matlab課后習(xí)題答案(1-9章)

1、1 數(shù)字1.5e2，1.5e3 中的哪個(gè)與1500相同嗎？1.5e32 請(qǐng)指出如下5個(gè)變量名中，哪些是合法的？abcd-2 xyz_3 3chan a變量 ABCDefgh 2、5是合法的。3 在MATLAB環(huán)境中，比1大的最小數(shù)是多少？ 1+eps4 設(shè) a = -8 , 運(yùn)行以下三條指令，問(wèn)運(yùn)行結(jié)果相同嗎？為什么？w1=a(2/3)w2=(a2)(1/3) w3=(a(1/3)2w1 = -2.0000 + 3.4641i ;w2 = 4.0000 ;w3 =-2.0000 + 3.4641i 5 指令clear, clf, clc各有什么用處？clear 清除工作空間中所有的變量。clf

2、 清除當(dāng)前圖形。clc 清除命令窗口中所有顯示。第二章1 說(shuō)出以下四條指令產(chǎn)生的結(jié)果各屬于哪種數(shù)據(jù)類(lèi)型，是“雙精度”對(duì)象，還是“符號(hào)”符號(hào)對(duì)象？ 3/7+0.1雙; sym(3/7+0.1)符; sym(3/7+0.1) 符; vpa(sym(3/7+0.1) 符;2 在不加專(zhuān)門(mén)指定的情況下，以下符號(hào)表達(dá)式中的哪一個(gè)變量被認(rèn)為是自由符號(hào)變量.sym(sin(w*t),sym(a*exp(-X),sym(z*exp(j*th)symvar(sym(sin(w*t),1) w a z3 （1）試寫(xiě)出求三階方程正實(shí)根的程序。注意：只要正實(shí)根，不要出現(xiàn)其他根。（2）試求二階方程在時(shí)的根。（1）rese

3、t(symengine)syms x positivesolve(x3-44.5) ans =(2(2/3)*89(1/3)/2 （2）求五階方程的實(shí)根syms a positive%注意：關(guān)于x的假設(shè)沒(méi)有去除solve(x2-a*x+a2) Warning: Explicit solution could not be found. In solve at 83ans = empty sym syms x clearsyms a positivesolve(x2-a*x+a2) ans = a/2 + (3(1/2)*a*i)/2 a/2 - (3(1/2)*a*i)/2 4 觀察一個(gè)數(shù)（在

4、此用記述）在以下四條不同指令作用下的異同。a =, b = sym( ), c = sym( ,d ), d = sym( )在此， 分別代表具體數(shù)值 7/3 , pi/3 , pi*3(1/3) ；而異同通過(guò)vpa(abs(a-d) , vpa(abs(b-d) , vpa(abs(c-d)等來(lái)觀察。l 理解準(zhǔn)確符號(hào)數(shù)值的創(chuàng)建法。l 高精度誤差的觀察。（1）x=7/3x=7/3;a=x,b=sym(x),c=sym(x,d),d=sym(7/3), a = 2.3333b =7/3c =2.3333333333333334813630699500209d =7/3 v1=vpa(abs(a-

5、d),v2=vpa(abs(b-d),v3=vpa(abs(c-d) v1 =0.0v2 =0.0v3 =0.00000000000000014802973661668756666666667788716 （2）x=pi/3x=pi/3;a=x,b=sym(x),c=sym(x,d),d=sym(pi/3), a = 1.0472b =pi/3c =1.047197551196597631317786181171d =pi/3 v1=vpa(abs(a-d),v2=vpa(abs(b-d),v3=vpa(abs(c-d) v1 =0.0v2 =0.0v3 =0.0000000000000001

6、1483642827992216762806615818554 （3）x=pi*3(1/3)x=pi*3(1/3);a=x,b=sym(x),c=sym(x,d),d=sym(pi*3(1/3) a = 4.5310b =1275352044764433/281474976710656c =4.5309606547207899041040946030989d =pi*3(1/3) v1=vpa(abs(a-d),v2=vpa(abs(b-d),v3=vpa(abs(c-d) v1 =0.00000000000000026601114166290944374842393221638v2 =0.0

7、0000000000000026601114166290944374842393221638v3 =0.0000000000000002660111416629094726767991785515 5 求符號(hào)矩陣的行列式值和逆，所得結(jié)果應(yīng)采用“子表達(dá)式置換”簡(jiǎn)潔化。l 理解subexpr指令。A=sym(a11 a12 a13;a21 a22 a23;a31 a32 a33)DA=det(A)IA=inv(A);IAs,d=subexpr(IA,d) A = a11, a12, a13 a21, a22, a23 a31, a32, a33DA =a11*a22*a33 - a11*a23*a

8、32 - a12*a21*a33 + a12*a23*a31 + a13*a21*a32 - a13*a22*a31IAs = d*(a22*a33 - a23*a32), -d*(a12*a33 - a13*a32), d*(a12*a23 - a13*a22) -d*(a21*a33 - a23*a31), d*(a11*a33 - a13*a31), -d*(a11*a23 - a13*a21) d*(a21*a32 - a22*a31), -d*(a11*a32 - a12*a31), d*(a11*a22 - a12*a21)d =1/(a11*a22*a33 - a11*a23*a

9、32 - a12*a21*a33 + a12*a23*a31 + a13*a21*a32 - a13*a22*a31) 6 求的符號(hào)解，并進(jìn)而用該符號(hào)解求，的準(zhǔn)確值。l symsum, subs的應(yīng)用。l 從實(shí)例中，感受指令所給出的關(guān)于符號(hào)解的含義。syms x kf=x(k);Z1=symsum(f,k,0,inf)Z1 =piecewise(1 = x, Inf, abs(x) 1, -1/(x - 1) subs(Z1,x,sym(-1/3),sym(1/pi),sym(3) ans = 3/4, -1/(1/pi - 1), Inf 7 對(duì)于，求。（提示：理論結(jié)果為）l 符號(hào)變量的限定

10、性定義的作用。syms k;x=sym(x,positive);f_k=2/(2*k+1)*(x-1)/(x+1)(2*k+1);s=simple(symsum(f_k,k,0,inf) %結(jié)果與理論值lnx相符！ s =piecewise(abs(x - 1) x + 1, log(x) 注意l 解答中，條件abs(x - 1) x + 1意味著：n 約束一：x-10 此式總成立，說(shuō)明“無(wú)約束”。n 情況二：-(x-1)0此為“約束”，滿(mǎn)足題意。8 （1）通過(guò)符號(hào)計(jì)算求的導(dǎo)數(shù)。（2）然后根據(jù)此結(jié)果，求和。l diff, limit指令的應(yīng)用。l 如何理解運(yùn)行結(jié)果。syms ty=abs(si

11、n(t)d=diff(y) %求dy/dtd0_=limit(d,t,0,left) %求dy/dt|t=0-dpi_2=limit(d,t,pi/2) %求dy/dt|t=pi/2 y =abs(sin(t)d =sign(sin(t)*cos(t)d0_ =-1dpi_2 =0 9 求出的具有64位有效數(shù)字的積分值。l 符號(hào)積分的解析解和符號(hào)數(shù)值解。l 符號(hào)計(jì)算和數(shù)值計(jì)算的相互校驗(yàn)。（1）符號(hào)積分syms x clearsyms xy=exp(-abs(x)*abs(sin(x)si=vpa(int(y,-10*pi,1.7*pi),64) y =abs(sin(x)/exp(abs(x)

12、si =1.087849499412904913166671875948174520895458535212845987519414166 （2）數(shù)值計(jì)算復(fù)驗(yàn)xx=-10*pi:pi/100:1.7*pi;sn=trapz(exp(-abs(xx).*abs(sin(xx)*pi/100 sn = 1.0877 10 計(jì)算二重積分。l 變上限二重積分的符號(hào)計(jì)算法。syms x yf=x2+y2;r=int(int(f,y,1,x2),x,1,2) r =1006/105 11 在區(qū)間，畫(huà)出曲線(xiàn)，并計(jì)算。l 在符號(hào)計(jì)算中，經(jīng)常遇到計(jì)算結(jié)果是特殊經(jīng)典函數(shù)的情況。l 如何應(yīng)用subs獲得超過(guò)16位有

13、效數(shù)字的符號(hào)數(shù)值結(jié)果。l 初步嘗試ezplot指令的簡(jiǎn)便。（1）符號(hào)計(jì)算syms t x;f=sin(t)/t;y=int(f,t,0,x)% 將得到一個(gè)特殊經(jīng)典函數(shù)y5=subs(y,x,sym(4.5)ezplot(y,0,2*pi) y =sinint(x)y5 =1.6541404143792439835039224868515（2）數(shù)值計(jì)算復(fù)驗(yàn)tt=0:0.001:4.5;tt(1)=eps;yn=trapz(sin(tt)./tt)*0.001 yn = 1.6541 12 在的限制下，求的一般積分表達(dá)式，并計(jì)算的32位有效數(shù)字表達(dá)。l 一般符號(hào)解與高精度符號(hào)數(shù)值解。syms xs

14、yms n positivef=sin(x)n;yn=int(f,x,0,pi/2) y3s=vpa(subs(yn,n,sym(1/3)y3d=vpa(subs(yn,n,1/3) yn =beta(1/2, n/2 + 1/2)/2y3s =1.2935547796148952674767575125656y3d =1.2935547796148951782413405453553 13 求方程的解。l solve指令中，被解方程的正確書(shū)寫(xiě)，輸出量的正確次序。eq1=x2+y2=1;eq2=x*y=2;x,y=solve(eq1,eq2,x,y) x = (1/2 + (15(1/2)*i

15、)/2)(1/2)/2 - (1/2 + (15(1/2)*i)/2)(3/2)/2 - (1/2 + (15(1/2)*i)/2)(1/2)/2 + (1/2 + (15(1/2)*i)/2)(3/2)/2 (1/2 - (15(1/2)*i)/2)(1/2)/2 - (1/2 - (15(1/2)*i)/2)(3/2)/2 - (1/2 - (15(1/2)*i)/2)(1/2)/2 + (1/2 - (15(1/2)*i)/2)(3/2)/2y = (1/2 + (15(1/2)*i)/2)(1/2) -(1/2 + (15(1/2)*i)/2)(1/2) (1/2 - (15(1/2)

16、*i)/2)(1/2) -(1/2 - (15(1/2)*i)/2)(1/2) 14 求微分方程的通解，并繪制任意常數(shù)為1時(shí)解的圖形。l 理解指令dsolve的正確使用。l 對(duì)dsolve輸出結(jié)果的正確理解。l ezplot指令繪圖時(shí)，如何進(jìn)行線(xiàn)色控制。l 如何覆蓋那些不能反映圖形窗內(nèi)容的圖名。（1）求通解reset(symengine)clearsyms y xy=dsolve(0.2*y*Dy+0.25*x=0,x) y = 2(1/2)*(C3 - (5*x2)/8)(1/2) -2(1/2)*(C3 - (5*x2)/8)(1/2) （2）根據(jù)所得通解中不定常數(shù)的符號(hào)寫(xiě)出“對(duì)其進(jìn)行數(shù)值

17、替代的指令”yy=subs(y,C3,1) %將通解中的C3用1代替 yy = 2(1/2)*(1 - (5*x2)/8)(1/2) -2(1/2)*(1 - (5*x2)/8)(1/2) （3）觀察通解中兩個(gè)分解的平方是否相同yy(1)2=yy(2)2 ans = 1 （4）于是可考慮函數(shù)的平方關(guān)系syms Yfxy=Y2-yy(1)2 fxy =Y2 + (5*x2)/4 - 2 （5）根據(jù)平方關(guān)系式畫(huà)完整曲線(xiàn)clfezplot(fxy,-2,2,-2,2)axis squaregrid on （6）假如直接用“分解”畫(huà)曲線(xiàn)，那么將是不完整的 ezplot(yy(1),hold oncc=

18、get(gca,Children);set(cc,Color,r)ezplot(yy(2),axis(-2 2 -2 2)legend(y(1),y(2),hold off;title( )%覆蓋不完全的圖名gridaxis square 15 求一階微分方程的解。l 初值微分方程的符號(hào)解。l pretty指令的使用。x=dsolve(Dx=a*t2+b*t,x(0)=2,t)pretty(x)%比較易讀的表達(dá)形式 x =(t2*(3*b + 2*a*t)/6 + 2 2 t (3 b + 2 a t) - + 2 6 16 求邊值問(wèn)題的解。（注意：相應(yīng)的數(shù)值解法比較復(fù)雜）。l 邊值微分方程的

19、符號(hào)解。f,g=dsolve(Df=3*f+4*g,Dg=-4*f+3*g,f(0)=0,g(0)=1) f =sin(4*t)*exp(3*t)g =cos(4*t)*exp(3*t) （1） 數(shù)值數(shù)組及其運(yùn)算習(xí)題3及解答6 要求在閉區(qū)間上產(chǎn)生具有10個(gè)等距采樣點(diǎn)的一維數(shù)組。試用兩種不同的指令實(shí)現(xiàn)。第 1 章 數(shù)值計(jì)算中產(chǎn)生自變量采樣點(diǎn)的兩個(gè)常用指令的異同。%方法一 t1=linspace(0,2*pi,10)%方法二t2=0:2*pi/9:2*pi %要注意采樣間距的選擇，如這里的2*pi/9. t1 = Columns 1 through 7 0 0.6981 1.3963 2.0944

20、 2.7925 3.4907 4.1888 Columns 8 through 10 4.8869 5.5851 6.2832t2 = Columns 1 through 7 0 0.6981 1.3963 2.0944 2.7925 3.4907 4.1888 Columns 8 through 10 4.8869 5.5851 6.2832 1 由指令rng(default),A=rand(3,5)生成二維數(shù)組A，試求該數(shù)組中所有大于0.5的元素的位置，分別求出它們的“全下標(biāo)”和“單下標(biāo)”。第 1 章 數(shù)組下標(biāo)的不同描述：全下標(biāo)和單下標(biāo)。第 1 章 sub2ind, int2str, di

21、sp的使用。第 1 章 隨機(jī)發(fā)生器的狀態(tài)控制：保證隨機(jī)數(shù)的可復(fù)現(xiàn)性。rng(default)A=rand(3,5)ri,cj=find(A0.5);id=sub2ind(size(A),ri,cj);ri=ri;cj=cj;disp( )disp(大于0.5的元素的全下標(biāo))disp(行號(hào) ,int2str(ri)disp(列號(hào) ,int2str(cj)disp( )disp(大于0.5的元素的單下標(biāo))disp(id) A = 0.8147 0.9134 0.2785 0.9649 0.9572 0.9058 0.6324 0.5469 0.1576 0.4854 0.1270 0.0975 0

22、.9575 0.9706 0.8003 大于0.5的元素的全下標(biāo)行號(hào) 1 2 1 2 2 3 1 3 1 3列號(hào) 1 1 2 2 3 3 4 4 5 5 大于0.5的元素的單下標(biāo) 1 2 4 5 8 9 10 12 13 15 1 已知矩陣，運(yùn)行指令B1=A.(0.5), B2=A(0.5), 可以觀察到不同運(yùn)算方法所得結(jié)果不同。（1）請(qǐng)分別寫(xiě)出根據(jù)B1, B2恢復(fù)原矩陣A的程序。（2）用指令檢驗(yàn)所得的兩個(gè)恢復(fù)矩陣是否相等。第 1 章 數(shù)組運(yùn)算和矩陣運(yùn)算的不同。第 1 章 如何判斷兩個(gè)雙精度數(shù)組是否相等。第 1 章 norm指令的應(yīng)用。A=1,2;3,4;B1=A.0.5B2=A0.5A1=B

23、1.*B1;A2=B2*B2;norm(A1-A2,fro)% 求誤差矩陣的F-范數(shù)，當(dāng)接近eps量級(jí)時(shí)，就認(rèn)為實(shí)際相等B1 = 1.0000 1.4142 1.7321 2.0000B2 = 0.5537 + 0.4644i 0.8070 - 0.2124i 1.2104 - 0.3186i 1.7641 + 0.1458ians = 8.4961e-016 1 在時(shí)間區(qū)間 0,10中，繪制曲線(xiàn)。要求分別采取“標(biāo)量循環(huán)運(yùn)算法”和“數(shù)組運(yùn)算法”編寫(xiě)兩段程序繪圖。 第 1 章 加強(qiáng)理解數(shù)組運(yùn)算的機(jī)理和應(yīng)用。第 1 章 初步使用subplot, plot, xlabel, ylabel等指令繪圖。

24、%標(biāo)量循環(huán)運(yùn)算法t=linspace(0,10,200);N=length(t);y1=zeros(size(t);for k=1:Ny1(k)=1-exp(-0.5*t(k)*cos(2*t(k);endsubplot(1,2,1),plot(t,y1),xlabel(t),ylabel(y1),grid on%數(shù)組運(yùn)算法y2=1-exp(-0.5*t).*cos(2*t);subplot(1,2,2),plot(t,y2),xlabel(t),ylabel(y2),grid on 1 先運(yùn)行clear,format long,rng(default),A=rand(3,3)，然后根據(jù)A寫(xiě)出

25、兩個(gè)矩陣：一個(gè)對(duì)角陣B，其相應(yīng)元素由A的對(duì)角元素構(gòu)成；另一個(gè)矩陣C，其對(duì)角元素全為0，而其余元素與對(duì)應(yīng)的A陣元素相同。第 1 章 常用指令diag的使用場(chǎng)合。clear,format longrng(default)A=rand(3,3)B=diag(diag(A)C=A-B A = 0.814723686393179 0.913375856139019 0.278498218867048 0.905791937075619 0.632359246225410 0.546881519204984 0.126986816293506 0.097540404999410 0.95750683543

26、4298B = 0.814723686393179 0 0 0 0.632359246225410 0 0 0 0.957506835434298C = 0 0.913375856139019 0.278498218867048 0.905791937075619 0 0.546881519204984 0.126986816293506 0.097540404999410 0 1 先運(yùn)行指令x=-3*pi:pi/15:3*pi; y=x; X,Y=meshgrid(x,y); warning off; Z=sin(X).*sin(Y)./X./Y; 產(chǎn)生矩陣Z。（1）請(qǐng)問(wèn)矩陣Z中有多少個(gè)“非

27、數(shù)”數(shù)據(jù)？（2）用指令surf(X,Y,Z); shading interp觀察所繪的圖形。（3）請(qǐng)寫(xiě)出繪制相應(yīng)的“無(wú)裂縫”圖形的全部指令。第 1 章 初步感受三維曲面的繪制方法。第 1 章 非數(shù)NaN的產(chǎn)生，非數(shù)的檢測(cè)，和對(duì)圖形的影響。第 1 章 sum的應(yīng)用。第 1 章 eps如何克服“被零除”的尷尬。x=-3*pi:pi/15:3*pi;y=x;X,Y=meshgrid(x,y);warning offZ=sin(X).*sin(Y)./X./Y;NumOfNaN=sum(sum(isnan(Z)%計(jì)算“非數(shù)”數(shù)目subplot(1,2,1),surf(X,Y,Z),shading in

28、terp,title(有縫圖)%產(chǎn)生無(wú)縫圖XX=X+(X=0)*eps;YY=Y+(Y=0)*eps;ZZ=sin(XX).*sin(YY)./XX./YY;subplot(1,2,2),surf(XX,YY,ZZ),shading interp,title(無(wú)縫圖) NumOfNaN = 181 1 下面有一段程序，企圖用來(lái)解決如下計(jì)算任務(wù)：有矩陣，當(dāng)依次取10, 9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2, 1時(shí)，計(jì)算矩陣“各列元素的和”，并把此求和結(jié)果存放為矩陣Sa的第k行。例如時(shí)，A陣為，此時(shí)它各列元素 的和是一個(gè)行數(shù)組，并把它保存為Sa的第3行。問(wèn)題：該段程序的計(jì)算結(jié)果對(duì)嗎？假如計(jì)

29、算結(jié)果不正確，請(qǐng)指出錯(cuò)誤發(fā)生的根源，并改正之。第 1 章 正確理解sum的工作機(jī)理。第 1 章 reshape的應(yīng)用。（1）企圖用以下程序完成題目要求。for k=10:-1:1A=reshape(1:10*k,k,10);Sa(k,:)=sum(A);endSa Sa = 55 55 55 55 55 55 55 55 55 55 3 7 11 15 19 23 27 31 35 39 6 15 24 33 42 51 60 69 78 87 10 26 42 58 74 90 106 122 138 154 15 40 65 90 115 140 165 190 215 240 21 57

30、 93 129 165 201 237 273 309 345 28 77 126 175 224 273 322 371 420 469 36 100 164 228 292 356 420 484 548 612 45 126 207 288 369 450 531 612 693 774 55 155 255 355 455 555 655 755 855 955 （2）正確性分析除k=1外，計(jì)算所得Sa所有行的結(jié)果都正確。但k=1時(shí)，Sa的第1行應(yīng)該與相同。上述程序的錯(cuò)誤是對(duì)sum理解不正確。sum對(duì)二維數(shù)組，求和按列施行；而對(duì)一維數(shù)組，不管行數(shù)組或列數(shù)組，總是求那數(shù)組所有元素的和。正

31、確的程序應(yīng)該寫(xiě)成for k=10:-1:1A=reshape(1:10*k,k,10);Sa(k,:)=sum(A);if k=1Sa(k,:)=A;endendSa Sa = 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 3 7 11 15 19 23 27 31 35 39 6 15 24 33 42 51 60 69 78 87 10 26 42 58 74 90 106 122 138 154 15 40 65 90 115 140 165 190 215 240 21 57 93 129 165 201 237 273 309 345 28 77 126 175 224 273 322

32、371 420 469 36 100 164 228 292 356 420 484 548 612 45 126 207 288 369 450 531 612 693 774 55 155 255 355 455 555 655 755 855 955 第 1 章 數(shù)值運(yùn)算習(xí)題 4 及解答n 根據(jù)題給的模擬實(shí)際測(cè)量數(shù)據(jù)的一組和 試用數(shù)值差分diff或數(shù)值梯度gradient指令計(jì)算，然后把和曲線(xiàn)繪制在同一張圖上，觀察數(shù)值求導(dǎo)的后果。（模擬數(shù)據(jù)從prob_data401.mat獲得）l 強(qiáng)調(diào)：要非常慎用數(shù)值導(dǎo)數(shù)計(jì)算。l 練習(xí)mat數(shù)據(jù)文件中數(shù)據(jù)的獲取。l 實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)求導(dǎo)的后果l 把兩條曲線(xiàn)繪制

33、在同一圖上的一種方法。（1）從數(shù)據(jù)文件獲得數(shù)據(jù)的指令假如prob_data401.mat文件在當(dāng)前目錄或搜索路徑上clearload prob_data401.mat （2）用diff求導(dǎo)的指令dt=t(2)-t(1);yc=diff(y)/dt;%注意yc的長(zhǎng)度將比y短1plot(t,y,b,t(2:end),yc,r)grid on （3）用gradent求導(dǎo)的指令（圖形與上相似）dt=t(2)-t(1);yc=gradient(y)/dt;plot(t,y,b,t,yc,r)grid on 說(shuō)明l 不到萬(wàn)不得已，不要進(jìn)行數(shù)值求導(dǎo)。l 假若一定要計(jì)算數(shù)值導(dǎo)數(shù)，自變量增量dt 要取得比原有數(shù)

34、據(jù)相對(duì)誤差高1、2個(gè)量級(jí)以上。l 求導(dǎo)會(huì)使數(shù)據(jù)中原有的噪聲放大。n 采用數(shù)值計(jì)算方法，畫(huà)出在區(qū)間曲線(xiàn)，并計(jì)算。提示l 指定區(qū)間內(nèi)的積分函數(shù)可用cumtrapz指令給出。l 在計(jì)算要求不太高的地方可用find指令算得。l 指定區(qū)間內(nèi)的積分函數(shù)的數(shù)值計(jì)算法和cumtrapz指令。l find指令的應(yīng)用。dt=1e-4;t=0:dt:10;t=t+(t=0)*eps;f=sin(t)./t;s=cumtrapz(f)*dt;plot(t,s,LineWidth,3)ii=find(t=4.5);s45=s(ii) s45 = 1.6541 n 求函數(shù)的數(shù)值積分，并請(qǐng)采用符號(hào)計(jì)算嘗試復(fù)算。提示l 數(shù)值

35、積分均可嘗試。l 符號(hào)積分的局限性。l 符號(hào)積分的局限性。dx=pi/2000;x=0:dx:pi;s=trapz(exp(sin(x).3)*dx s = 5.1370 符號(hào)復(fù)算的嘗試syms xf=exp(sin(x)3);ss=int(f,x,0,pi) Warning: Explicit integral could not be found. In at 58ss =int(exp(sin(x)3),x = 0 . pi) n 用quad求取的數(shù)值積分，并保證積分的絕對(duì)精度為。l quadl，精度可控，計(jì)算較快。l 近似積分指令trapz獲得高精度積分的內(nèi)存和時(shí)間代價(jià)

36、較高。%精度可控的數(shù)值積分fx=(x)exp(-abs(x).*abs(sin(x);format longsq=quadl(fx,-10*pi,1.7*pi,1e-7) sq = 1.08784993815498 %近似積分算法x=linspace(-10*pi,1.7*pi,1e7);dx=x(2)-x(1);st=trapz(exp(-abs(x).*abs(sin(x)*dx st = 1.08784949973430 %符號(hào)積分算法y=exp(-abs(x)*abs(sin(x)si=vpa(int(y,-10*pi,1.7*pi),16) y =exp(-abs(x)*abs(si

37、n(x)si =1.087849499412911 n 求函數(shù)在區(qū)間中的最小值點(diǎn)。l 理解極值概念的鄰域性。l 如何求最小值。l 學(xué)習(xí)運(yùn)用作圖法求極值或最小值。l 感受符號(hào)法的局限性。（1）采用fminbnd找極小值點(diǎn)在指令窗中多次運(yùn)行以下指令，觀察在不同數(shù)目子區(qū)間分割下，進(jìn)行的極小值搜索。然后從一系列極小值點(diǎn)中，確定最小值點(diǎn)。clearft=(t)sin(5*t).2.*exp(0.06*t.*t)+1.8*abs(t+0.5)-1.5*t.*cos(2*t);disp(計(jì)算中，把 -5,5 分成若干搜索子區(qū)間。)N=input( 請(qǐng)輸入子區(qū)間數(shù) N，注意使N=1 ？);%該指令只能在指令窗

38、中運(yùn)行tt=linspace(-5,5,N+1);for k=1:Ntmin(k),fobj(k)=fminbnd(ft,tt(k),tt(k+1);endfobj,ii=sort(fobj);%將目標(biāo)值由小到大排列tmin=tmin(ii);%使極小值點(diǎn)做與目標(biāo)值相應(yīng)的重新排列fobj,tmin（2）最后確定的最小值點(diǎn)在的不同分割下，經(jīng)觀察，最后確定出最小值點(diǎn)是 -1.28498111480531相應(yīng)目標(biāo)值是-0.18604801006545（3）采用作圖法近似確定最小值點(diǎn)（另一方法）（A）在指令窗中運(yùn)行以下指令：clearft=(t)sin(5*t).2.*exp(0.06*t.*t)+1

39、.8*abs(t+0.5)-1.5*t.*cos(2*t);t=-5:0.001:5;ff=ft(t);plot(t,ff)grid on,shg（B）經(jīng)觀察后，把最小值附近鄰域放到足夠大，然后運(yùn)行以下指令，那放大圖形被推向前臺(tái)，與此同時(shí)光標(biāo)變?yōu)椤笆志€(xiàn)”，利用它點(diǎn)擊極值點(diǎn)可得到最小值數(shù)據(jù)tmin2,fobj2=ginput(1) tmin2 = -1.28500000993975fobj2 = -0.18604799369136 出現(xiàn)具有相同數(shù)值的刻度區(qū)域表明已達(dá)最小可分辨狀態(tài)（4）符號(hào)法求最小值的嘗試syms tfts=sin(5*t)2*exp(0.06*t*t)-1.5*t*cos(2

40、*t)+1.8*abs(t+0.5);dfdt=diff(fts,t);%求導(dǎo)函數(shù)tmin=solve(dfdt,t)%求導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)fobj3=subs(fts,t,tmin)%得到一個(gè)具體的極值點(diǎn) tmin =-.60100931947716486053884417850955e-2fobj3 =.89909908144684551670208797723124 說(shuō)明l 最小值是對(duì)整個(gè)區(qū)間而言的，極小值是對(duì)鄰域而言的。l 在一個(gè)區(qū)間中尋找最小值點(diǎn)，對(duì)不同子區(qū)間分割進(jìn)行多次搜索是必要的。這樣可以避免把極小值點(diǎn)誤作為最小值點(diǎn)。最小值點(diǎn)是從一系列極小值點(diǎn)和邊界點(diǎn)的比較中確定的。l 作圖法求最小值

41、點(diǎn)，很直觀。假若繪圖時(shí)，自變量步長(zhǎng)取得足夠小，那么所求得的最小值點(diǎn)有相當(dāng)好的精度。l 符號(hào)法在本例中，只求出一個(gè)極值點(diǎn)。其余很多極值點(diǎn)無(wú)法秋初，更不可能得到最小值。n 設(shè)，用數(shù)值法和符號(hào)法求。l 學(xué)習(xí)如何把高階微分方程寫(xiě)成一階微分方程組。l ode45解算器的導(dǎo)數(shù)函數(shù)如何采用匿名函數(shù)形式構(gòu)成。l 如何從ode45一組數(shù)值解點(diǎn)，求指定自變量對(duì)應(yīng)的函數(shù)值。（1）改寫(xiě)高階微分方程為一階微分方程組令，于是據(jù)高階微分方程可寫(xiě)出（2）運(yùn)行以下指令求y(t)的數(shù)值解format longts=0,1;y0=1;0;dydt=(t,y)y(2);-2*y(1)+3*y(2)+1;%匿名函數(shù)寫(xiě)成的ode45所需

42、得導(dǎo)數(shù)函數(shù)tt,yy=ode45(dydt,ts,y0); y_05=interp1(tt,yy(:,1),0.5,spline), %用一維插值求y(0.5) y_05 = 0.78958020790127 （3）符號(hào)法求解syms t;ys=dsolve(D2y-3*Dy+2*y=1,y(0)=1,Dy(0)=0,t)ys_05=subs(ys,t,sym(0.5) ys =1/2-1/2*exp(2*t)+exp(t)ys_05 =.78958035647060552916850705213780 說(shuō)明l 第條指令中的導(dǎo)數(shù)函數(shù)也可采用M函數(shù)文件表達(dá)，具體如下。function S=pro

43、b_DyDt(t,y)S=y(2);-2*y(1)+3*y(2)+1; n 求矩陣的解，A為3階魔方陣，b是的全1列向量。提示l 了解magic指令l rref 用于方程求解。l 矩陣除法和逆陣法解方程。l 滿(mǎn)秩方陣求解的一般過(guò)程。l rref 用于方程求解。l 矩陣除法和逆陣法解方程。A=magic(3);%產(chǎn)生3階魔方陣b=ones(3,1);%（3*1）全1列向量R,C=rref(A,b)%Gauss Jordan消去法解方程，同時(shí)判斷解的唯一性x=Ab%矩陣除解方程xx=inv(A)*b%逆陣法解方程 R = 1.0000 0 0 0.0667 0 1.0000 0 0.0667 0

44、0 1.0000 0.0667C = 1 2 3x = 0.0667 0.0667 0.0667xx = 0.0667 0.0667 0.0667 說(shuō)明l rref指令通過(guò)對(duì)增廣矩陣進(jìn)行消去法操作完成解方程。由分解得到的3根“坐標(biāo)向量”和（或）C3指示的3根基向量，可見(jiàn)A3滿(mǎn)秩，因此方程解唯一。l 在本例情況下，矩陣除、逆陣法、rref法所得解一致。n 求矩陣的解，A為4階魔方陣，b是的全1列向量。提示l 用rref 可觀察A不滿(mǎn)秩，但b在A的值空間中，這類(lèi)方程用無(wú)數(shù)解。l 矩陣除法能正確求得這類(lèi)方程的特解。l 逆陣法不能求得這類(lèi)方程的特解。l 注意特解和齊次解l A不滿(mǎn)秩，但b在A的值空間中

45、，這類(lèi)方程的求解過(guò)程。l rref 用于方程求解。l 矩陣除法能正確求得這類(lèi)方程的特解。l 逆陣法不能求得這類(lèi)方程的特解。l 解的驗(yàn)證方法。l 齊次解的獲取。l 全解的獲得。（1）借助增廣矩陣用指令rref求解A=magic(4);%產(chǎn)生3階魔方陣b=ones(4,1);%全1列向量R,C=rref(A,b)%求解，并判斷解的唯一性 R = 1.0000 0 0 1.0000 0.0588 0 1.0000 0 3.0000 0.1176 0 0 1.0000 -3.0000 -0.0588 0 0 0 0 0C = 1 2 3 關(guān)于以上結(jié)果的說(shuō)明：l R階梯陣提供的信息n 前4列是原A陣經(jīng)消

46、元變換后的階梯陣；而第5列是原b向量經(jīng)相同變換后的結(jié)果。n R的前三列為“基”，說(shuō)明原A陣秩為3；而第4列的前三個(gè)元素，表示原A陣的第4列由其前三列線(xiàn)性組合而成時(shí)的加權(quán)系數(shù)，即方程的一個(gè)解。n R的第5列表明：b可由原A陣的前三列線(xiàn)性表出；b給出了方程的一個(gè)解；由于原A陣“缺秩”，所以方程的確解不唯一。l C數(shù)組提供的信息n 該數(shù)組中的三個(gè)元素表示變換取原A陣的第1，2，3列為基。n 該數(shù)組的元素總數(shù)就是“原A陣的秩”（2）矩陣除求得的解x=Ab Warning: Matrix is close to singular or badly scaled. Results may be inaccurate. RCOND = 1.306145e-017.x = 0.0588 0.1176 -0.0588 0 運(yùn)行結(jié)果指示：矩陣除法給出的解與rref解相同。（實(shí)際上，M