全國高考數(shù)學(xué)“三角函數(shù)”試題分析小結(jié)

1、全國高考數(shù)學(xué)“三角函數(shù)”試題分析小結(jié)一、客觀題重基礎(chǔ)，有關(guān)三角函數(shù)的小題其考查重點是三角函數(shù)的概念、圖象與圖象變換、定義域與值域、三角函數(shù)的性質(zhì)和三角函數(shù)的化簡與求值.【例1】 （2007年四川）下面有五個命題：函數(shù)y=sin4x-cos4x的最小正周期是.終邊在y軸上的角的集合是a|a=|.在同一坐標(biāo)系中，函數(shù)y=sinx的圖象和函數(shù)y=x的圖象有三個公共點.把函數(shù)函數(shù)其中真命題的序號是 （寫出所有真命題的編號）解答：，正確；錯誤；，和在第一象限無交點，錯誤；正確；錯誤故選【點評】 本題通過五個小題全面考查三角函數(shù)的有關(guān)概念、圖象、性質(zhì)的基礎(chǔ)知識. 三角函數(shù)的概念，在今年的高考中，主要是以選

2、擇、填空的形式出現(xiàn)，每套試卷都有不同程度的考查.預(yù)計在2008年高考中，三角函數(shù)的定義與三角變換仍將是高考命題的熱點之一.【例2】（2007年安徽）函數(shù)的圖象為C： 圖象關(guān)于直線對稱; 函數(shù)在區(qū)間內(nèi)是增函數(shù);由的圖象向右平移個單位長度可以得到圖象. 以上三個論斷中正確論斷的個數(shù)為 （A）0（B）1（C）2（D）3解答 C 圖象關(guān)于直線對稱，當(dāng)k=1時，圖象C關(guān)于對稱；正確；x時，(，)， 函數(shù)在區(qū)間內(nèi)是增函數(shù)；正確；由的圖象向右平移個單位長度可以得到，得不到圖象，錯誤； 正確的結(jié)論有2個，選C.【點評】 本題主要考查了三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)及三角函數(shù)圖象的平移變換. 二、解答題重技能.三角函數(shù)解

3、答題是高考命題的?？汲Ｐ碌幕A(chǔ)性題型，其命題熱點是章節(jié)內(nèi)部的三角函數(shù)求值問題；命題的亮點是跨章節(jié)的學(xué)科綜合命題.【例3】 （2007年安徽）已知為的最小正周期，且a·b求的值解答：因為為的最小正周期，故因，又故由于，所以【點評】 本小題主要考查周期函數(shù)、平面向量數(shù)量積與三角函數(shù)基本關(guān)系式，考查運算能力和推理能力屬于三角函數(shù)求值問題. 本類問題一般有三種形式：給式求值，給值求值，給值求角.其一般解法是：將角化為特殊角或?qū)⑷呛瘮?shù)化為同角、同名函數(shù)進(jìn)行合并與化簡，最后求出三角函數(shù)的值來.【例4】 （2007年天津）已知函數(shù)（）求函數(shù)的最小正周期；（）求函數(shù)在區(qū)間上的最小值和最大值解答：（

4、）解：因此，函數(shù)的最小正周期為（）解法一：因為在區(qū)間上為增函數(shù)，在區(qū)間上為減函數(shù)，又，故函數(shù)在區(qū)間上的最大值為，最小值為解法二：作函數(shù)在長度為一個周期的區(qū)間上的圖象如下：yxO由圖象得函數(shù)在區(qū)間上的最大值為，最小值為【點評】 本小題考查三角函數(shù)中的誘導(dǎo)公式、特殊角三角函數(shù)值、兩角差公式、倍角公式、函數(shù)的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識，考查基本運算能力 三、考應(yīng)用融入三角形之中.解三角形題目既考查三角形的知識與方法，又考查運用三角公式進(jìn)行恒等變換的技能.【例5】 （2007年四川）如圖，l1、l2、l3是同一平面內(nèi)的三條平行直線，l1與l2間的距離是1， l2與l3間的距離是2，正三角形ABC的三頂點分別在l1

5、、l2、l3上，則ABC的邊長是 （ ）（A） （B）（C） （D）解答：D 因為l1、l2、l3是同一平面內(nèi)的三條平行直線，l1與l2間的距離是1，l2與l3間的距離是2，所以過A作l2的垂線，交l2、l3分別于點D、E，如圖，則BAD=BAC+CAE，即BAD=60°+CAE,記正三角形ABC的邊長為a,兩邊取余弦得：，即整理得，故選D. 【點評】 本題以平面幾何為平臺，主要考查運用三角函數(shù)的相關(guān)知識解決實際問題的能力.本題意圖與新課標(biāo)接軌，需引起高三備考學(xué)生的密切關(guān)注.【例6】 （2007年全國）設(shè)銳角三角形的內(nèi)角的對邊分別為，（）求的大??；（）求的取值范圍解：（）由，根據(jù)正弦

6、定理得，所以，由為銳角三角形得（）由為銳角三角形知， ，所以由此有，所以，的取值范圍為【點評】 (1)問考查正弦定理的簡單應(yīng)用，當(dāng)屬容易題，（2）問主要考查了三角函數(shù)兩角和與差的正余弦公式應(yīng)用，但題干中ABC為銳角三角形是不可忽略的條件，必須在分析題目時引起足夠的重視.四、綜合體現(xiàn)三角函數(shù)的工具性作用.雖然工具性作用有所減弱，但是對它的考查還會存在.這是由于近年高考出題突出以能力立意，加強(qiáng)了對知識的應(yīng)用性地考查經(jīng)常在知識的交匯點處出題.【例7】 如圖，甲船以每小時海里的速度向正北方航行，乙船按固定方向勻速直線航行，當(dāng)甲船位于處時，乙船位于甲船的北偏西方向的處，此時兩船相距海里，當(dāng)甲船航行分鐘到

7、達(dá)處時，乙船航行到甲船的北偏西方向的處，此時兩船相距海里，問乙船每小時航行多少海里？北甲乙解法一：如圖，連結(jié)，由已知，又，是等邊三角形，由已知，在中，由余弦定理，因此，乙船的速度的大小為（海里/小時）答：乙船每小時航行海里解法二：如圖，連結(jié)，由已知，北乙甲，在中，由余弦定理，由正弦定理，即，在中，由已知，由余弦定理，乙船的速度的大小為海里/小時答：乙船每小時航行海里【點評】 本題是解斜三角形的應(yīng)用題，考查了正、余弦定理的應(yīng)用，等邊三角形的判定.求解本類問題時應(yīng)按照由易到難的順序來求解，最重要的是首先要對圖形進(jìn)行有效分割，便于運用正、余弦定理. 由于近年高考題突出以能力立意，加強(qiáng)對知識和應(yīng)用性的

8、考查，故常常在知識的交匯點處出題.用三角函數(shù)作工具解答應(yīng)用性問題雖然是高考命題的一個冷點，但在備考時也需要我們?nèi)リP(guān)注.【例8】 已知函數(shù)，（I）證明：當(dāng)時，在上是增函數(shù)；（II）對于給定的閉區(qū)間，試說明存在實數(shù)，當(dāng)時，在閉區(qū)間上是減函數(shù)；（III）證明：解答：()證明：由題設(shè)得又由,且t得t，即0由此可知，為R上的增函數(shù)()證法一：因為0是為減函數(shù)的充分條件，所以只要找到實數(shù)k，使得0，即t在閉區(qū)間a,b上成立即可因此y=在閉區(qū)間a,b上連續(xù)，故在閉區(qū)a,b上有最大值，設(shè)其為k，tk時, 0在閉區(qū)間a,b上恒成立，即在閉區(qū)間a,b上為減函數(shù)證法二：因為0是為減函數(shù)的充分條件，所以只要找到實數(shù)k，使得tk時0，在閉區(qū)間a,b上成立即可令則0()當(dāng)且僅當(dāng)0()而上式成立只需即成立取與中較大者記為k，易知當(dāng)tk時，0在閉區(qū)a,b成立，即在閉區(qū)間a,b上為減函數(shù)()證法一：設(shè)易得令則易知當(dāng)x0時, 0;當(dāng)x0, 0故當(dāng)x=0時，取最小值，所以，于是對任意x、t，有，即證法二：設(shè)=，當(dāng)且僅當(dāng)0只需證明0，即1以下同證法一證法三：設(shè)=，則易得當(dāng)t時, 0; t時, 0，故當(dāng)t=取最小值即以下同證法一證法四