第6講函數的奇偶性和周期性

1、 .wd.第9講 函數的奇偶性、周期性【考點解讀】1. 理解函數奇偶性的概念，掌握函數奇偶性的判定方法及圖象特征，并能運用這些知識分析、解決問題。2. 理解函數周期性與對稱性的概念，會用定義驗證函數的周期性。3. 能綜合運用函數的奇偶性、周期性及對稱性解題。【知識掃描】1. 奇函數、偶函數的概念函數的奇偶性是函數在整個定義域上的性質，一般地,如果對于函數的定義域內任意一個x，都有f-x=fx，那么函數就叫做偶函數. 一般地,如果對于函數的定義域內任意一個x，都有f-x=-fx，那么函數就叫做奇函數. 定義域在數軸上關于原點對稱是函數f(x)為奇函數或偶函數的必要非充分條件。2.判斷函數的奇偶性

2、 判斷函數的奇偶性,一般都按照定義嚴格進展,一般步驟是: 1考察定義域是否關于原點對稱；2考察表達式是否等于或-： 假設=-，那么為奇函數； 假設=，那么為偶函數； 假設=且=,那么既是奇函數又是偶函數； 假設-且，那么既不是奇函數又不是偶函數，即非奇非偶函數. 為了便于判斷函數的奇偶性,有時需要先將函數進展化簡,或應用定義的等價形式:=±±=0=±1(0). 3.奇、偶函數的性質1奇函數的圖象關于原點對稱，偶函數的圖象關于y軸對稱.2假設一個奇函數在處有定義，那么；如果一個函數既是奇函數又是偶數，那么其值域為。3奇函數在關于原點對稱的區(qū)間上的單調性一樣, 偶函數

3、在關于原點對稱的區(qū)間上的單調性相反。4在定義域的公共局部內，兩個奇偶函數之和、差為奇偶函數；兩奇偶函數之積商為偶函數；一奇一偶函數之積商為奇函數。注：取商時，應使分母不為05復合函數的奇偶性 由兩個函數，復合而成的復合函數，只要其中有一個是偶函數，其復合函數就是偶函數；當兩個函數都是奇函數時，其復合函數是奇函數。4. 周期函數的定義對于函數，如果存在一個常數非零，使得當取定義域內的每一個值時，都成立，那么是周期函數。是它的周期。注意：必須對定義域內的任意自變量恒成立。5.判斷函數是周期函數的常見結論：假設函數滿足對定義域內任一實數，以為周期。以為周期。以為周期。6.函數對稱性的性質：1的圖象關

4、于直線對稱。2一般地，假設，那么函數的對稱軸方程是。3的圖象關于點成中心對稱。4函數關于及對稱，那么以為周期。【考計點撥】牛刀小試：1】函數是奇函數，那么實數a=_?！敬鸢浮俊久}意圖】此題主要考察奇函數的概念。【解析】由奇函數定義有得，故。2.假設是上周期為5的奇函數，且滿足，那么 A1B.1 C.2D.2【答案】A【解析】=+=3.(湖南省長沙一中2012屆高三上學期月考)定義在R上的函數是減函數，且函數的圖象關于1，0成中心對稱，假設滿足不等式，那么當時，的取值范圍是4函數與是同一函數；高考資源*網假設函數與的圖像關于直線對稱，那么函數與的圖像也關于直線對稱；假設奇函數對定義域內任意x都

5、有，那么為周期函數。其中真命題是A. B. C. D.【答案】C【解析】考察一樣函數、函數對稱性的判斷、周期性知識?？紤]定義域不同，錯誤；排除A、B，驗證,又通過奇函數得，所以fx是周期為2的周期函數，選擇C。假設奇函數對定義域內任意都有,那么為周期函數其中真命題是ABCD【答案】C【解析】考慮定義域不同，錯誤；排除A、B，驗證,又通過奇函數得，所以fx是周期為2的周期函數，選擇C。5.是定義在上的以3為周期的奇函數,且=0,那么方程在區(qū)間(0,6)內解的個數是_個.【答案】7【解析】因為=0,=0,=0,是定義在上的奇函數,故,取得,故,故方程在區(qū)間(0,6)內解的個數是7個.考點一函數的奇

6、偶性及其應用例1：判斷以下函數的奇偶性(1) (2)(3)4=解析：判斷函數的奇偶性，首先要求出函數的定義域，看定義域是否關于原點對稱.然后利用定義判斷，尋找和的關系.由可得，所以函數的定義域是 定義域關于原點不對稱，故該函數是非奇非偶函數.，且，定義域關于原點對稱，原函數可化簡為， 由=所以函數為奇函數.因為f(x)= =f(x)，故f(x)為奇函數4對于三角形1+sinx+cosx，當x=時，其值為2，當x=-時，其值為零，由此1可知原函數=的定義域中包含x=，但是不包含x=-，所以定義域不關于原點對稱，所以是非奇偶的函數。規(guī)律總結：判斷函數奇偶性是時，學生往往忽略求函數的定義域，導致錯誤

7、；再者，不會合理變形，導致判斷錯誤.變式訓練1：判斷以下函數的奇偶性.1；23函數對任意都有.解析：具體函數先求函數定義域，分段函數分段討論奇偶性，抽象函數要合理取值，尋找和的關系.(1函數的定義域為且.圖象關于原點對稱，又關于y軸對稱，所以既是奇函數又是偶函數.(2)函數的定義域為.當時，當時，綜上，對任意，是奇函數.(3)令,令,是奇函數.規(guī)律總結：判斷函數的奇偶性首先求函數的定義域,這是固定的步驟.如果定義域關于原點對稱,利用定義,計算比擬和,有時,需要對函數進展化簡后再判斷,較為簡便.如果不好判斷,可以利用奇偶性定義等價形式進展判斷.抽象函數的奇偶性判斷，采用賦值法，恰當對變量進展賦值

8、是關鍵。假設證明函數不具有奇偶性,舉組反例即可.例2：函數fx的定義域為D=x|x0，且滿足對于任意x1、x2D，有fx1·x2=fx1+fx2.1求f1的值；2判斷fx的奇偶性并證明；3如果f4=1，f3x+1+f2x63，且fx在0，+上是增函數，求x的取值范圍.解析：1解：令x1=x2=1，有f1×1=f1+f1，解得f1=0.2證明：令x1=x2=1，有f1×1=f1+f1.解得f1=0.令x1=1，x2=x，有fx=f1+fx，fx=fx.fx為偶函數.3解：f4×4=f4+f4=2，f16×4=f16+f4=3.f3x+1+f2x6

9、3即f3x+12x6f64.*fx在0，+上是增函數，*等價于不等式組或或或3x5或x或x3.x的取值范圍為x|x或x3或3x5.規(guī)律總結：解答此題易出現如下思維障礙：1無從下手，不知如何脫掉“f.解決方法:利用函數的單調性.2無法得到另一個不等式.解決方法：關于原點對稱的兩個區(qū)間上，奇函數的單調性一樣，偶函數的單調性相反.變式訓練2：fx、gx都是奇函數，fx0的解集是a2，b，gx0的解集是,，那么fx·gx0的解集是( )A.，B.b，a2C.a2，a2D.，bb2，a2解析：fx·gx0或xa2，a2.【答案】C考點二函數周期性及其應用例3設函數是定義在R上的以3為

10、周期的奇函數，假設，那么的取值范圍是 AB且 C或 D.解析：以3為周期，所以，又是R上的奇函數，那么，再由，可得，即 ，解之得，應選D規(guī)律總結：不會恰當地賦值和變量變換是此題做不出或用時較長的主要原因.變式訓練3：函數對于任意實數滿足條件，假設，那么解析函數對于任意實數滿足條件，即的周期為4，規(guī)律總結：對于抽象函數的求值問題，待求的函數值要和的函數值產生聯系，要有聯系，要用函數的周期調整，奇偶性變換.抽象函數的周期沒有固定的模式，掌握常見的抽象函數的周期的一些規(guī)律，對解題大有裨益：型：周期為；型：周期為；型：周期為.且，那么的周期T=4a；考點三函數對稱性及其應用例4：對函數y=f(x)定義

11、域中任一個x的值均有f(x+a)=f(ax),(1)求證y=f(x)的圖象關于直線x=a對稱；(2)假設函數f(x)對一切實數x都有f(x+2)=f(2x),且方程f(x)=0恰好有四個不同實根，求這些實根之和解析：設函數圖象上任意一點A(x0,y0)，只要證明點A關于直線x=a對稱的點B也在函數圖象上即可.(1)證明 設(x0,y0)是函數y=f(x)圖象上任一點，那么y0=f(x0),=a,點(x0,y0)與(2ax0,y0)關于直線x=a對稱，又f(a+x)=f(ax),f(2ax0)=fa+(ax0)=fa(ax0)=f(x0)=y0,(2ax0,y0)也在函數的圖象上，故y=f(x)

12、的圖象關于直線x=a對稱(2)解 由f(2+x)=f(2x)得y=f(x)的圖象關于直線x=2對稱，假設x0是f(x)=0的根，那么4x0也是f(x)=0的根，假設x1是f(x)=0的根，那么4x1也是f(x)=0的根，x0+(4x0)+ x1+(4x1)=8即f(x)=0的四根之和為8變式訓練4：函數為偶函數，那么函數圖像關于直線對稱，函數圖像關于直線對稱.解析：設由可得函數關于對稱，關于對稱.規(guī)律總結：函數圖像對稱性是函數奇偶性圖像特征的進一步拓展，要學會從函數變換角度去理解圖像對稱性，以及用函數代換特征去處理函數對稱性.函數的圖象的對稱本質還是點的對稱，所以證明圖象對稱問題常常轉化到點的

13、對稱問題.需要記住的一些結論：對于函數(),恒成立,那么函數的對稱軸是;兩個函數與 的圖象關于直線對稱.考點四 函數性質的綜合運用例5定義在R上的奇函數，滿足,且在區(qū)間0,2上是增函數,假設方程f(x)=m(m>0)在區(qū)間上有四個不同的根,那么-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 y x f(x)=m (m>0) 解析：:因為定義在R上的奇函數，滿足,所以,所以,由為奇函數,所以函數圖象關于直線對稱且,由知,所以函數是以8為周期的周期函數,又因為在區(qū)間0,2上是增函數,所以在區(qū)間-2,0上也是增函數.如下圖,那么方程f(x)=m(m>0)在區(qū)間上有四個不同的根,不妨設由對稱性知所以變式訓練4：設偶函數對任意，都有，且當時，那么 解析：，,=規(guī)律總結：恰當地賦值和變量變換得出函數的周期，結合周期性和奇偶性所求函數的值轉化到區(qū)間，從而求解。歸納小結1奇偶性是某些函數具有的一種重要性