《指數(shù)函數(shù)》教學(xué)設(shè)計

1、敬業(yè)、協(xié)作、啟智、進(jìn)取指數(shù)函數(shù)華清中學(xué) 徐立宏一、教材分析教材背景指數(shù)函數(shù)是在學(xué)習(xí)了函數(shù)的現(xiàn)代定義及其圖象、性質(zhì)，掌握了研究函數(shù)的一般思路，并將冪指數(shù)從整數(shù)擴(kuò)充到實數(shù)范圍之后，學(xué)習(xí)的第一個重要的基本初等函數(shù)，是函數(shù)一章的重要內(nèi)容。本節(jié)內(nèi)容分三課時完成，第一課時學(xué)習(xí)指數(shù)函數(shù)的概念、圖象、性質(zhì)；第二、三課時為指數(shù)函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用，本課為第一課時。本課的地位和作用本節(jié)內(nèi)容既是函數(shù)內(nèi)容的深化，又是今后學(xué)習(xí)對數(shù)函數(shù)的基礎(chǔ)，具有非常高的實用價值，在教材中起到了承上啟下的關(guān)鍵作用。在指數(shù)函數(shù)的研究過程中蘊含了數(shù)形結(jié)合、分類討論、歸納推理、演繹推理等數(shù)學(xué)思想方法，通過學(xué)習(xí)可以幫助學(xué)生進(jìn)一步理解函數(shù)，培養(yǎng)學(xué)生的函

2、數(shù)應(yīng)用意識，增強學(xué)生對數(shù)學(xué)的興趣。二、重難點分析根據(jù)新課程標(biāo)準(zhǔn)及對教材的分析，確定本節(jié)課重難點如下： 重點：本節(jié)課是圍繞指數(shù)函數(shù)的概念和圖象，并依據(jù)圖象特征歸納其性質(zhì)展開的。因此本節(jié)課的教學(xué)重點是掌握指數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)。難點： 1、對于和時函數(shù)圖象的不同特征，學(xué)生不容易歸納認(rèn)識清楚。因此，弄清楚底數(shù)a對函數(shù)圖象的影響是本節(jié)的難點之一。2、底數(shù)相同的兩個函數(shù)圖象間的關(guān)系。三、目標(biāo)分析知識技能目標(biāo)掌握指數(shù)函數(shù)的概念、圖象和性質(zhì)。過程性目標(biāo)通過自主探索，讓學(xué)生經(jīng)歷“特殊一般特殊”的認(rèn)知過程，完善認(rèn)知結(jié)構(gòu)，領(lǐng)會數(shù)形結(jié)合、分類討論、歸納推理等數(shù)學(xué)思想方法。情感、價值觀目標(biāo)讓學(xué)生感受數(shù)學(xué)問題探索的樂趣和

3、成功的喜悅，體會數(shù)學(xué)的理性、嚴(yán)謹(jǐn)及數(shù)與形的和諧統(tǒng)一美，展現(xiàn)數(shù)學(xué)實用價值及其在社會進(jìn)步、人類文明發(fā)展中的重要作用。四、學(xué)情分析有利因素學(xué)生剛剛學(xué)習(xí)了函數(shù)的定義、圖象、性質(zhì)，已經(jīng)掌握了研究函數(shù)的一般思路，對于本節(jié)課的學(xué)習(xí)會有很大幫助。不利因素本節(jié)內(nèi)容思維量較大，對思維的嚴(yán)謹(jǐn)性和分類討論、歸納推理等能力有較高要求，學(xué)生學(xué)習(xí)起來有一定難度。五、教法學(xué)法根據(jù)對教材、重難點、目標(biāo)及學(xué)生情況的分析，本著教法為學(xué)法服務(wù)的宗旨，確定以下教法、學(xué)法：探究發(fā)現(xiàn)式教學(xué)法、類比學(xué)習(xí)法，并利用多媒體輔助教學(xué)。遵循“以學(xué)生為主體、教師是數(shù)學(xué)課堂活動的組織者、引導(dǎo)者和參與者”的現(xiàn)代教育原則。依據(jù)本節(jié)為概念學(xué)習(xí)的特點，類比學(xué)習(xí)

4、函數(shù)的一般思路，以問題的提出、問題的解決為主線，始終在學(xué)生知識的“最近發(fā)展區(qū)”設(shè)置問題，倡導(dǎo)學(xué)生主動參與，通過不斷探究、發(fā)現(xiàn)，在師生互動、生生互動中，讓學(xué)習(xí)過程成為學(xué)生心靈愉悅的主動認(rèn)知過程。六、教學(xué)過程設(shè)計復(fù)習(xí)舊知新課引入探索新知知識擴(kuò)展課堂練習(xí)課堂小結(jié)課后作業(yè)七、教學(xué)過程復(fù)習(xí)舊知函數(shù)的三要素是什么？函數(shù)的單調(diào)性反映了函數(shù)哪方面的特征？答：函數(shù)的三要素包括：定義域、值域、對應(yīng)法則。函數(shù)的單調(diào)性反映了函數(shù)值隨自變量變化而發(fā)生變化的一種趨勢，例如：某個函數(shù)當(dāng)自變量取值增大時對應(yīng)的函數(shù)值也增大則表明此函數(shù)為增函數(shù)，圖象上反應(yīng)出來越往右圖象上的點越高。新課引入 觀看視頻解答下面兩個問題：問題1：某種

5、細(xì)胞分裂時，由一個分裂成2個，2個分裂成4個，這樣的細(xì)胞分裂x次后，細(xì)胞個數(shù)y與x的函數(shù)關(guān)系式為：y=2x（xN*）問題2：鈾核裂變能產(chǎn)生巨大的能量，它的裂變方式稱為鏈?zhǔn)椒磻?yīng)，假定1個中子擊打1個鈾核，此中子被吸收產(chǎn)生能量并釋放出3個中子，這3個中子又打中另外3個鈾核產(chǎn)生3倍的能量并釋放出9個中子，這9個中子又擊中9個鈾核這樣的擊打進(jìn)行了x次后釋放出的中子數(shù)y與x的關(guān)系是：y=3x（xN*）提問：y=2x與y=3x這類函數(shù)的解析式有何共同特征？答：函數(shù)解析式都是指數(shù)形式，底數(shù)為定值且自變量在指數(shù)位置。（若用a代換兩個式子中的底數(shù)，并將自變量的取值范圍擴(kuò)展到實數(shù)集則得到）探索新知一指數(shù)函數(shù)的定義

6、 一般地，函數(shù)y=ax(a>0，且a1)叫做指數(shù)函數(shù)，其中x是自變量，函數(shù)的定義域是R。提問：在本定義中要注意哪些要點？1自變量x2定義域R3a的范圍a>0，且a14定義的形式（對應(yīng)法則）y=ax進(jìn)一步提問：為什么規(guī)定定義中？將a如數(shù)軸所示分為：,，,和五部分進(jìn)行討論： (1)如果, 比如，這時對于等，在實數(shù)范圍內(nèi)函數(shù)值不存在；(2)如果，(3)如果，是個常值函數(shù)，沒有研究的必要；(4)如果或即，可以是任意實數(shù)。* 因為指數(shù)概念已經(jīng)擴(kuò)充到整個實數(shù)范圍，所以在的前提下，可以是任意實數(shù),即指數(shù)函數(shù)的定義域為R。二指數(shù)函數(shù)圖象指數(shù)函數(shù)的圖象是怎樣的呢？先看特殊例子（將同學(xué)們分兩組用描點法

7、分別畫出下列函數(shù)的圖象）第一組：畫出，的圖象；第二組：畫出，的圖象。（及時指導(dǎo)學(xué)生作圖，然后播放已經(jīng)做好的函數(shù)圖象，讓學(xué)生比較與自己所畫出來的有哪些異同點。）提問：此兩組圖象有何共同特征？當(dāng)?shù)讛?shù)和時圖象有何區(qū)別？三指數(shù)函數(shù)性質(zhì)根據(jù)指數(shù)函數(shù)的圖象特征，由特殊到一般的推理方法提煉指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，完成下表：a>10<a<1圖象性質(zhì)(1)定義域：R(2)值 域：(0，+)(3)過點(0,1)，即x=0時，y=1(4)在R上是增函數(shù)(4)在R上是減函數(shù)（說明：教材對于指數(shù)函數(shù)性質(zhì)的處理，僅是觀察圖象發(fā)現(xiàn)的，其正確性理應(yīng)嚴(yán)格證明，但教材不做要求）四指數(shù)函數(shù)性質(zhì)的簡單應(yīng)用例1 某種放射性物

8、質(zhì)不斷變化為其他物質(zhì)，每經(jīng)過一年剩留的這種物質(zhì)上原來的84%。畫出這種物質(zhì)的剩留量隨時間變化的圖象，并從圖象上求出經(jīng)過多少年，剩留量是原來的一半（保留一個有效數(shù)字）解：設(shè)這種物質(zhì)最初的質(zhì)量是1，經(jīng)過x年后，剩留量是y。經(jīng)過1年，剩留量經(jīng)過2年，剩留量一般地，經(jīng)過x年，剩留量根據(jù)這個函數(shù)關(guān)系可以列表如下：x0123456y10.840.710.590.500.420.35畫出指數(shù)函數(shù)的圖象。從圖上看出只需。答：約經(jīng)過4年，剩留量是原來的一半。例2說明下列函數(shù)的圖象與指數(shù)函數(shù)的圖象的關(guān)系，并畫出它們的示意圖。；解：比較函數(shù)與的關(guān)系：與相等，與相等，與相等，由此可以知道，將指數(shù)函數(shù)的圖象向左平行移動

9、1個單位長度，就得到函數(shù)的圖象。比較函數(shù)與的關(guān)系：與相等，與相等，與相等，由此可以知道，將指數(shù)函數(shù)的圖象向右平行移動2個單位長度，就得到函數(shù)的圖象。、知識擴(kuò)展一考古中的指數(shù)函數(shù)是具有放射性的碳同位素，能夠自發(fā)地進(jìn)行衰變，變成氮，半衰期為5730年，活的植物通過光合作用和呼吸作用與環(huán)境交換碳元素，體內(nèi)的比例與大氣中的相同。植物枯死后，遺體內(nèi)的仍在進(jìn)行衰變，不斷減少，但是不再得到補充。因此，根據(jù)放射性強度減小的情況就可以算出植物死亡的時間。測年方法進(jìn)入考古學(xué)研究被譽為考古學(xué)發(fā)展史上的一次革命，它將考古學(xué)研究中得到的相對年代轉(zhuǎn)變?yōu)榻^對年代，給考古學(xué)帶來了質(zhì)的飛躍，使研究更加科學(xué)化，促進(jìn)了考古學(xué)研究的

10、深入。其中測算公式是一個指數(shù)式。二音樂中的指數(shù)函數(shù)鋼琴是一種用琴槌擊弦而振動發(fā)聲鍵盤樂器。從左往右逐個試彈所有琴鍵，我們聽到琴聲逐漸由低到高，這是因為琴聲的高低與琴弦振動的頻率有關(guān)，而琴弦振動的頻率又與琴弦的長度有關(guān)。粗略地說，琴弦長則振動慢，頻率小，故發(fā)出的聲音低；琴弦短，則振動快，頻率大，故發(fā)出的聲音高。音域?qū)挾茸源笞侄M的A2至小字五組的。根據(jù)“十二平均律”的法則，任何兩個相鄰的鍵所發(fā)出的音相差半音階（100音分），它們的振動頻率之比是一個常數(shù)Q，設(shè)最低的第一個音A2的頻率是a，則第二個音#A2的頻率是aQ，第三個音B2的頻率是aQ2，另外，音高每提高八度（如A2到A1）頻率增大為原來的

11、2倍，而八度音域內(nèi)包含12個半音（連續(xù)的7個白鍵和5個黑鍵），所以，第十三個音（A1）的頻率是第一個音（A2）的頻率的2倍。故，即。另一方面，弦振動的頻率與弦長成反比。所以，從左向右，相鄰兩弦的長度之比是常數(shù)q=1/Q，從而有q12=1/2。設(shè)左邊第一根弦的長度為，則第二根弦的長度為，第三根弦的長度為，如圖，取第一根弦所在直線為y軸，各弦靠近鍵盤的端點所在直線為x軸建立坐標(biāo)系，相鄰兩弦間的距離為長度單位。這時，將弦的另一端點（上部）連成光滑曲線，那么曲線上任意點的坐標(biāo)都滿足函數(shù)關(guān)系。若令，則，可化為。經(jīng)過適當(dāng)平移，就可知道光滑曲線是指數(shù)函數(shù)的圖象指數(shù)曲線。生活中到處都有數(shù)學(xué)，我們要學(xué)會用數(shù)學(xué)的

12、眼光觀察世界，用數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)自然界的奧秘。、課堂練習(xí)1、求下列函數(shù)的定義域：2、函數(shù)y=a2x-3+3恒過定點 。3、作出函數(shù)和的圖象，并說明這兩個函數(shù)圖象與圖象的關(guān)系。4、如圖是指數(shù)函數(shù)，的圖象，則a,b,c,d的大小關(guān)系是（）A BC D課堂小結(jié)設(shè)問：本課我們主要學(xué)習(xí)了哪些內(nèi)容？應(yīng)當(dāng)注意些什么？本節(jié)課主要學(xué)習(xí)了指數(shù)函數(shù)的定義、圖象和性質(zhì)。弄清楚底數(shù)和時函數(shù)圖象的不同特征及性質(zhì)是學(xué)好本節(jié)課的關(guān)鍵所在。課后作業(yè)課本第73頁習(xí)題2.6 1、2收集關(guān)于指數(shù)函數(shù)應(yīng)用的相關(guān)資料，通過分析整理，寫一篇800字左右的報告。八、課后反思一在教學(xué)過程中有幾個問題值得注意：學(xué)生可能把自變量在指數(shù)上的函數(shù)都認(rèn)為是指數(shù)

13、函數(shù)，應(yīng)予以及時糾正。若學(xué)生質(zhì)疑指數(shù)函數(shù)單調(diào)性結(jié)論的正確性，應(yīng)先肯定質(zhì)疑是正確的，因為用圖象觀察歸納出來的結(jié)論，必須經(jīng)過嚴(yán)格證明才是可靠的！但由于教材對此不作要求，因此，鼓勵學(xué)有余力的同學(xué)可自己嘗試證明。二本課設(shè)計有以下幾點值得借鑒：本課設(shè)計在注重引導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)書本知識的同時，還進(jìn)行了知識的擴(kuò)展，讓學(xué)生感受到數(shù)學(xué)的實用價值。本課設(shè)計時考慮了學(xué)生在學(xué)習(xí)中最可能出現(xiàn)的各種情況，并采用合理方式進(jìn)行引導(dǎo)、解決。教學(xué)過程中充分發(fā)揮學(xué)生主體作用，始終以問題的形式引導(dǎo)學(xué)生主動參與，在師生互動、生生互動中讓學(xué)習(xí)過程成為學(xué)生心靈愉悅的主動認(rèn)知過程，做到了把握重點、突破難點。附：板書設(shè)計附：教 案 設(shè) 計 說 明此

14、教學(xué)方案是依據(jù)新課程標(biāo)準(zhǔn)、教材及本人的教學(xué)風(fēng)格并考慮學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣來設(shè)計的，下面就本課教案做以下幾點說明：一、選材：本節(jié)課選取的內(nèi)容為數(shù)學(xué)發(fā)展中具有代表性的知識。指數(shù)函數(shù)既是函數(shù)的深化，又是學(xué)習(xí)對數(shù)函數(shù)的必備，通過本節(jié)內(nèi)容的學(xué)習(xí)，讓學(xué)生在掌握知識的同時感受到數(shù)學(xué)的實用價值。二、理念：本節(jié)課的教案設(shè)計體現(xiàn)了“以學(xué)生為主體，教師是課堂活動的組織者、引導(dǎo)者和參與者”的現(xiàn)代教育理念。在教學(xué)的每一個環(huán)節(jié)中均設(shè)計了問題，始終以教師提出問題，引導(dǎo)學(xué)生解決問題的方式進(jìn)行，讓課堂活動變得生動而愉悅。三、注重知識擴(kuò)展，本課設(shè)計時有意識的選取了“細(xì)胞分裂”、“鈾核裂變”、“指數(shù)函數(shù)在考古中的應(yīng)用”、“指數(shù)函數(shù)在音樂中的應(yīng)用”等知識，讓學(xué)生感受到生活中到處都有數(shù)學(xué)，要學(xué)會