫弓形的高)為7.2米 ,求橋拱的半徑(精確到0.1米).說明：對學生進行愛國主義的教育;應用題的解題思路：實際問題(轉(zhuǎn)化 ,構造直角三角形)數(shù)學問題.例2、：O的半徑為5 ,弦ABCD ,AB =6 ,CD =8 .求：AB與CD間的距離.(讓學生畫圖)解：分兩種情況：(1)當弦AB、CD在圓心O的兩側過點O作EFAB于E ,連結OA、OC ,又ABCD ,EFCD.(作輔助線是難點 ,學生往往作OEAB ,OFAB ,就得EF=OE+OF ,錯誤的結論)由EF過圓心O ,EFAB ,AB =6 ,得AE=3 ,在RtOEA中 ,由勾股

11、定理 ,得同理可得：OF=3EF=OE+OF=4+3=7.(2)當弦AB、CD在圓心O的同側同(1)的方法可得：OE=4 ,OF=3.說明：此題主要是滲透分類思想 ,培養(yǎng)學生的嚴密性思維和解題方法：確定圖形分析圖形數(shù)形結合解決問題;培養(yǎng)學生作輔助線的方法和能力.例3、 ：AB是O的弦 ,半徑OCAB ,AB=24 ,OC =15 .求：BC的長.解：(略 ,過O作OEAE于E ,過B作BFOC于F ,連結OB.BC =)說明：通過添加輔助線 ,構造直角三角形 ,并把與所求線段之間找到關系.(三)應用訓練：P8l中1題.在直徑為650mm的圓柱形油槽內(nèi)裝入一些油后.截面如下圖 ,假設油面寬AB=

12、600mm ,求油的最大深度.學生分析 ,教師適當點撥.分析：要求油的最大深度 ,就是求有油弓形的高 ,弓形的高是半徑與圓心O到弦的距離差 ,從而不難看出它與半徑和弦的一半可以構造直角三角形 ,然后利用垂徑定理和勾股定理來解決.(四)小結：1. 垂徑定理及其推論的應用注意指明條件.2. 應用定理可以證明的問題;注重構造思想 ,方程思想、分類思想在解題中的應用.(五)作業(yè) ：教材P84中15、16題 ,P85中B組2、3題.要練說 ,得練看。看與說是統(tǒng)一的 ,看不準就難以說得好。練看 ,就是訓練幼兒的觀察能力 ,擴大幼兒的認知范圍 ,讓幼兒在觀察事物、觀察生活、觀察自然的活動中 ,積累詞匯、理解

13、詞義、開展語言。在運用觀察法組織活動時 ,我著眼觀察于觀察對象的選擇 ,著力于觀察過程的指導 ,著重于幼兒觀察能力和語言表達能力的提高。探究活動直線MN與O交于點A、B ,CD是O的直徑 ,CEMN于E ,DFMN于F ,OHMN于H.(1)線段AE、BF之間存在怎樣的關系?線段CE、OH、DF之間滿足怎樣的數(shù)量關系?并說明理由.(2)當直線CD的兩個端點在MN兩側時 ,上述關系是否仍能成立?如果不成立 ,它們之間又有什么關系?并說明理由.死記硬背是一種傳統(tǒng)的教學方式,在我國有悠久的歷史。但隨著素質(zhì)教育的開展,死記硬背被作為一種僵化的、阻礙學生能力開展的教學方式,漸漸為人們所摒棄;而另一方面,老師們又為提高學生的語文素養(yǎng)煞費苦心。其實,只要應用得當,“死記硬背與提高學生素質(zhì)并不矛盾。相反,它恰是提高學生語文水平的重要前提和根底。宋以后 ,京師所設小學館和武學堂中的教師稱謂皆稱之為“教諭。至元明清之縣學一律循之不變。明朝入選翰林院的進士之師稱“教習。到清末 ,學堂興起 ,各科教師仍沿用“教習一稱。其實“教諭在