勾股定理與方程

1、BCA直角三角形兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方直角三角形兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方abc22abc2勾股定理的常見表達(dá)式和變形式勾股定理的常見表達(dá)式和變形式在直角三角中，如果已知兩邊的長，在直角三角中，如果已知兩邊的長，利用勾股定理就可以求第三邊的長；利用勾股定理就可以求第三邊的長；那么如果已知一條邊長及另兩邊的那么如果已知一條邊長及另兩邊的數(shù)量關(guān)系，能否求各邊長呢？數(shù)量關(guān)系，能否求各邊長呢？感受感受新知新知1（二）例題（二）例題【問題問題1】如何在實(shí)際問題中，利用勾股定理解決問題呢？如何在實(shí)際問題中，利用勾股定理解決問題呢？例例1 .有一個(gè)水池,水面是一個(gè)邊長為l0尺的正方形.在水池

2、正中央有一根蘆葦.它高出水面l尺.如果把這根蘆葦拉向水池一邊的中點(diǎn),它的頂端恰好到達(dá)池邊的水面.水的深度與這根蘆葦?shù)拈L度分別是多少? 例例1 .有一個(gè)水池,水面是一個(gè)邊長為l0尺的正方形.在水池正中央有一根蘆葦.它高出水面l尺.如果把這根蘆葦拉向水池一邊的中點(diǎn),它的頂端恰好到達(dá)池邊的水面.水的深度與這根蘆葦?shù)拈L度分別是多少? 設(shè)計(jì)意圖：設(shè)計(jì)意圖： 1.能利用勾股定理解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問題；能利用勾股定理解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問題；2.通過用代數(shù)式、方程等表述數(shù)量關(guān)系的過程，體通過用代數(shù)式、方程等表述數(shù)量關(guān)系的過程，體會(huì)模型的思想，建立符號(hào)意識(shí)；會(huì)模型的思想，建立符號(hào)意識(shí)；3.初步學(xué)會(huì)在具體的情境中從數(shù)學(xué)的

3、角度發(fā)現(xiàn)問題和初步學(xué)會(huì)在具體的情境中從數(shù)學(xué)的角度發(fā)現(xiàn)問題和提出問題，并綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)和方法等解決簡(jiǎn)單的提出問題，并綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)和方法等解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問題，增強(qiáng)應(yīng)用意識(shí)，提高實(shí)踐能力；實(shí)際問題，增強(qiáng)應(yīng)用意識(shí)，提高實(shí)踐能力；4.本題是我國古代數(shù)學(xué)著作本題是我國古代數(shù)學(xué)著作九章算術(shù)九章算術(shù)中的問題中的問題，展現(xiàn)我國古人在勾股定理應(yīng)用研究方面的成果，展現(xiàn)我國古人在勾股定理應(yīng)用研究方面的成果.222x+x +5 =x+x=12+ =13解：設(shè)水深為x尺，則蘆葦長為（1）尺，由勾股定理，得 （1）蘆葦長：12 1 13答：水深12尺，蘆葦長為尺.X+1X5CBDA 解決與勾股定理有關(guān)的實(shí)際問題時(shí)，先

4、解決與勾股定理有關(guān)的實(shí)際問題時(shí)，先要抽象出幾何圖形，從中找出直角三角形，再要抽象出幾何圖形，從中找出直角三角形，再設(shè)未知數(shù)，找出各邊的數(shù)量關(guān)系，最后根據(jù)勾設(shè)未知數(shù)，找出各邊的數(shù)量關(guān)系，最后根據(jù)勾股定理求解股定理求解.222x+x +5 =x+x=12+ =13解：設(shè)水深為x尺，則蘆葦長為（1）尺，由勾股定理，得 （1）蘆葦長：12 1 13答：水深12尺，蘆葦長為尺.小結(jié)：小結(jié)：X+1X5CBDAEDBCAAB的中垂線的中垂線DE交交BC于點(diǎn)于點(diǎn)DAD=BDBC=3BD+CDAD+CD= 3 如圖，在如圖，在RtABC中，中，C=90, AC=1，BC=3. AB的中垂線的中垂線DE交交BC于

5、點(diǎn)于點(diǎn)D, 連結(jié)連結(jié)AD，則則AD的長為的長為.x3-x感受新知感受新知2在直角三角形在直角三角形中（已知兩邊中（已知兩邊的數(shù)量關(guān)系）的數(shù)量關(guān)系）設(shè)其中設(shè)其中一邊為一邊為x 利用勾股定理利用勾股定理列方程列方程 解解方方程程求各邊長求各邊長 如圖，有一張直角三角形紙片，兩直角邊如圖，有一張直角三角形紙片，兩直角邊AC=6cm，BC=8cm, 現(xiàn)將直角邊沿直線現(xiàn)將直角邊沿直線AD折疊，使點(diǎn)折疊，使點(diǎn)C落在斜邊落在斜邊AB上的點(diǎn)上的點(diǎn)E，求，求CD的長的長.CBADE66例例 1解：解：在在RtRtABCABC中中 AC=6cmAC=6cm，BC=8cmBC=8cm AB=10cm AB=10cm

6、設(shè)設(shè)CDCDDEDExcmxcm，則，則BDBD（8-x8-x）cmcm 由折疊可知由折疊可知AEAEACAC6cm6cm，CDCDDE,DE, C= C= AED=90AED=90 解得解得x x3 3 CD=DE=3cm CD=DE=3cmBEBE10-610-64cm, 4cm, BED=90BED=90在在RtRtBDEBDE中中由勾股定理可得（由勾股定理可得（8-x8-x）2 2 x x2 2+4+42 2CBADE66例例 1【問題問題2】如果一道題目中有多個(gè)直角三角形，我們?nèi)缛绻坏李}目中有多個(gè)直角三角形，我們?nèi)绾芜x擇在哪個(gè)直角三角形中利用勾股定理求解呢？何選擇在哪個(gè)直角三角形中

7、利用勾股定理求解呢？例例2.已知矩形ABCD沿直線BD折疊，使點(diǎn)C落在同一平面內(nèi)C處，B C與AD交于點(diǎn)E，AD=8，AB=4，求DE的長. E C D A B C例例2.已知矩形ABCD沿直線BD折疊，使點(diǎn)C落在同一平面內(nèi)C處，B C與AD交于點(diǎn)E，AD=8，AB=4，求DE的長.方法一222/ /13231= 2t+-x=xx=55.ABCDADBCBCDBDBC DBCDBC DBEDEDE 解： 四邊形為矩形沿折疊得到設(shè)DE為x，則BE=x，AE=8-x,在RABE中，由勾股定理得，4（8）答：長為方法二方法二4904=90904= 5ABCDCDABACBCDBDBC DBCDBC

8、DC DCDCCAEBC EDACABC DAEBC EDBEDE 解： 四邊形為矩形，沿折疊得到，在和中222t+-x=xx=55.DE設(shè)DE為x，則BE=x，AE=8-x,在RABE中，由勾股定理得，4（8 ）答：長為例例2.已知矩形ABCD沿直線BD折疊，使點(diǎn)C落在同一平面內(nèi)C處，B C與AD交于點(diǎn)E，AD=8，AB=4，求DE的長. E C D A B C1.如果一道題目中有多個(gè)直角三角形，要選擇能夠用如果一道題目中有多個(gè)直角三角形，要選擇能夠用一個(gè)未知數(shù)表示出三條邊的直角三角形（邊也可為常一個(gè)未知數(shù)表示出三條邊的直角三角形（邊也可為常數(shù)），在這個(gè)三角形中利用勾股定理求解數(shù)），在這個(gè)三

9、角形中利用勾股定理求解. 2.解決折疊問題的關(guān)鍵：在動(dòng)、靜的轉(zhuǎn)化中找出不變量解決折疊問題的關(guān)鍵：在動(dòng)、靜的轉(zhuǎn)化中找出不變量.小結(jié)： 例例2.已知矩形ABCD沿直線BD折疊，使點(diǎn)C落在同一平面內(nèi)C處，B C與AD交于點(diǎn)E，AD=8，AB=4，求DE的長. E C D A B C注意： 1.基本圖形：基本圖形：“平行、角平分線、等腰三角形平行、角平分線、等腰三角形”知二推一知二推一 2.折疊問題：折疊圖形前后兩個(gè)圖形全等，最好折疊問題：折疊圖形前后兩個(gè)圖形全等，最好在圖中標(biāo)出相等的線段和角在圖中標(biāo)出相等的線段和角.練習(xí)練習(xí)思考思考11、如圖，鐵路上、如圖，鐵路上A，B兩點(diǎn)相距兩點(diǎn)相距25km，C，

10、D為為 兩村莊，兩村莊，DAAB于于A，CBAB于于B，已知，已知 DA=15km，CB=10km，現(xiàn)在要在鐵路，現(xiàn)在要在鐵路AB上上 建一個(gè)土特產(chǎn)品收購站建一個(gè)土特產(chǎn)品收購站E，使得，使得C，D兩村到兩村到 E站的距離相等，則站的距離相等，則E站應(yīng)建在離站應(yīng)建在離A站多少站多少km 處？處？CAEBD解：解：設(shè)設(shè)AE= x km，則，則 BE=（25-x）km根據(jù)勾股定理，得根據(jù)勾股定理，得 AD2+AE2=DE2 BC2+BE2=CE2 又又 DE=CE AD2+AE2= BC2+BE2即：即：152+x2=102+（25-x）2 x=10 答：答：E站應(yīng)建在離站應(yīng)建在離A站站10km處。

11、處。x25-xCAEBD1510思考思考1在一棵樹在一棵樹BD的的5m高高A處有兩只處有兩只小猴子，其中一只猴子爬到樹頂小猴子，其中一只猴子爬到樹頂D后跳到離樹后跳到離樹10m的地面的地面C處，另外處，另外一只猴子爬下樹后恰好也走到地一只猴子爬下樹后恰好也走到地面面C處，如果兩個(gè)猴子經(jīng)過的距離處，如果兩個(gè)猴子經(jīng)過的距離相等，問這棵樹有多高？相等，問這棵樹有多高？ABCD5m10m思考思考2ABCD解：如圖，解：如圖，D為樹頂，為樹頂，AB=5 m,BC=10 m. 設(shè)設(shè)AD長為長為x m，則樹高為，則樹高為(x+5)m. AD + DC = AB + BC, DC = 10 + 5 x = 1

12、5 - x.在在RtABC中，根據(jù)勾股定理得中，根據(jù)勾股定理得解得解得x=2.5 答：樹高為答：樹高為7.5米。米。5m10m x+5=2.5+5=7.510 2+ (5 + x )2= (15 x)2思考思考2例例3. 已知：如圖，ABC中，AB=16，AC=14，BC=6，求ABC的面積. 【問題問題3】如果題目中既沒有直角三角形，也沒有如果題目中既沒有直角三角形，也沒有直角，怎么利用勾股定理求解？直角，怎么利用勾股定理求解？ A B C設(shè)計(jì)意圖：設(shè)計(jì)意圖： 經(jīng)歷對(duì)幾何圖形的觀察、分析，初步掌握經(jīng)歷對(duì)幾何圖形的觀察、分析，初步掌握利用分割圖形構(gòu)造直角三角形的方法，了解特利用分割圖形構(gòu)造直角

13、三角形的方法，了解特殊與一般的轉(zhuǎn)化思想殊與一般的轉(zhuǎn)化思想;例例3. 已知：如圖，ABC中，AB=16，AC=14，BC=6，求ABC的面積. 2222222222214(16)63633 31116 3 324 32224 3.ABCADCDBCDBCDSAB CD解：作CDAB于D，設(shè)DB=x， 則AD=16-x，由勾股定理得， ACxxx答： ABC的面積為方法一：DABC例例3. 已知：如圖，ABC中，AB=16，AC=14，BC=6，求ABC的面積. 方法二： 222222222214(16) =6=14(16)6 +=0=3解：作CDAB于D，設(shè)DB=x，CD=y，則AD=16-x，

14、由勾股定理得，xy （1）xy（2）（1） （2），得xxx2222=36=27=3 3=3 312116 3 324 3224 3.ABCSAB CD把x代入（2）得，3yyy或y（舍去） 答： ABC的面積為DABC例例3. 已知：如圖，ABC中，AB=16，AC=14，BC=6，求ABC的面積. 小結(jié)小結(jié)： 1.題目中既沒有直角三角形，也沒有直角，可題目中既沒有直角三角形，也沒有直角，可考慮利用作垂線段，分割圖形的方法，構(gòu)造直考慮利用作垂線段，分割圖形的方法，構(gòu)造直角三角形角三角形; 2. “斜化直斜化直”即：斜三角形化為直角三角形求解即：斜三角形化為直角三角形求解. DABC例例3.

15、已知：如圖，ABC中，AB=16，AC=14，BC=6，求ABC的面積. 注意： 1.本題可選擇列方程或方程組求解，當(dāng)列方程本題可選擇列方程或方程組求解，當(dāng)列方程組求解時(shí)，要注意開平方時(shí)，是兩種情況，要組求解時(shí)，要注意開平方時(shí)，是兩種情況，要舍去負(fù)值；當(dāng)列方程求解舍去負(fù)值；當(dāng)列方程求解CD時(shí)，最好寫時(shí)，最好寫“ ”，可以省去后面的討論，可以省去后面的討論;CD 2.本題也可以過本題也可以過A或或B作對(duì)邊的高作對(duì)邊的高. DABC1203 35 3ABCABADBCCDABCD例4.一塊四邊形的土地，其中，求這塊土地的面積.【問題問題4】如果題目中沒有直角三角形，但存在直角，如果題目中沒有直角三

16、角形，但存在直角，怎么利用勾股定理求解？怎么利用勾股定理求解？ D C B A設(shè)計(jì)意圖：設(shè)計(jì)意圖： 1203 35 3ABCABADBCCDABCD例4.一塊四邊形的土地，其中，求這塊土地的面積.【問題問題4】如果題目中沒有直角三角形，但存在直角，怎么利用勾股定理求解？ D C B A1.經(jīng)歷對(duì)幾何圖形的觀察、分析，初步掌握利用經(jīng)歷對(duì)幾何圖形的觀察、分析，初步掌握利用“補(bǔ)補(bǔ)”圖形構(gòu)造直角三角形的方法，了解特殊與一般的圖形構(gòu)造直角三角形的方法，了解特殊與一般的轉(zhuǎn)化思想轉(zhuǎn)化思想;2.題目中設(shè)置的已知量并不是整數(shù)，意在增強(qiáng)學(xué)生題目中設(shè)置的已知量并不是整數(shù)，意在增強(qiáng)學(xué)生的計(jì)算能力的計(jì)算能力.1203

17、35 3ABCABADBCCDABCD例4.一塊四邊形的土地，其中，求這塊土地的面積. D C B A1203 35 3ABCABADBCCDABCD例4.一塊四邊形的土地，其中，求這塊土地的面積.小結(jié)：小結(jié)： 題目中沒有直角三角形，但存在直角題目中沒有直角三角形，但存在直角，可以考慮，可以考慮“補(bǔ)補(bǔ)”出直角三角形求解出直角三角形求解.實(shí)際實(shí)際上，本題利用上，本題利用“割割”也有多種做法也有多種做法. D C B A 小結(jié)： 題目中沒有直角三角形，但存在直角題目中沒有直角三角形，但存在直角，可以考慮，可以考慮“補(bǔ)補(bǔ)”出直角三角形求解出直角三角形求解.實(shí)際實(shí)際上，本題利用上，本題利用“割割”也有

18、多種做法也有多種做法.1203 35 3ABCABADBCCDABCD例4.一塊四邊形的土地，其中，求這塊土地的面積.注意： 1.本題的解法很多，但是解法上卻有的簡(jiǎn)單，本題的解法很多，但是解法上卻有的簡(jiǎn)單，有的復(fù)雜，要選擇好方法有的復(fù)雜，要選擇好方法; 2.注意不要跳步注意不要跳步.不能直接用結(jié)論：不能直接用結(jié)論：“含有含有30的直角三角形的三邊的比為：的直角三角形的三邊的比為： ”;如：要求如：要求CE，需先求，需先求DE，再由勾股定理求，再由勾股定理求CE. 1 32： ： D C B A【問題5】如果將勾股定理中如果將勾股定理中“直角三角形直角三角形”改改為為“斜三角形斜三角形”， 的關(guān)

19、系會(huì)是怎樣呢的關(guān)系會(huì)是怎樣呢？222abc與思考題：思考題：在ABC中，BC=a，AC=b，AB=c，若C=90，如圖，根據(jù)勾股定理，則 ，若ABC不是直角三角形，如圖和圖，請(qǐng)你類比勾股定理，試猜想 的關(guān)系，并證明你的結(jié)論. 222=abc222abc與思考題：在思考題：在ABC中，中，BC=a，AC=b，AB=c，若，若C=90，如圖，如圖，根據(jù)，根據(jù)勾股定理，則勾股定理，則 ，若，若ABC不是直角三角形，如圖不是直角三角形，如圖和圖和圖，請(qǐng)你，請(qǐng)你類比勾股定理，試猜想類比勾股定理，試猜想 的關(guān)系，并證明你的結(jié)論的關(guān)系，并證明你的結(jié)論. 222=abc222abc與設(shè)計(jì)意圖：設(shè)計(jì)意圖： 1.從證明方法角度看，通過利用從證明方法角度看，通過利用“割割”、“補(bǔ)補(bǔ)”圖形構(gòu)造直角三角形的方法，得出類似勾股定理圖形構(gòu)造直角三角形的方法，得出類