耦合離散mKdV方程的達布變換及其精確解

1、耦合離散mKdV方程的達布變換及其精確解阮傳同，魏含玉（周口師范學院 數學系，河南 周口 466000）摘要：借助譜問題的規(guī)范變換，給出與一個離散的矩陣譜問題相聯(lián)系的耦合離散mKdV方程的達布變換作為應用，從所導出的達布變換得到了這個方程的精確解并作出圖形關鍵詞：離散譜問題；耦合離散mKdV方程；達布變換；精確解 孤子方程是非線性科學中的一個重大研究課題，自20世紀60年代以來,人們發(fā)現了多種求孤子方程解的方法，其中有反散射方法、貝克隆變換法、雙線性直接方法、代數幾何法、非線性化方法、達布變換法等等1這些方法各有特點，彼此之間也有其內在的聯(lián)系其中，達布變換是一種自然而美妙的方法2，它能從方程的

2、一個解出發(fā)得到新的更復雜的精確解，是一種簡單而有效的求解方法考慮離散譜問題， （1）其中、是兩個位勢函數，是常譜參數特征函數相應的時間部分為， （2）根據離散的零曲率方程, 由(1)和(2)可得到耦合離散mKdV方程3 （3）1、達布變換為了構造耦合離散mKdV方程(3)的達布變換，首先引入半離散譜問題(1)和(2)的規(guī)范變換4 （4）其中由下式確定 （5） （6）于是便滿足與譜問題(1)和(2)形式上完全相同的Lax對，即 （7） （8）為了使相應的譜問題轉化為相同形式的譜問題，假定為如下形式 （9）其中 ，是關于n和t的待定函數，且將（1）和（9）代入（5），比較的系數可得 (10)設譜問

3、題(1)和(2)有基本解組為，記為 則為（1）的一個基解矩陣由（4）得矩陣（9）表明是關于的階多項式且 故當時，知是一個退化矩陣，從而的列向量線性相關，即存在常數使得 （11）將（9）代入（11）得 （12）其中 （13）適當選取，使（12）中分別以，為未知的個方程組的系數行列式的值均不為零根據克萊姆法則，這些函數可唯一確定定理1 由（5）所確定的和（1）中矩陣具有相同的形式，即變換（10）將原位勢函數，映射為新位勢函數，證明：因，其中是矩陣的伴隨矩陣假設 （14） 由和的表達式可知，是的階多項式且是的根進而（14）可改寫為 (15)其中由（15）知 （16）比較（16）式兩端，的系數可得，根

4、據（10）式，有，則，知定理成立定理2 由（6）所確定的和（2）中矩陣具有相同的形式，即變換（10）將原位勢函數，映射為新位勢函數，證明：令 （17） 由和的表達式可知，是的階多項式且是的根進而（17）可改寫為 (18)其中由（18）知 （19）比較（19）式兩端，的系數可得，比較（5）式的系數，有（20）根據（10）和（20）式，有，則，知定理成立定理3（4）和（10）就是耦合離散mKdV方程(3)的一個達布變換，方程的一個解在其作用下可映射為方程的一個新解，其中， ， ，由線性方程組（12）唯一確定2、方程的精確解通過前面構造的達布變換，我們來討論耦合離散mKdV方程(3)的精確解 取（3

5、）的一個平凡解作為種子解，將其代入其譜問題（1）和（2）中，可以得出它的一個基本解組， （21）其中，當時，由（13）可得 （22）將(21)、(22)代入線性系統(tǒng)（12），根據克萊姆法則，可得 ，其中從而，利用達布變換（10）得到方程（3）的精確解：特別地，當時，我們可以得到此時從而，適當選擇參數可得到方程（3）精確解的單孤子圖形： 圖1 ， 圖2 ， ， ， 周口師范學院青年科研基金資助項目 編號：zknuqn200911作者簡介：阮傳同（1979），男，河南淮陽人，助教，碩士研究生，主要從事概率統(tǒng)計教學與研究Darboux transformation of a discrete cou

6、pled mKdV equation and Its explicit solutionsRUAN Chuan-tong, WEI Han-yu(Department of Mathematics, Zhoukou Teachers College, Zhoukou Henan 466000)Abstract: With the help of a gauge transformation of the spectral problem, we give the Darboux transformation of a discrete coupled mKdV equation, which

7、related to the discrete matrix spectral problem As an application, we obtain the explicit solutions of the discrete coupled mKdV equation by the formerly constructed Darboux transformation and their graphKey words: discrete spectral problem; discrete coupled mKdV equation; Darboux transformation;explicit solution參考文獻：1GengX G,Tam H WDarboux transformations of classical boussinesq system and its muti-soliton solutionsJJMathPhys,1999,40:3