221向量加法運算及其幾何意義

1、2.2.1 向量的加法運 算及其幾何意義1 1、什么叫向量？、什么叫向量？ 、什么叫相等向量？、什么叫相等向量？既有大小又有方向的量叫向量既有大小又有方向的量叫向量長度相等且方向相同的向量叫長度相等且方向相同的向量叫相等向量。相等向量。一、復(fù)習(xí)回顧：一、復(fù)習(xí)回顧： 3 3、什么叫平行向量？、什么叫平行向量？方向相同或相反的非零向量叫平行向量方向相同或相反的非零向量叫平行向量。復(fù)習(xí)cacbba則若,1、向量、向量兩要素：大小、方向。與兩要素：大小、方向。與起點無關(guān)起點無關(guān)， 起點可以取任意位置。起點可以取任意位置。 所以數(shù)學(xué)中的向量也叫所以數(shù)學(xué)中的向量也叫 自由向量自由向量自由向量可以根據(jù)需要自

2、由平移自由向量可以根據(jù)需要自由平移2、任意一組平行向量都可以平移到同一直線上，、任意一組平行向量都可以平移到同一直線上，所所平行向量平行向量也叫也叫共線向量共線向量0,b平行不具有傳遞性4、單位向量：、單位向量：3、零向量：、零向量：長度為長度為0的向量的向量0記作：方向是任意的方向是任意的!長度為長度為 1 1 個單位長度個單位長度的向量。的向量。0AB 或1AB 記作方向是任意的方向是任意的00 00a05、相等向量：、相等向量：ba 方向相同ba 上海上海香港香港臺北臺北嘗試引入嘗試引入1：上海上海香港香港臺北臺北O(jiān)ABOABOA+AB=OB3.向量的加法向量的加法:(1)(1)定義定義

3、: :求兩個向量和的運算，叫做向量的加法求兩個向量和的運算，叫做向量的加法. . (2)(2)向量的加法法則向量的加法法則: :向量加法的向量加法的三角形法則三角形法則:abBC已知非零向量已知非零向量a a ,b,在平面上任取一點在平面上任取一點A,作作AB=a a , ,BC=b b , ,則向量則向量AC叫做向量叫做向量a a和和b的和的和,記作記作a a+b,即即. + b = AB + BC = AC+ b = AB + BC = ACa這種求向量和的方法這種求向量和的方法,稱為向量加法的三角形法則稱為向量加法的三角形法則.“首尾相接，首尾連首尾相接，首尾連” ” Aab 一個木箱,

4、受到兩個力F1和F2的作用的作用,請表請表示出木箱示出木箱受到這兩個力的合力F? F即為木箱所受的合力即為木箱所受的合力F1F2Fo向量加法的向量加法的平行四邊形法則平行四邊形法則:abOABC已知非零向量已知非零向量a a ,b,在平面上任取一點在平面上任取一點O,作作OA=a a , ,OB=b b , ,ab以以O(shè)A,OB為鄰邊作為鄰邊作平行四邊形平行四邊形OACB, 則以則以O(shè)為起點為起點,C為終點的向量為終點的向量OC就是就是a a和和b的和的和. 這種求向量和的方法這種求向量和的方法,稱為向量加法的平行四稱為向量加法的平行四邊形法則邊形法則.規(guī)定規(guī)定:. + 0 = 0 +=+ 0

5、 = 0 +=aaa兩個向量的和仍然是一個向量兩個向量的和仍然是一個向量.兩向量有相同起點兩向量有相同起點CBA ACABABAC 水流的速度是水流的速度是 ,船的速度是船的速度是 則兩個速度的和則兩個速度的和DAD嘗試練習(xí)一：嘗試練習(xí)一：嘗試練習(xí)二：嘗試練習(xí)二：ABCDE_ABBCCD AD_ABBCCDDE AE _ABBCCDDEEA 00ABC A_ABBCC 1、在中，A0,A C BA,B,CC DABBCC 2、若那么( )A、構(gòu)成B、在一直上)、以上都有可能、都不可能例例1.如圖，已知向量如圖，已知向量 ，求作向量，求作向量 。, a b abab 則則 OBab OABaba

6、 三角形法則三角形法則作法作法1：在平面內(nèi)任取一點：在平面內(nèi)任取一點O，作作 ， ，OAa ABb b例題講解：例題講解：例例1.如圖，已知向量如圖，已知向量 ，求作向量，求作向量 。, a b ababO例題講解：例題講解：作法作法2：在平面內(nèi)任取一點：在平面內(nèi)任取一點O，作作 ， ，OAa OBb OAOB、以以 為鄰邊作為鄰邊作 ，OACB.OCOAOBab 連結(jié)連結(jié)OC，則，則abba BCA平行四邊形法則平行四邊形法則嘗試探究：嘗試探究：abab三角形的兩邊之和大于第三邊三角形的兩邊之和大于第三邊| |a babab 當(dāng)向量 、不共線時有ab|ab|b| a三角形的兩邊之差小于第三邊

7、三角形的兩邊之差小于第三邊| |a bbaab 當(dāng)向量 、不共線時有當(dāng)非零向量當(dāng)非零向量 不共線時，和向量的長度不共線時，和向量的長度 與向與向量量 的長度和的長度和 之間的大小關(guān)系如何？之間的大小關(guān)系如何？a b 、|abab、|ab思考思考：如圖，當(dāng)在數(shù)軸上表示兩個非零：如圖，當(dāng)在數(shù)軸上表示兩個非零共線向量共線向量時，時，abab（1）（2）| | |ababababababba 若 ， 方向相同，則若 ， 方向相反，則（或）ABCBCAabab嘗試探究：嘗試探究：| | |?ababab、大小關(guān)系如何|ab|ab|ba同向反向a b 或 、 至少一個為零向量a或 為零向量3、性質(zhì)a b

8、cbacba b c a+b=AB+BC=ACb+a=AD+DC=AC如圖如圖,作作 ABCD,使使AB=a,AD=b.(2) 交換律交換律:a+b=b+a(1) 結(jié)合律結(jié)合律:(a+b)+c=a+(b+c)aabbABCDa+b a+b=b+abbabcabcABCDABCDABCDEFO數(shù)學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)應(yīng)用1(2)(3)OABCDEFOA OCBCFEOAFE 例1：已知 為正六邊形的中心，作出下列向量（）;1OBOCOA）解：（;2ADFEBC）（. 03 FEOA）（ABCDEFO數(shù)學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)應(yīng)用AB,AFbAD= AC= AE= .aba 變：若,用 、 表示、ab.a b22ab2a

9、b2ab課堂小結(jié)：課堂小結(jié)：向量加法的定義向量加法的運算律三角形法則平行四邊形法則向量加法的運算1 1、向量加法的三角形法則、向量加法的三角形法則（首尾相接（首尾相接, ,首尾連）首尾連）嘗試小結(jié)：嘗試小結(jié)：2 2、向量加法的平行四邊形法則、向量加法的平行四邊形法則（起點相同）（起點相同） 以第一個向量的終點作為第二個向量的起以第一個向量的終點作為第二個向量的起點，則由第一個向量的起點指向第二個向量的點，則由第一個向量的起點指向第二個向量的終點的向量就是和向量。終點的向量就是和向量。 以同一起點的兩個向量為鄰邊作平行四邊形，以同一起點的兩個向量為鄰邊作平行四邊形，則以公共起點為起點的對角線所對

10、應(yīng)向量就是和向則以公共起點為起點的對角線所對應(yīng)向量就是和向量。量。則則的重心的重心是是已知已知 OCOBOAABCO,CBAO.ED。則則的重心的重心是是變：已知變：已知 FOEODOABCO,CBAO.DFE。則則的重心的重心是是變：已知變：已知 FCEBDAABCO,CBAO.DFE例例2.長江兩岸之間沒有大橋的地方，常常通過輪船進(jìn)行運輸，長江兩岸之間沒有大橋的地方，常常通過輪船進(jìn)行運輸，如圖所示，一艘船從長江南岸如圖所示，一艘船從長江南岸A點出發(fā)，以點出發(fā)，以 km/h的速度向的速度向垂直于對岸的方向行駛，同時江水的速度為向東垂直于對岸的方向行駛，同時江水的速度為向東2km/h.（1）試

11、用向量表示江水速度、船速以及船實際航行的速度；）試用向量表示江水速度、船速以及船實際航行的速度；（2）求船實際航行的速度的大小與方向（用與江水速度的夾）求船實際航行的速度的大小與方向（用與江水速度的夾 角來表示）。角來表示）。2 3ADBC,ADABADABABCDAC 圖， 、為鄰邊則實際.解解：（1 1）如如所所示示表表示示船船速速表表示示水水速速以以作作表表示示 船船航航行行的的速速度度例例2.長江兩岸之間沒有大橋的地方，常常通過輪船進(jìn)行運輸，長江兩岸之間沒有大橋的地方，常常通過輪船進(jìn)行運輸，如圖所示，一艘船從長江南岸如圖所示，一艘船從長江南岸A點出發(fā)，以點出發(fā)，以 km/h的速度向的速

12、度向垂直于對岸的方向行駛，同時江水的速度為向東垂直于對岸的方向行駛，同時江水的速度為向東2km/h.（1）試用向量表示江水速度、船速以及船實際航行的速度；）試用向量表示江水速度、船速以及船實際航行的速度；（2）求船實際航行的速度的大小與方向（用與江水速度的夾）求船實際航行的速度的大小與方向（用與江水速度的夾 角來表示）。角來表示）。2 3(2)| 2,| 2 3RtABCABBC 解： 在中，2222|2(23)4 ACABBC 2 3tan32CAB60 .CAB答：船實際航行速度為答：船實際航行速度為4km/h,方向與水的流速間的夾角為方向與水的流速間的夾角為60。ADBC1 1、向量加法的三角形法則、向量加法的三角形法則（首尾相接（首尾相接, ,首尾連）首尾連）嘗試小結(jié)：嘗試小結(jié)：2 2、向量加法的平行四邊形法則、向量加法的平行四邊形法則（起點相同）（