圓的有關(guān)性質(zhì)-習題及答案

1、圓的有關(guān)性質(zhì)解答題1. 如圖，射線PG平分EPF，O為射線PG上一點，以O(shè)為圓心，10為半徑作O，分別與EPF兩邊相交于A、B和C、D，連結(jié)OA，此時有OAPE.（1）求證：APAO；（2）若弦AB12，求tanOPB的值；（3）若以圖中已標明的點（即P、A、B、C、D、O）構(gòu)造四邊形，則能構(gòu)成菱形的四個點為 ，能構(gòu)成等腰梯形的四個點為 或 或 .2.、如圖，在平面直角坐標系中，點A（10，0），以O(shè)A為直徑在第一象限內(nèi)作半圓C，點B是該半圓周上的一動點，連結(jié)OB、AB，并延長AB至點D，使DBAB，過點D作x軸垂線，分別交x軸、直線OB于點E、F，點E為垂足，連結(jié)CF.（1）當AOB30&#

2、176;時，求弧AB的長；（2）當DE8時，求線段EF的長；（3）在點B運動過程中，是否存在以點E、C、F為頂點的三角形與AOB相似，若存在，請求出此時點E的坐標；若不存在，請說明理由.3. 已知：AB是O的直徑，弦CDAB于點G，E是直線AB上一動點（不與點A、B、G重合），直線DE交O于點F，直線CF交直線AB于點P.設(shè)O的半徑為r.（1）如圖1，當點E在直徑AB上時，試證明：OE·OPr2（2）當點E在AB（或BA）的延長線上時，以如圖2點E的位置為例，請你畫出符合題意的圖形，標注上字母，（1）中的結(jié)論是否成立？請說明理由.ABCDE.OG（圖2）ABCDEFP.OG（圖1）4

3、. 已知 ABC，分別以AC和BC為直徑作半圓、P是AB的中點.（1）如圖8，若ABC是等腰三角形，且AC=BC，在上分別取點E、F，使則有結(jié)論 四邊形是菱形.請給出結(jié)論的證明；（2）如圖9，若（1）中ABC是任意三角形，其它條件不變，則（1）中的兩個結(jié)論還成立嗎？若成立，請給出證明；（3）如圖10，若PC是的切線，求證：BD5. 如圖，已知AB是O的弦，OB=2，B=30°，C是弦AB上任意一點（不與點A、B重合），連接CO并延長CO交O于點D，連接AD.（1）弦長AB=_（結(jié)果保留根號）；（2）當D=20°時，求BOD的度數(shù)；（3）當AC的長度為多少時，以點A、C、D為

4、頂點的三角形與以B、C、O為頂點的三角形相似？請寫出解答過程.6、已知四邊形ABCD是邊長為4的正方形，以AB為直徑在正方形內(nèi)作半圓，P是半圓上的動點（不與點A、B重合），連接PA、PB、PC、PD.（1）如圖，當PA的長度等于_時，PAB=60°；當PA的長度等于_時，PAD是等腰三角形；（2）如圖，以AB邊所在的直線為x軸，AD邊所在的直線為y軸，建立如圖所示的直角坐標系（點A即為原點O），把PAD、PAB、PBC的面積分別記為S1、S2、S3.設(shè)P點坐標為（a，b），試求2S1S3-S22的最大值，并求出此時a、b的值.7、如圖，以點O為圓心的兩個同心圓中，矩形ABCD的邊BC

5、為大圓的弦，邊AD與小圓相切于點M，OM的延長線與BC相交于點N（1）點N是線段BC的中點嗎？為什么？（2）若圓環(huán)的寬度（兩圓半徑之差）為6cm，AB=5cm，BC=10cm，求小圓的半徑 8、已知：如圖，以矩形ABCD的對角線AC的中點O為圓心，OA長為半徑作0，O經(jīng)過B、D兩點，過點B作BKAC，垂足為K過D作DHKB，DH分別與AC、AB、O及CB的延長線相交于點E、F、G、H(1)求證：AE=CK； (2)如果AB=，AD= (為大于零的常數(shù))，求BK的長；(3)若F是EG的中點，且DE=6，求O的半徑和GH的長 9、已知：在ABC中，以AC邊為直徑的O交BC于點D，在劣弧上到一點E使

6、EBC=DEC，延長BE依次交AC于G，交O于H（1）求證：ACBH；（2）若ABC=45°，O的直徑等于10，BD=8，求CE的長 （第9題圖）10、如圖，點C、D分別在扇形AOB的半徑OA、OB的延長線上，且OA3，AC2，CD平行于AB，并與弧AB相交于點M、N（1）求線段OD的長；（2）若，求弦MN的長  第11題圖BAFEDCM 11、在圓內(nèi)接四邊形ABCD中，CD為BCA外角的平分線，F(xiàn)為弧AD上一點，BC=AF，延長DF與BA的延長線交于E 求證ABD為等腰三角形 求證ACAF=DFFE 12、如圖，P與軸相切于坐標原點O(0，0)，與軸相交于點A(5，0)，

7、過點A的直線AB與軸的正半軸交于點B，與P交于點C(1)已知AC3，求點的坐標； (4分) (2)若AC, D是O的中點問：點O、P、C、D四點是否在同一圓上？請說明理由如果這四點在同一圓上，記這個圓的圓心為，函數(shù)的圖象經(jīng)過點，求的值(用含的代數(shù)式表示) (4分) 備用圖 13、已知：如圖，DABC內(nèi)接于O，AB為直徑，CBA的平分線交AC于點F交O于點D，DEAB于點E，且交AC于點P，連結(jié)AD （1）求證：DAC DBA； （2）求證：是線段AF的中點；（3）若O 的半徑為5，AF ，求tanABF的值 ·ABCDEOFP 14、如圖，在 RtABC中,ACB90°，D

8、是AB 邊上的一點，以BD為直徑的 0與邊 AC 相切于點E，連結(jié)DE并延長，與BC的延長線交于點 F . ( 1 ）求證： BD = BF ; ( 2 ）若 BC = 12 , AD = 8 ，求 BF 的長 15、如圖，等邊ABC內(nèi)接于O，P是上任一點（點P不與點A、B重合）.連AP、BP，過點C作CMBP交PA的延長線于點M.（1）填空：APC 度，BPC 度；（2分）（2）求證：ACMBCP；（4分）（3）若PA=1，PB=2，求梯形PBCM的面積. （4分） 16、如圖D是ABC 的邊BC 的中點，過AD 延長線上的點E作AD的垂線EF，E為垂足，EF與AB 的延長線相交于點F，點O

9、在AD 上，AO = CO，BC/EF. (1)證明:AB=AC； (2)證明:點O是ABC 的外接圓的圓心；(3)當AB=5,BC=6時，連接BE若ABE=90°，求AE的長. （第16題圖） 17、如圖，在RtABC中，ACB=90°，AC=6，BC=8，P為BC的中點動點Q從點P出發(fā)，沿射線PC方向以2/s的速度運動，以P為圓心，PQ長為半徑作圓設(shè)點Q運動的時間為t s當t=1.2時，判斷直線AB與P的位置關(guān)系，并說明理由；已知O為ABC的外接圓，若P與O相切，求t的值 ABCPQO(第17題) 18、如圖，在ABC中，C= 90°，以AB上一點O為圓心，O

10、A長為半徑的圓與BC相切于點D，分別交AC、AB于點E、F （1）若AC=6，AB= 10，求O的半徑；（2）連接OE、ED、DF、EF若四邊形BDEF是平行四邊形，試判斷四邊形OFDE的形狀，并說明理由19、（宿遷10分）如圖，在平面直角坐標系中，O為坐標原點，P是反比例函數(shù)y（x0）圖象上的任意一（第19題）點，以P為圓心，PO為半徑的圓與x、y軸分別交于點A、B （1）判斷P是否在線段AB上，并說明理由；（2）求AOB的面積； （3）Q是反比例函數(shù)y（x0）圖象上異于點P的另一點，請以Q為圓心，QO半徑畫圓與x、y軸分別交于點M、N，連接AN、MB求證：ANMB 圓的有關(guān)性質(zhì)解答題答案1

11、、證明：（1）PG平分EPF，DPO=BPO ， OA/PE，DPO=POA ， BPO=POA，PA=OA；2分解：（2）過點O作OHAB于點H，則AH=HB=AB，1分 tanOPB=，PH=2OH， 1分設(shè)OH=，則PH=2，由（1）可知PA=OA= 10 ，AH=PHPA=210， ， 1分解得（不合題意，舍去），AH=6， AB=2AH=12； 1分（3）P、A、O、C；A、B、D、C 或 P、A、O、D 或P、C、O、B.2分(寫對1個、2個、3個得1分，寫對4個得2分)HPABCODEFG2、解：（1）連結(jié)BC,A（10，0）, OA=10 ,CA=5,AOB=30°A

12、CB=2AOB=60°,弧AB的長=; 4分OBDECFxyA（2）連結(jié)OD,OA是C直徑, OBA=90°,又AB=BD,OB是AD的垂直平分線,OD=OA=10,在RtODE中，OE=,AE=AOOE=10-6=4,由 AOB=ADE=90°-OAB，OEF=DEA，得OEFDEA,即，EF=3；4分（3）設(shè)OE=x，當交點E在O，C之間時，由以點E、C、F為頂點的三角形與AOB相似，有ECF=BOA或ECF=OAB，當ECF=BOA時，此時OCF為等腰三角形，點E為OC中點，即OE=，E1（，0）；當ECF=OAB時，有CE=5-x, AE=10-x，CFA

13、B,有CF=,ECFEAD,即,解得：,E2（，0）;OBDFCEAxyOBDFCEAxy當交點E在點C的右側(cè)時，ECFBOA，要使ECF與BAO相似，只能使ECF=BAO，連結(jié)BE，BE為RtADE斜邊上的中線，BE=AB=BD,BEA=BAO,BEA=ECF,CFBE, ,ECF=BAO, FEC=DEA=Rt， CEFAED, ,而AD=2BE, ,即, 解得, 0（舍去），E3（，0）;OBDFCEAxy當交點E在點O的左側(cè)時，BOA=EOFECF . 要使ECF與BAO相似，只能使ECF=BAO連結(jié)BE，得BE=AB，BEA=BAO ECF=BEA,CFBE,又ECF=BAO, FE

14、C=DEA=Rt， CEFAED, ，而AD=2BE, , 解得, 0（舍去）,點E在x軸負半軸上, E4（，0）,綜上所述：存在以點E、C、F為頂點的三角形與AOB相似,此時點E坐標為：（，0）、（，0）、（，0）、（，0）4分OBDFCEAxy3、【答案】（1）證明：連接FO并延長交O于Q，連接DQ.FQ是O直徑，F(xiàn)DQ90°.QFDQ90°. CDAB，PC90°.QC，QFDP.FOEPOF，F(xiàn)OEPOF. .OE·OPOF2r2.（2）解：（1）中的結(jié)論成立.理由：如圖2，依題意畫出圖形，連接FO并延長交O于M，連接CM.FM是O直徑，F(xiàn)CM9

15、0°，MCFM90°.CDAB，ED90°.MD，CFME. POFFOE，POFFOE.，OE·OPOF2r2.4、【答案】（1）證明：BC是O2直徑，則O2是BC的中點又P是AB的中點. P O2是ABC的中位線 P O2 =AC，又AC是O1直徑 P O2= O1C=AC同理P O1= O2C =BC AC =BC P O2= O1C=P O1= O2C四邊形是菱形 （2）結(jié)論成立，結(jié)論不成立證明：在（1）中已證PO2=AC，又O1E=AC PO2=O1E 同理可得PO1=O2FPO2是ABC的中位線PO2ACPO2B=ACB同理P O1A=ACB

16、PO2B=P O1AAO1E =BO2FP O1A+AO1E =PO2B+BO2F即P O1E =F O2 P （3）證明：延長AC交O2于點D，連接BD.BC是O2的直徑，則D=90°，又PC是的切線，則ACP=90°，ACP=D 又PAC=BAD，APCBAD又P是AB的中點AC=CD在RtBCD中，在RtABD中，5、【答案】解：（1）2.（2）解法一：BOD是BOC的外角，BCO是ACD的外角，BOD=B+BCO，BCO=A+D.BOD=B+A+D.又BOD=2A，B=30°，D=20°，2A=B+A+D=A+50°，A=50°

17、;，BOD=2A=100°.解法二：如圖，連接OA.OA=OB，OA=OD，BAO=B，DAO=D，DAB=BAO+DAO=B+D.又B=30°，D=20°，DAB=50°，BOD=2DAB=100°.（3）BCO=A+D，BCOA，BCOD.要使DAC與BOC相似，只能DCA=BCO=90°.此時，BOC=60°，BOD=120°，DAC=60°.DACBOC.BCO=90°，即OCAB，AC=AB=.6、【答案】解：（1）2；2或.（2）如圖，過點P分別作PEAB，PFAD，垂足分別為E、F

18、，延長FP交BC于點G，則PGBC.P點坐標為（a，b），PE=b，PF=a，PG=4-a.，在PAD、PAB及PBC中，S1=2a，S2=2b，S3=8-2a，AB是直徑，APB=90°. PE2=AE·BE，即b2=a（4-a）.2S1S3-S22=4a（8-2a）-4b2=-4a2+16a=-4（a-2）2+16. 當a=2時，b=2，2S1S3-S22有最大值16.7、【答案】解：(1)N是BC的中點。原因：AD與小圓相切于點M，OMAD，又ADBC，ONBC，在大圓O中，由垂徑定理可得N是BC的中點(2)連接OB，設(shè)小圓半徑為r，則有ON=r+5,OB=r+6,B

19、N=5cm,在RtOBN中，由勾股定理得OB2=BN2+ON2 ，即：（r+6）2=(r+5)2+52 ，解得r=7cm.小圓的半徑為7cm.8、【答案】解：（1）DHKB，BKAC，DEAC，四邊形ABCD是矩形，ADBC，AD=BC，EAD=KCB，RtADERtCBK，AE=CK.（2）在RtABC中，AB=，AD=BC=，=，SABC=AB×BC=AC×BK，BK=.（3）連線OG，ACDG，AC是O的直接，DE=6，DE=EG=6，又EF=FG，EF=3；RtADERtCBK，DE=BK=6，AE=CK，在ABK中，EF=3，BK=6，EFBK，EF是ABK的中位

20、線，AF=BF，AE=EK=KC；在RtOEG中，設(shè)OG=，則OE=，EG=6，.在RtADFRtBHF中，AF=BF，AD=BC，BFCD，HF=DF，F(xiàn)G=EF，HF-FG=DF-EF，HG=DE=6.9、【答案】證明：連接AD DAC=DEC EBC=DECDAC=EBC又AC是O的直徑ADC=90°DCA+DAC=90°EBC+DCA=90°BGC=180°-(EBC+DCA)=180°-90°=90° ACBHBDA=180°-ADC=90°ABC=45°BAD=45°BD=

21、ADBD=8AD=8又ADC=90° AC=10（第23題解答圖）由勾股定理，得.BC=BD+DC=8+6=14又BGC=ADC=90° BCG=ACD BCGACD 連接AE，AC是直徑 AEC=90°又EGAC，CEGCAE .10、【答案】（1）CDAB，OAB=C，OBA=DOA=OB，OAB=OBAC=DOC=ODOA=3，AC=2，OC=5OD=5（2）過點O作OECD，E為垂足，連接OM在RtOCE中，OC=5，設(shè)OE=x，則CE=2x由勾股定理得，解得x1=，x2=（舍去）OE=在RtOME中，OM=OA=3，ME=2。MN=2ME=411、【答案

22、】由圓的性質(zhì)知MCD=DAB、DCA=DBA，而MCD=DCA，所以DBA=DAB，故ABD為等腰三角形DBA=DAB 弧AD=弧BD又BC=AF 弧BC=弧AF、CDB=FDA 弧CD=弧DF，CD=DF再由“圓的內(nèi)接四邊形外角等于它的內(nèi)對角”知AFE=DBA=DCA，F(xiàn)AE=BDECDA=CDBBDA=FDABDA=BDE=FAE 由得DCAFAEAC：FE=CD：AF ，ACAF= CD FE而CD=DF， ACAF=DFFE12、【答案】解：(1)解法一：連接OC，OA是P的直徑，OCAB，在RtAOC中，在 RtAOC和RtABO中，CAOOABRtAOCRtABO，· ，

23、即， ， 解法二：連接OC，因為OA是P的直徑， ACO90°在RtAOC中，AO5，AC3，OC4，過C作CEOA于點E，則：，即：， ，設(shè)經(jīng)過A、C兩點的直線解析式為：把點A(5，0)、代入上式得： ， 解得：， ， 點 (2)點O、P、C、D四點在同一個圓上，理由如下：連接CP、CD、DP，OCAB，D為OB上的中點， ，34，又OPCP，12，132490°，PC CD，又DOOP，RtPDO和RtPDC是同以PD為斜邊的直角三角形，PD上的中點到點O、P、C、D四點的距離相等，點O、P、C、D在以DP為直徑的同一個圓上；由上可知，經(jīng)過點O、P、C、D的圓心是DP的

24、中點，圓心，由(1)知：RtAOCRtABO，求得：AB，在RtABO中，OD，點在函數(shù)的圖象上， 13、【答案】(1）BD平分CBA，CBDDBA DAC與CBD都是弧CD所對的圓周角，DACCBD DAC DBA (2）AB為直徑，ADB90° 又DEAB于點E，DEB90° ADE +EDBABD +EDB90°ADEABDDAP PDPA 又DFA +DACADE +PD F90°且ADEDACPDFPFD PDPF PA PF 即P是線段AF的中點 (3）DAF DBA，ADBFDA90°FDA ADB 在RtABD 中，tanABD

25、，即tanABF14、【答案】連結(jié)OE，則OEAC,所以AEO=90°，AED=CEF, ACB90°CEF+F90°AED +OED90°OED=F，又因為OD=OE，所以O(shè)ED=ODE，ODE=F ，BD=BFRtABC和RtAOE中，A是公共角 所以RtABC RtAOE，設(shè)0的半徑是r，則有 求出r=8,所以BF=BD=1615、解：（1）60,60；（2）CMBP，BPM+M=180°，PCM=BPC=60.M=180°BPM=180（APC+BPC）=180°120°=60°. M=BPC=6

26、0°.（3）ACMBCP，CM=CP，AM=BP. 又M=60°，PCM為等邊三角形.CM=CP=PM=1+2=3.作PHCM于H. 在RtPMH中，MPH=30°. PH=.S梯形PBCM=.16、【答案】解:(1)AEEF， EFBC，ADBC(1分)在ABD和ACD中，BDCD，ADBADC，ADAD，ABDACD(或者：又BDCD，AE是BC的中垂線) (2分)ABAC(3分)(2)連BO，AD是BC的中垂線，BOCO(或者：證全等也可得到BOCO)又AOCO，AOBOCO(4分)點O是ABC外接圓的圓心 (5分)（3）解法1：ABEADB=90°，ABD+BAD=AEB+BAE=90°，ABD=AEB 又BAD=EAB，ABDAEB（6分）在RtABD中，AB=5，BD=½BC=3，AD=4（7分）AE= (8分)解法2：AOBO， ABOBAOABE90°，ABOOBEBAOAEB90°OBEOEB