劃艇比賽的成績

1、佛山科學(xué)技術(shù)學(xué)院上 機(jī) 報(bào) 告課程名稱 數(shù)學(xué)建模 上機(jī)項(xiàng)目 劃艇比賽的成績 專業(yè)班級 一、問題提出賽艇是一種靠槳手劃槳前進(jìn)的小船，分單人艇、雙人艇、四人艇、八人艇四種。各種艇雖大小不同，但形狀相似。 現(xiàn)在考慮八人艇分重量級組（槳手體重不超過86kg）和輕量級組（槳手體重不超過73kg），建立模型說明重量級組的成績比輕量級組大約好5%。 T.A.McMathon比較了各種賽艇19641970年四次2000m比賽的最好成績（包括1964年和1968年的兩次奧運(yùn)會和兩次世界錦標(biāo)賽），見表1第1至第6列，發(fā)現(xiàn)它們之間有相當(dāng)一致的差別，他認(rèn)為比賽成績與槳手?jǐn)?shù)量之間存在著某種聯(lián)系，于是

2、建立了一個模型來解釋這種關(guān)系。艇種200m成績（min）艇長(m)艇寬（m）1234平均單人7.167.257.287.177.217.930.29327.016.3雙人6.876.926.956.776.889.760.356270413.6四人6.336.426.486.136.3211.750.57421.018.1八人5.875.925.825.735.8418.280.61030.014.7 表1 各種艇的比賽成績和規(guī)格二、問題分析 賽艇前進(jìn)時受到的阻力主要是艇浸沒部分與水之間的摩擦力。船靠槳手的力量克服阻力保持一定的速度前進(jìn)。槳手越多劃艇前進(jìn)的動力越大。但是艇和槳手總重量的增加會使

3、艇浸沒面積加大，于是阻力加大，增加的阻力將抵消一部分的動力。建模目的是尋求槳手?jǐn)?shù)量與比賽成績（航行一定距離所需時間）之間的數(shù)量規(guī)律。如果假設(shè)艇速在整個賽程保持不變，那么只需構(gòu)造一個靜態(tài)模型，使問題簡化為建立槳手?jǐn)?shù)量與艇速之間的關(guān)系。注意到在實(shí)際比賽中槳手在極短的時間內(nèi)使艇加速到最大速度，然后把這個速度保持到終點(diǎn)，那么上述假設(shè)也是合理的。 為了分析所受阻力的情況，調(diào)查了各種艇的幾何尺寸和重量如表5。觀察第7至10列給出的這些數(shù)據(jù)，可以看出，槳手?jǐn)?shù)增加時，艇的尺寸, 及艇重都隨之增加，但比值和變化不大若假定是常數(shù)，即各種艇的形狀一樣，則可得到艇浸沒面積與排水體積之間的關(guān)系。若假

4、定是常數(shù)，則可得到艇和槳手的總重量與槳手?jǐn)?shù)之間的關(guān)系。此外還需對槳手體重、劃槳功率、阻力與艇速的關(guān)系等方面作出簡化且合理的假定，才能運(yùn)用合適的物理定律建立需要的模型。  三、模型假設(shè) 1.各種艇的幾何形狀相同，艇的尺寸, ，為常數(shù)；艇重與槳手?jǐn)?shù)成正比。這是艇的靜態(tài)特性。 2. 艇速是常數(shù)，前進(jìn)時受的阻力與成正比(是艇浸沒部分面積)。這是艇的動態(tài)特性。 3.所有槳手的體重都相同，記作，在比賽中每個槳手的劃槳功率保持不變，且與成正比。這是槳手的特征。 假設(shè)的合理性說明： 假設(shè)1是根據(jù)所給數(shù)據(jù)作出的必要且合理的

5、簡化。   根據(jù)物理學(xué)的知識，運(yùn)動速度中等大小的物體所受阻力符合假設(shè)2中與成正比的情況。   假設(shè)3中，, 為常數(shù)屬于必要的簡化，而與成正比可解釋為：與肌肉體積、肺的體積成正比，對于身材勻稱的運(yùn)動員，肌肉、肺的體積與體重成正比。四、模型建立有名槳手的劃艇的總功率與阻力和速度的乘積成正比，即                    

6、         （1）由假設(shè)2,3，  代入（1）式可得                                      

7、60;           （2）由假設(shè)1，各種艇幾何形狀相同，若艇浸沒面積與艇的某特征尺寸的平方成正比，則艇排水量體積必與的立方成正比,于是有               （3）  又根據(jù)艇重U與槳手?jǐn)?shù)目成正比，所以艇和槳手的總重量也與成正比，即 （4）而由阿基米德定律，艇排水體積A與總重量成正比，即   

8、                     （5） （3），（4），（5）式給出                           

9、;                           （6）將（6）式代入（2）式，當(dāng)是常數(shù)時得到 （7）因?yàn)楸荣惓煽?時間)與成反比，所以                   

10、                                （8） （8）式就是根據(jù)模型假設(shè)和幾條物理規(guī)律得到的各種艇的比賽成績與槳手?jǐn)?shù)之間的關(guān)系。為了用表1中各種艇的平均成績檢驗(yàn)（8）式，設(shè)與的關(guān)系為 （9）其中，為待定常數(shù)。由（9）式 （10）求、的值。 把它作為一次項(xiàng)多項(xiàng)式用polyfit函數(shù)進(jìn)行運(yùn)算五、模型求解n=1,2,4,8; t=7.17,6.77,6.13,5.73; t1=7.21,6.88,6.32,5.84; p=polyfit(log(n),log(t),1);p1=polyfit(log(n),log(t1),1); a=exp(p(2) b=p(1) a1=exp(p1(2) b1=p1(1) t1=a*n.b; plot(n,t,'+',n,t1,'-')解得: a = 7.2146b = -0.1114a1 = 7