數(shù)學(xué)一試題分析詳解和評注

1、2007年研究生入學(xué)考試數(shù)學(xué)一試題一、選擇題：110小題，每小題4分，共40分. 在每小題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求，把所選項前的字母填在題后的括號內(nèi).（1）當(dāng)時，與等價的無窮小量是 （A） （B） （C） （D） 【分析】本題為等價無窮小的判定，利用定義或等價無窮小代換即可.【詳解】當(dāng)時， 故用排除法可得正確選項為（B）. 事實上， 或.所以應(yīng)選（B）【評注】本題為關(guān)于無窮小量比較的基本題型，利用等價無窮小代換可簡化計算. 類似例題見數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)指南（理工類）第一篇【例1.54】 【例1.55】.（2）曲線的漸近線的條數(shù)為（A）0. （B）1. （C）2. （D）3. 【分析】利用曲

2、線的漸近線的求解公式求出水平漸近線，垂直漸近線和斜漸近線，然后判斷.【詳解】， 所以 是曲線的水平漸近線； ，所以是曲線的垂直漸近線； ， ，所以是曲線的斜漸近線. 故選（D）.【評注】本題為基本題型，應(yīng)熟練掌握曲線的水平漸近線，垂直漸近線和斜漸近線的求法.注意當(dāng)曲線存在水平漸近線時，斜漸近線不存在. 本題要注意當(dāng)時的極限不同. 類似例題見文登強化班筆記高等數(shù)學(xué)第6講第4節(jié)【例12】，數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)指南（理工類）第一篇【例6.30】，【例6.31】.（3）如圖，連續(xù)函數(shù)在區(qū)間上的圖形分別是直徑為1的上、下半圓周，在區(qū)間的圖形分別是直徑為2的下、上半圓周，設(shè)，則下列結(jié)論正確的是： （A） (B) （C

3、） （D） 【分析】本題實質(zhì)上是求分段函數(shù)的定積分.【詳解】利用定積分的幾何意義，可得 ， . 所以 ，故選（C）.【評注】本題屬基本題型. 本題利用定積分的幾何意義比較簡便. 類似例題見文登強化班筆記高等數(shù)學(xué)第5講【例17】和【例18】，數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)指南（理工類）第一篇【例3.39】【例3.40】.（4）設(shè)函數(shù)在處連續(xù)，下列命題錯誤的是： （A）若存在，則 （B）若存在，則 . （C）若存在，則 （D）若存在，則. 【分析】本題考查可導(dǎo)的極限定義及連續(xù)與可導(dǎo)的關(guān)系. 由于題設(shè)條件含有抽象函數(shù)，本題最簡便的方法是用賦值法求解，即取符合題設(shè)條件的特殊函數(shù)去進行判斷，然后選擇正確選項.【詳解】取，則，

4、但在不可導(dǎo)，故選（D）. 事實上， 在(A),(B)兩項中，因為分母的極限為0，所以分子的極限也必須為0，則可推得.在（C）中，存在，則，所以(C)項正確，故選(D)【評注】對于題設(shè)條件含抽象函數(shù)或備選項為抽象函數(shù)形式結(jié)果以及數(shù)值型結(jié)果的選擇題，用賦值法求解往往能收到奇效. 完全類似例題見文登強化班筆記高等數(shù)學(xué)第2講【例2】，文登07考研模擬試題數(shù)學(xué)二第一套（2）.（5）設(shè)函數(shù)在上具有二階導(dǎo)數(shù)，且，令，則下列結(jié)論正確的是： (A) 若 ，則必收斂. (B) 若 ，則必發(fā)散 (C) 若 ，則必收斂. (D) 若 ，則必發(fā)散. 【分析】本題依據(jù)函數(shù)的性質(zhì)，判斷數(shù)列. 由于含有抽象函數(shù)，利用賦值法舉

5、反例更易得出結(jié)果.【詳解】選（D）. 取，而發(fā)散，則可排除（A）；取，而收斂，則可排除（B）；取，而發(fā)散，則可排除（C）； 故選（D）.事實上，若，則. 對任意，因為，所以， 對任意，. 故選（D）.【評注】對于含有抽象函數(shù)的問題，通過舉符合題設(shè)條件的函數(shù)的反例可簡化計算. 類似例題見文登強化班筆記高等數(shù)學(xué)第1講【例24】，數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)指南（理工類）第一篇【例1.22】.（6）設(shè)曲線（具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)），過第象限內(nèi)的點和第象限內(nèi)的點，為上從點到點的一段弧，則下列小于零的是 （A）. （B）（C）. （D）. 【分析】本題考查對弧長的曲線積分和對坐標(biāo)的曲線積分的計算.【詳解】M 、N點的坐標(biāo)分別為

6、，則由題設(shè)可知.因為，表示的橫坐標(biāo)； ； 的弧長>0； . 所以應(yīng)選（B）. 【評注】本題屬基本概念題型，注意求對坐標(biāo)的曲線積分時要考慮方向，對于曲線積分和曲面積分，應(yīng)盡量先將曲線，曲面方程代入被積表達式化簡，然后再計算. 其計算方法見數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)指南（理工類）第十一章第1節(jié)知識點精講中對弧長的曲線積分和對坐標(biāo)的曲線積分的相關(guān)性質(zhì)，類似例題見文登強化班筆記高等數(shù)學(xué)第12講【例5例7】，數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)指南（理工類）【例11.1】.（7）設(shè)向量組線性無關(guān)，則下列向量組線性相關(guān)的是(A) (B) (C) .(D) . 【分析】本題考查由線性無關(guān)的向量組構(gòu)造的另一向量組的線性相關(guān)性. 一般令，若，則線性相

7、關(guān)；若，則線性無關(guān). 但考慮到本題備選項的特征，可通過簡單的線性運算得到正確選項.【詳解】由可知應(yīng)選（A）.或者因為，而， 所以線性相關(guān)，故選（A）.【評注】本題也可用賦值法求解，如取，以此求出（A），（B），（C），（D）中的向量并分別組成一個矩陣，然后利用矩陣的秩或行列式是否為零可立即得到正確選項. 完全類似例題見文登強化班筆記線性代數(shù)第3講【例3】，數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)指南（理工類）線性代數(shù)【例3.3】.（8）設(shè)矩陣，則與 (A) 合同且相似 （B）合同，但不相似. (C) 不合同，但相似. (D) 既不合同也不相似 【分析】本題考查矩陣的合同關(guān)系與相似關(guān)系及其之間的聯(lián)系，只要求得的特征值，并考慮到

8、實對稱矩陣必可經(jīng)正交變換使之相似于對角陣，便可得到答案. 【詳解】 由可得， 所以的特征值為3,3,0；而的特征值為1,1,0. 所以與不相似，但是與的秩均為2，且正慣性指數(shù)都為2，所以與合同，故選（B）.【評注】若矩陣與相似，則與具有相同的行列式，相同的秩和相同的特征值. 所以通過計算與的特征值可立即排除（A）（C）. 完全類似例題見數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)指南（理工類）第二篇【例5.17】.（9）某人向同一目標(biāo)獨立重復(fù)射擊，每次射擊命中目標(biāo)的概率為，則此人第4次射擊恰好第2次擊中目標(biāo)的概率為 （A）. （B）. （C）. （D） 【分析】本題計算貝努里概型，即二項分布的概率. 關(guān)鍵要搞清所求事件中的成功次

9、數(shù).【詳解】p前三次僅有一次擊中目標(biāo)，第4次擊中目標(biāo) ， 故選（C）.【評注】本題屬基本題型. 完全類似例題見數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)指南（理工類）第三篇【例1.29】【例1.30】（10）設(shè)隨機變量服從二維正態(tài)分布，且與不相關(guān)，分別表示的概率密度，則在的條件下，的條件概率密度為 (A) . (B) . (C) . (D) . 【分析】本題求隨機變量的條件概率密度，利用與的獨立性和公式可求解.【詳解】因為服從二維正態(tài)分布，且與不相關(guān)，所以與獨立，所以.故，應(yīng)選（A）.【評注】若服從二維正態(tài)分布，則與不相關(guān)與與獨立是等價的. 類似例題和求法見文登強化班筆記概率論與數(shù)理統(tǒng)計第3講【例3】，數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)指南（理工類）第

10、三篇第二章知識點精講中的一（4），二（3）和【例2.38】二、填空題：1116小題，每小題4分，共24分. 把答案填在題中橫線上.（11） =_.【分析】本題為簡單定積分的計算，利用牛萊公式和湊微分法求解.【詳解】.【評注】本題為基礎(chǔ)題型. 完全類似例題見文登強化班筆記高等數(shù)學(xué)第5講【例14】，數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)指南（理工類）第一篇【例3.27】.（12） 設(shè)是二元可微函數(shù)，則 _.【分析】本題為二元復(fù)合函數(shù)求偏導(dǎo)，直接利用公式即可.【詳解】利用復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)公式，可直接得出 【評注】二元復(fù)合函數(shù)求偏導(dǎo)時，最好設(shè)出中間變量，注意計算的正確性. 完全類似例題見文登強化班筆記高等數(shù)學(xué)第9講【例8】, 【例9

11、】，數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)指南（理工類）第一篇【例8.16】,【例8.17】,【例8.18】.（13） 二階常系數(shù)非齊次微分方程的通解為_.【分析】本題求解二階常系數(shù)非齊次微分方程的通解，利用二階常系數(shù)非齊次微分方程解的結(jié)構(gòu)求解，即先求出對應(yīng)齊次方程的通解，然后求出非齊次微分方程的一個特解，則其通解為 .【詳解】對應(yīng)齊次方程的特征方程為 ， 則對應(yīng)齊次方程的通解為 . 設(shè)原方程的特解為 ，代入原方程可得 ， 所以原方程的特解為， 故原方程的通解為 ，其中為任意常數(shù).【評注】本題為基礎(chǔ)題型. 完全類似例題見文登強化班筆記高等數(shù)學(xué)第7講【例11】，數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)指南（理工類）第一篇【例5.13】.（14） 設(shè)曲面，則

12、 【分析】本題求解對面積的曲面積分，利用對稱性可簡化計算.【詳解】由積分域與被積函數(shù)的對稱性有 ， 所以 . 故.【評注】對面積的曲面積分，應(yīng)利用積分區(qū)域的對稱性簡化計算. 類似例題見文登強化班筆記高等數(shù)學(xué)第12講第4節(jié)【例1】和【例2】，數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)指南（理工類）第一篇【例11.18】.（15）設(shè)矩陣，則的秩為 . 【分析】先將求出，然后利用定義判斷其秩.【詳解】.【評注】本題為基礎(chǔ)題型. 矩陣相關(guān)運算公式見數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)指南（理工類）第二篇第二章第1節(jié)中的知識點精講.（16）在區(qū)間中隨機地取兩個數(shù)，則這兩個數(shù)之差的絕對值小于的概率為 .【分析】根據(jù)題意可得兩個隨機變量服從區(qū)間上的均勻分布，利用幾何概

13、型計算較為簡便.【詳解】利用幾何概型計算. 圖如下： A1/211· 1Oyx 所求概率.【評注】本題也可先寫出兩個隨機變量的概率密度，然后利用它們的獨立性求得所求概率. 完全類似例題見文登強化班筆記概率論與數(shù)理統(tǒng)計第3講【例11】，數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)指南（理工類）第三篇【例2.29】，【例2.47】.三、解答題：1724小題，共86分. 解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.（17） (本題滿分11分)求函數(shù)在區(qū)域上的最大值和最小值.【分析】本題求二元函數(shù)在閉區(qū)域的最值. 先求出函數(shù)在區(qū)域內(nèi)的駐點，然后比較駐點的函數(shù)值和邊界上的極值，則最大者為最大值，最小者為最小值.【詳解】（1）求函數(shù)的

14、駐點. 因為，所以， 所以函數(shù)在區(qū)域內(nèi)的駐點為，和. （2）求函數(shù)在邊界線上的極值. 作拉格朗日函數(shù)如下 ， 則 ，解之得. 于是條件駐點為 ，. 而，. 比較以上函數(shù)值，可得函數(shù)在區(qū)域上的最大值為8，最小值為0. 【評注】多元函數(shù)的最值問題，一般都用拉格朗日乘數(shù)法解決. 利用拉格朗日乘數(shù)法確定目標(biāo)函數(shù)的可能極值點后，不必一一檢驗它們是否為極值點，只要比較目標(biāo)函數(shù)在這些點處的值，最大者為最大值，最小者為最小值. 但當(dāng)只有惟一的可能極值點時，目標(biāo)函數(shù)在這點處必取到最值，究竟是最大值還是最小值需根據(jù)問題的實際意義判定. 完全類似例題見文登強化班筆記高等數(shù)學(xué)第9講【例14例17】，數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)指南（理工

15、類）第一篇【例8.338.36】.（18）（本題滿分10分） 計算曲面積分 ，其中為曲面 的上側(cè).【分析】本題不是封閉曲面，首先想到加一曲面，取下側(cè)，使構(gòu)成封閉曲面，然后利用高斯公式轉(zhuǎn)化為三重積分，再用球面（或柱面）坐標(biāo)進行計算即可.【詳解】的方程為： .添加一個平面，取下側(cè)，則與構(gòu)成閉曲面，其所圍區(qū)域記為.于是.而 ， （上式可直接由被積函數(shù)的奇偶性和積分區(qū)域的對稱性可得） 所以 .【評注】本題屬基本題型，不論是用球面坐標(biāo)還是用柱面坐標(biāo)進行計算，均應(yīng)特別注意計算的準(zhǔn)確性，主要考查基本的計算能力.完全類似例題見文登強化班筆記高等數(shù)學(xué)第12講第4節(jié)例和練習(xí)，數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)指南（理工類）第一篇【例11.

16、19】，P.321【例11.21】（19） (本題滿分11分)設(shè)函數(shù)在上連續(xù)，在內(nèi)具有二階導(dǎo)數(shù)且存在相等的最大值，證明：存在，使得.【分析】由所證結(jié)論可聯(lián)想到構(gòu)造輔助函數(shù)，然后根據(jù)題設(shè)條件利用羅爾定理證明.【詳解】令，則在上連續(xù)，在內(nèi)具有二階導(dǎo)數(shù)且.（1）若在內(nèi)同一點取得最大值，則， 于是由羅爾定理可得，存在，使得. 再利用羅爾定理，可得 存在，使得，即.（2）若在內(nèi)不同點取得最大值，則，于是 ， 于是由零值定理可得，存在，使得 于是由羅爾定理可得，存在，使得. 再利用羅爾定理，可得 ，存在，使得，即.【評注】對命題為的證明，一般利用以下兩種方法：方法一：驗證為的最值或極值點，利用極值存在的必

17、要條件或費爾馬定理可得證； 方法二：驗證在包含于其內(nèi)的區(qū)間上滿足羅爾定理條件. 類似例題見文登強化班筆記高等數(shù)學(xué)第4講【例7】，數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)指南（理工類）第一篇【例4.8】，【例4.9】.（20） (本題滿分10分)設(shè)冪級數(shù)在內(nèi)收斂，其和函數(shù)滿足.（）證明：；（II）求的表達式.【分析】可將冪級數(shù)代入微分方程通過比較同次項系數(shù)，從而證得（）；由（）求（II）.【詳解】（）由題設(shè)可得，代入，可得 ， 即 ，比較同次項系數(shù)可得 . （II）由 ，可得 ， 故 .【評注】本題為一道冪級數(shù)與二階微分方程的綜合題，考查了冪級數(shù)的逐項微分法及的麥克老林級數(shù)展開式. 所以需記住常見函數(shù)，等函數(shù)的麥克勞林級數(shù)展開

18、式. 完全類似例題見文登強化班筆記高等數(shù)學(xué)第11講【例16】，數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)指南（理工類）第一篇【例7.25】，【例7.26】（21） (本題滿分11分) 設(shè)線性方程組與方程有公共解，求的值及所有公共解.【分析】將方程組和方程合并，然后利用非齊次線性方程有解的判定條件求得.【詳解】將方程組和方程合并，后可得線性方程組其系數(shù)矩陣.顯然，當(dāng)時無公共解.當(dāng)時，可求得公共解為 ,為任意常數(shù)；當(dāng)時，可求得公共解為 .【評注】本題為基礎(chǔ)題型，考查非齊次線性方程組解的判定和結(jié)構(gòu). 完全類似例題見文登強化班筆記線性代數(shù)第4講【例8】，數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)指南（理工類）第二篇【例4.12】，【例4.15】.（22） (本題滿分11分)設(shè)三階對稱矩陣的特征向量值，是的屬于的一個特征向量，記，其中為3階單位矩陣. （I）驗證是矩陣的特征向量，并求的全部特征值與特征向量；（II）求矩陣. 【分析】本題考查實對稱矩陣特征值和特征向量的概念和性質(zhì). 【詳解】（I）， 則是矩陣的屬于2的特征向量. 同理可得 ，. 所以的全部特征值為2，1，1 設(shè)的屬于1的特征向量為，顯然為對稱矩陣，所以根據(jù)不同特征值所對應(yīng)的特征向量正交，可得. 即 ，解方程組可得的屬于1的特征向量 ，其中為不全為零的任意常數(shù). 由前可知的屬于2的特征向量為 ，其中