二階非齊次線性微分方程的解法研究

1、引言 數(shù)學(xué)分析中所研究的函數(shù)，就是指自變量與因變量之間的一種關(guān)系。但在實際問題中，往往很難找到自變量與因變量之間的直接聯(lián)系（即函數(shù)關(guān)系），反而比較容易從其變化過程中求出自變量，因變量及它們的導(dǎo)數(shù)或微分的關(guān)系式。這種聯(lián)系著自變量、未知函數(shù)及它們的導(dǎo)數(shù)或微分的關(guān)系式，稱之為微分方程。 微分方程特別是線性微分方程在實際問題中有著廣泛的應(yīng)用。本文除簡潔介紹n階線性微分方程的主要基本理論外，著重對二階常系數(shù)線性微分方程的解法進行研究。1 線性微分方程的基本理論與初等解法1.1 基本理論 （1.1） （1.2）方程（1.1）稱為n階非齊次線性微分方程，方程（1.2）稱為n階齊次線性微分方程。下面給出方程（

2、1.1）和（1.2）的解的性質(zhì)和結(jié)構(gòu)。定理1（齊線性方程解的疊加原理） 如果是方程（1.2）的n個解，則它們的線性組合也是方程（1.2）的解。其中是任意的常數(shù)。定理2（1.2）的通解結(jié)構(gòu)定理） 如果是方程（1.2）的n個線性無關(guān)的解，則方程（1.2）的通解可表示為： （1.3）其中是任意的常數(shù)，且（1.3）包括了方程（1.2）的所有解。定理3（非齊線性方程解的疊加原理）如果是方程的解，而是方程的解，則也是方程的解。定理4（1.1）的通解結(jié)構(gòu)定理） 如果是方程（1.2）的基本解組，而是方程（1.1）的某一解，則方程（1.1）的通解可表示為： （1.4）其中是任意的常數(shù)，且（1.4）包括了方程（1

3、.1）的所有解。1.2 初等解法假設(shè)方程（1.1）和（1.2）中的所有系數(shù)都是常數(shù)，即 （1.5） （1.6）方程（1.5）稱為n階常系數(shù)非齊次線性方程，方程（1.6）稱為n階常系數(shù)齊次線性方程。1.2.1 齊線性方程的初等解法 常系數(shù)齊線性方程對于常系數(shù)齊線性方程（1.6）的求解，關(guān)鍵在于找出它的基本解組，即n個線性無關(guān)解。參照一階常系數(shù)齊線性方程的求解，對于方程（1.6）我們也試求其形如x=的解，其中為待定常數(shù)，將其代入方程（1.6）得：由于對于t，都有，則： （1.7）式（1.7）稱為方程（1.6）的特征方程。而方程（1.6）的解的形式將由式（1.7）的特征根決定。這就是所謂的歐拉待定指

4、數(shù)函數(shù)法。例1. 求解方程解：特征方程 特征根 故所求通解為，其中為任意常數(shù)例2. 求解方程解：特征方程 特征根 （二重根）故所求通解為, 其中為任意常數(shù) 歐拉方程所謂歐拉方程就是指如下特殊的變系數(shù)方程： （1.8）經(jīng)變換，則： （1.9）方程（1.9）有形如y=的解，則方程（1.8）有形如的解，將代入（1.8），得特征方程： （1.10）至此，對于方程（1.8）的求解方法可參照方程（1.6）的求解1.2.2 非齊線性方程的初等解法 常數(shù)變易法 在求解一階非齊線性方程的通解時，我們使用了常數(shù)變易法，這一方法同樣適用于求解非齊線性方程（1.1）。其具體方法與步驟如下：1）寫出方程（1.2）的通解

5、：2）常數(shù)變易，即令 （1.11）3）把（1.11）及其一階到n階導(dǎo)數(shù)（在附加了n-1個條件 ）代入方程（1.1）,可得個確定的方程組（A）：（A）解方程組（A）得,4）逐個積分，得5）寫出方程（1.1）的通解： =, 為任意常數(shù)例3. 求方程于域的通解解：對應(yīng)齊線性方程 解之得 ，A，B為任意常數(shù)易知基本解組為 1，原方程可改寫為 (*)則運用常數(shù)變易法，令代入上式(*)得 解得 故原方程的通解為 為任意常數(shù) 比較系數(shù)法現(xiàn)在討論常系數(shù)非齊線性方程（1.5） （1.5）的求特解問題事實上，當方程（1.5）的非齊次項具有某些特殊形狀時，可采用一種簡便有效的求特解方法比較系數(shù)法。類型設(shè)，其中及為實

6、常數(shù)，那么方程（1.5）有特解：，其中k為特征根的重數(shù)，而為待定常數(shù)，可通過比較系數(shù)法來確定。類型設(shè)，其中為常數(shù)，為帶實系數(shù)的m次（或不超過m次）多項式，則方程（1.5）有特解：， 其中k為特征根的重數(shù),而為待定的帶實系數(shù)的m次多項式，可通過比較系數(shù)法來確定。例4. 求的通解解：特征方程 特征根 則對應(yīng)齊線性方程通解為是特征根，取k=1 原方程有特解，代入原方程，得 特解為 故原方程的通解為, 為任意常數(shù)例5. 求的通解解：特征方程 特征根 則對應(yīng)齊線性方程通解為 不是特征根，故取k=0 原方程有特解，代入原方程，得 則 解得 故特解為 故原方程的通解為 其中為任意常數(shù)至此，關(guān)于方程（1.5）

7、的求解大體可分為兩大步驟： 1）先求出對應(yīng)齊線性方程的基本解組；2）根據(jù)的具體情況，運用比較系數(shù)法，求出特解，隨后組合便得方程（1.5）的通解。2 二階常系數(shù)非齊線性微分方程的解法研究 線性微分方程的理論研究已比較完善，應(yīng)用范圍也很廣泛，特別是二階常系數(shù)線性微分方程在力學(xué)、電工學(xué)等方面應(yīng)用最廣泛。根據(jù)前面的知識，我們知道對于二階常系數(shù)非齊線性方程的求解，可分為兩大步驟：一是求出對應(yīng)二階常系數(shù)齊線性方程的通解；二是求解出二階常系數(shù)非齊線性方程的一個特解，隨后組合便得非齊線性方程的通解。二階常系數(shù)非齊線性方程 （2.1）二階常系數(shù)齊線性方程 （2.2） 2.1 特解的解法研究求解齊線性方程（2.2

8、）的方法已經(jīng)趨于完善，因此求得方程（2.1）的一個特解便成為求解方程（2.1）的關(guān)鍵。下面介紹幾種求特解的方法。2.1.1 升階法對于方程 （2.1） 當為多項式時，設(shè)，此時方程（2.1）兩邊同時對x求導(dǎo)n次，得顯然，方程（2.1）的解存在，且滿足上述方程。最后一個方程的一個明顯解（不妨設(shè)時，情況類似）是： .此時，由通過倒數(shù)第二個方程可得 ，依次往上推，一直推到（2.1），即可得方程（2.1）的一個特解。上面這種方法稱為升階法。此種方法比一般教科書所介紹的比較系數(shù)法更為簡便。下面舉幾個例子來探討比較一下。例1. 求方程 （1）的一個特解解：方程（1）兩邊同時對x求導(dǎo)，得 （2）方程（2）兩邊

9、同時對x求導(dǎo)，得令將其代入（2），得，再將其代入（1），得 因此方程（1）的一個特解為例2. 求方程 （3）的一個特解 解：方程（3）兩邊同時對x求導(dǎo)，得 （4）方程（4）兩邊同時對x求導(dǎo)，得令，將其代入（4）得 再將其代入（3），得 得，解得 故方程（3）的一個特解為當時，令，則代入方程（3），經(jīng)整理得 這樣，類型就可轉(zhuǎn)變?yōu)轭愋?。從這里可以看出，升階法不需要討論是否為特征根的問題。因此，求解問題的過程得以簡化。例3. 求方程 （5）的一個特解解：令則方程（5）可化為 （6）利用方法，方程（6）兩邊同時對x求導(dǎo)，得 （7） 令 再將代入（6），得 解之得方程（6）的一個特解為 因此方程（5）的

10、一個特解為 當為正弦函數(shù)或余弦函數(shù)時，我們首先將其轉(zhuǎn)化為復(fù)指數(shù)的形式，然后按的方法進行求解。例4. 求方程 （8）的一個特解解：以方程（8）的非齊次項為虛部作復(fù)指數(shù)，作方程 （9）令，再利用方法，可求得 因此方程（9）的特解為 故方程（8）的一個特解為當為多項式、指數(shù)函數(shù)、正弦函數(shù)或余弦函數(shù)某種組合時，這時可根據(jù)迭加原理進行求解。例5 求方程 （10）的一個特解解：方程（10）的右端由兩項組成，故根據(jù)迭加原理，可先分別求下列兩個方程 （11） （12） 的特解，而這兩個特解之和即為方程（10）的一個特解由方法，可求得（11）的特解為由方法，可求得（12）的特解為因此方程（10）的一個特解為 公

11、式法對于方程（2.1），當為某些特殊形式時，可采用比較系數(shù)法求特解，具有一定局限性。下面介紹當特征根且無論為何種形式的情況下的特解公式。定理5 設(shè)二階常系數(shù)非齊線性方程 （2.1）且該微分方程的特征根（實根或虛根）為，構(gòu)造兩個一階線性微分方程： 且設(shè)它們的特解分別為，若，則方程（2.1）有特解 證明：因為的根 故 顯然 且 而的左端= + 設(shè)則 這樣的左端故為方程（2.1）的一個特解例1. 求方程 的一個特解解：特征方程 特征根 構(gòu)造微分方程 ， 由一階微分方程通解公式，可得上兩方程的特解分別為 ， 故原方程的特解為例2. 求方程的一個特解 解：特征方程 特征根 ， 構(gòu)造微分方程 由一階微分方

12、程通解公式，可得上兩方程的特解分別為 故原方程的特解為 積分法對于方程 （2.1） （2.2） 定理6 設(shè) 是方程（2.2）的一個非零解，上連續(xù)，則 就是方程（2.1）在區(qū)間0，x上的一個特解。證明： 利用參變量積分的求導(dǎo)公式，得 故是方程（2.1）的一個特解，證畢 符合的一個齊次方程非零解可以和特征值被解出而同時得到。設(shè)是兩個特征值，可以這樣選：例1. 求的一個特解解：特征方程 特征根 故取 故特解為 例2. 求的一個特解解：特征方程 特征根 故取 故特解為 2.2 通解的解法研究 從上面所學(xué)的知識，我們知道對于方程（2.1）的求解，一般情況下要分兩步來完成，其過程繁瑣，計算量大，易出錯?，F(xiàn)

13、在我們嘗試兩步并一步走，直接探尋方程（2.1）的通解公式。 公式法 設(shè)方程（2.1）對應(yīng)的齊次方程的特征根為，連續(xù)，由韋達定理，從而可化為：，即，則解方程組得故方程（2.1）的通解為由此可得：定理7 若對應(yīng)的齊次方程的特征根為（包括共軛復(fù)根），則方程的通解可表示為： （定理證明參考文獻11）推論 若相應(yīng)的特征方程有兩個相同的實根，則方程的通解為.例1. 求解方程解：特征方程 特征根 由定理7得，所求通解為 例2. 求解方程解：特征方程 特征根 作輔助方程 故所求輔助方程的通解為： 故所求通解利用定理7，在某些特殊情況（當積分為可積時），可求得通解，但須進行二次積分，有一定局限性。我們不妨利用該

14、通解公式，令積分常數(shù)均為0，即得原方程的一個特解，然后根據(jù)非齊次方程的通解結(jié)構(gòu)求出通解。定理8 若對應(yīng)齊次方程特征根（1）當時，原方程特解為特別地，當且為共軛復(fù)根時，特解（2）當時，原方程特解為 （定理證明參考文獻11，12）例3. 求的通解解：特征方程 特征根 由定理8，原方程有特解：， 取故所求通解為： ，為任意常數(shù)例4. 求的通解解：特征方程 特征根 定理8，由原方程有特解： 故所求通解為例5. 求的通解解：特征方程 特征根 定理8，由原方程有特解： = = 故所求通解為 常數(shù)變易法通過對常微分方程的學(xué)習(xí)，我們知道常數(shù)變易法廣泛應(yīng)用于非齊次線性微分方程的求解。下面將常數(shù)變易法應(yīng)用于二階常

15、系數(shù)線性微分方程的求解，同樣適用有效，簡捷。對于方程 （2.1） （2.2）對方程（2.2）的特征方程 （2.3）有實根和復(fù)根的情形分別加以考慮：若r為方程（2.3）的一實根，則是（2.2）的一解，由常數(shù)變易法，可設(shè)（2.1）的解為，則， （2.4）將（2.4）和代入（2.1），得，這是關(guān)于的一階線性方程，其通解為，從而方程（2.1）的通解公式為 （2.5）若為（2.3）的一復(fù)根，則是方程（2.2）的一解，由常數(shù)變易法，可設(shè)（2.1）的解為，與情形的推導(dǎo)類似，可得方程（2.1）的通解公式為： （2.6）例1. 求的通解解：特征方程 有解 ，且由公式（2.5），得通解為： 例2. 求的通解解：特

16、征方程 有解 ，且由公式（2.6），得通解為： =結(jié)束語本文對教科書上有關(guān)線性微分方程的求解方法進行了一些總結(jié)，并在此基礎(chǔ)上，嘗試運用幾種新的方法去探尋方程的特解，同時介紹了求方程通解的新方法。文中所介紹的這些方法為我們求解微分方程提供了新的思路和途徑，具有一定參考意義。參考文獻1 王高雄等. 常微分方程M. 北京：高等教育出版社,1983.2 林武忠等. 常微分方程M. 北京：科學(xué)出版社. 2003.3 梅宏. 常系數(shù)非齊次線性微分方程特解的一種方法升階法J. 高等數(shù)研究.2003.6（2）：22-23.4 朱靈. 用升階法求常系數(shù)非齊次線性微分方程的特解J. 高等數(shù)學(xué)研究.2002.5 黃

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