第四章 特征值與特征向量

1、第四章 特征值與特征向量第一部分A題1. 用Gram-Schmidt正交化方法把向量組，化為標(biāo)準(zhǔn)正交向量組.2. 若是奇數(shù)階正交矩陣，試證：.3. 求矩陣的特征值與特征向量.4. 設(shè)階方陣的個(gè)特征值為，證明：（1）；（2）.5. 已知3階方陣的特征值為，設(shè)，求.6. 設(shè)，求可逆矩陣，使得為對(duì)角陣.第二部分B題1. 填空：1) 與，都正交的向量= .2) 標(biāo)準(zhǔn)正交向量組是指 .3) Gram-Schmidt正交化方法是將 向量組轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)正交向量組.4) 若為正交矩陣，則= ，且= ，且的列向量組是 .5) 任一矩陣的不同特征值對(duì)應(yīng)的特征向量是 ；而實(shí)對(duì)稱(chēng)陣的不同特征值對(duì)應(yīng)的特征向量是 .6)

2、若是階方陣的特征值，則 .7) 若是方陣的一個(gè)特征值，且，則 ；而是方陣 的一個(gè)特征值.8) 設(shè)3階方陣有3個(gè)特征值，若，則= .9) 若是矩陣的特征向量，那么 是矩陣的特征向量.10) 若矩陣與相似，則它們的特征值 .2. 選擇： 1) 已知為階可逆矩陣，那么與有相同特征值的矩陣是（ ）.A ； B ； C ； D .2) 設(shè)分別是2階方陣的屬于不同特征值的特征向量，則下列結(jié)論正確的是（ ）.A 也是的特征向量；B 是的全部特征向量；C （不全為零）是的全部特征向量；D （均不為零）是的全部特征向量.3) 設(shè)為3階矩陣，其特征值是，相應(yīng)的特征向量依次為，若令，則=（ ）.A ； B ； C

3、； D .4) 下列條件中是階矩陣可對(duì)角化的充要條件的是（ ）.A 有個(gè)不同的特征值；B 有個(gè)不同的特征向量；C 的每個(gè)特征值的代數(shù)重?cái)?shù)與幾何重?cái)?shù)相等；D 為可逆矩陣.5) 設(shè)階矩陣與相似，則（ ）.A ； B 與有相同的伴隨矩陣；C ； D 與都相似于一個(gè)對(duì)角矩陣.3. 判斷：1) 方陣的屬于的特征向量是唯一的. （ ）2) 設(shè)都是對(duì)應(yīng)于的特征向量，則的線性組合也是的特征向量. （ ）3) 階方陣一定有個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量. （ ）4) 不同的矩陣有不同的特征值時(shí)也可以有相同的特征向量. （ ）5) 若，則的特征值只有0或者1. （ ）6) 若階可逆矩陣的特征值為，則的伴隨矩陣的特征值為.

4、（ ）7) 任一階矩陣都可以表示為一個(gè)對(duì)稱(chēng)矩陣于一個(gè)反對(duì)稱(chēng)陣之和. （ ）8) 若矩陣的特征值是，特征向量是，令，則有成立. （ ）4. 用Gram-Schmidt正交化方法把向量組，化為標(biāo)準(zhǔn)正交向量組.5. 當(dāng)為何值時(shí)，矩陣為正交矩陣. 6. 求下列矩陣的特征值與特征向量：（1） （2）.（3）（4）7. 求可逆矩陣，將下列矩陣對(duì)角化.（1）（2）8. 設(shè)，求.9. 設(shè)3階矩陣的特征值為及特征向量依次為，求矩陣.10. 若階方陣滿足，試證的特征值只能是或.11. 證明：若是可逆矩陣的特征值，則是的特征值，是的特征值.12. 證明：正交矩陣若有特征值，則它的特征值是或.13. 對(duì)下列實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣

5、，求出正交矩陣，使為對(duì)稱(chēng)矩陣.（1）（2）（3）14. 設(shè)3階實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣的特征值為，對(duì)應(yīng)于的特征向量為，求.15. 已知矩陣與相似，求；并求一個(gè)滿足的可逆矩陣.16. 若，證明.17. 熟練工的轉(zhuǎn)移 試驗(yàn)性生產(chǎn)線每年一月份進(jìn)行熟練工與非熟練工的人數(shù)統(tǒng)計(jì)，然后將 熟練工支援其他生產(chǎn)部門(mén)，其缺額由招收新的非熟練工補(bǔ)齊。新、老非熟練工經(jīng)過(guò)培訓(xùn)及實(shí)踐至年終考核有成為熟練工.設(shè)第年一月份統(tǒng)計(jì)的熟練工和非熟練工所占百分比分別為和，記為向量。（1）求與的關(guān)系式并寫(xiě)成矩陣形式；（2）驗(yàn)證是的兩個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量，并求出相應(yīng)的特征值；（3）當(dāng)時(shí)，求.自測(cè)題一、填空：1. 已知3階矩陣的3個(gè)特征值是，則 .2.

6、 設(shè)矩陣有3個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量，則應(yīng)滿足的條件是 .3. 已知3階矩陣的3個(gè)特征值是，則矩陣的特征值是 .4. 已知是3階實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣，特征值是，其中，分別是屬于特征值的特征向量，那么矩陣屬于特征值的特征向量是 .5. 若與相似，則 .二、選擇：1. 設(shè)矩陣，則的特征值為（ ）.A ； B ； C ； D .2. 已知，矩陣的特征值為，則的特征值為（ ）.A ； B ； C ； D .3. 已知3階矩陣的3個(gè)特征值是，則下列矩陣中是可逆矩陣的是（ ）.A ； B ； C ； D .4. 已知是方程的兩個(gè)不同的解向量，則下列向量中，必是的對(duì)應(yīng)于特征值的特征向量是（ ）.A ； B ； C ； D .5. 設(shè)是階對(duì)稱(chēng)矩陣，是階反對(duì)稱(chēng)矩陣，則下列矩陣中，不能通過(guò)正交變換化成對(duì)角陣的是（ ）.A ； B ； C ； D .三、計(jì)算與證明：1. 求矩陣的特征值與特征向量.2. 設(shè)是的特征值，對(duì)應(yīng)的特征向量為，為階可逆矩陣，試證：也是的特征值，對(duì)應(yīng)的特征向量是.3. 判