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文檔簡介

1、我們知道，n階范德蒙德行列式，當這些兩兩互異時，這個事實有助于我們理解不少結果例1 證明一個n次多項式之多有n個互異根證 設有個互異的零點，則有，即這個關于的齊次線性方程組的系數行列式，因此這個矛盾表明至多有n個互異根例2 設是n個兩兩互異的數證明對任意n個數，存在惟一的次數小于n的多項式：，使得，證 從定義容易看出的次數小于n，且，故只需證明唯一性即可設滿足，即這個關于的線性方程組的系數行列式，故是唯一的，必須 這個例子就是有名的拉格朗日插值公式例3 設是個復系數多項式，滿足，證明證 設，取，分別以代入，可得這個關于的齊次線性方程組的系數行列式，因此例4 設n是奇數，是個復系數多項式，滿足，

2、證明證 注意到當n是奇數時，可按照例3的思路完成證明例5 設A是個n階矩陣，證明A的屬于不同特征值的特征向量線性無關證 設是A的兩兩不同的r個特征值，非零向量適合，假設，那么有，即，注意到，必須，于是，這證明了線性無關例6 計算行列式，其中解 注意到下面的等式：即得例7 計算行列式，其中解 直接利用例6可得例8 設是正整數，證明n階行列式能被整除證 直接運用例6、例7可得能被整除例9 計算n階范德蒙德行列式，其中解 注意到當且僅當，可得，由此，的?，F在來確定的幅角：令，故對于上面考慮的j和k，總有，這意味著，因此，由此可設，其中這樣就求得了例10 證明缺項的n階范德蒙德行列式證 按的第一行展開

3、行列式，可得例11 設有n個常數，n個兩兩不同的常數以及由x的恒等式定義的一個多項式對于一個已知多項式，定義另一個多項式，它為上面的恒等式中將分別代之以所得的x的恒等式所確定證明用多項式除以所得的余式為證 由于n階范德蒙德行列式，按題設這里的行列式的最后一列展開，可知是個次數小于n的多項式從條件知對每個，必須，由拉格朗日插值公式知同理可求出由恒等式所定義的多項式 設，其中的次數小于n為證，只需證明時，即可事實上，對每個，是易見的，因此結論成立例12 設在上連續(xù)，在內存在2階導數，證明在上有，這里特別地，存在，使證 在上構造函數，則在上連續(xù)，在內存在2階導數因，由中值定理存在，使，故再運用一次中值定理，存在，使，即，展開行列式即得特別地，取，則有相應的，使上式成立，即，化簡即得例13 設在內存在階導數，證明存在，使證 在上構造函數，在內存

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