高等數(shù)學(xué)基礎(chǔ)

1、高等數(shù)學(xué)基礎(chǔ)第一節(jié) 函數(shù)極限的定義及分析方法一函數(shù)極限的定義 定義1：當自變量無限趨近于（）時，如果函數(shù)無限趨近于一個常數(shù)A，就說當趨向時，函數(shù)的極限是A，記作。特別地，；。 例題1：判斷下列函數(shù)的極限： （1）（2） （3） 定義2：當自變量取正值且無限增大時，如果函數(shù)的值無限趨近于一個常數(shù)A，就說當趨向于正無窮大時，函數(shù)的極限是A，記作：。也可以記作，當時，。 當自變量取負值而無限增大時，如果函數(shù)的值無限趨近于一個常數(shù)A，就說當趨向于負無窮大時，函數(shù)的極限是A，記作：。也可以記作，當時，。 當自變量的絕對值無限增大時，如果函數(shù)的值無限趨近于一個常數(shù)A，就說當趨向于無窮大時，函數(shù)的極限是A，

2、記作：。也可以記作，當時， 特例：對于函數(shù)（是常數(shù)），當自變量的絕對值無限增大時，函數(shù)的值保持不變，所以當趨向于無窮大時，函數(shù)的極限就是，即。例題2：判斷下列函數(shù)的極限：（1） （2）（3） （4）（5） （6）（7） （8）二無窮小與無窮大 定義1：如果函數(shù)f(x)當xx0(或x)時的極限為零，那么稱函數(shù)f(x)為當xx0(或x)時的無窮小。 當時，等都是無窮小。當時， 等都是無窮小。 定義2：如果當xx0(或x)時，對應(yīng)的函數(shù)值的絕對值f(x)無限增大，就稱函數(shù)f(x)為當xx0(或x)時的無窮大。 當時， 等都是正無窮大；當時， 是正無窮大等. 定理1：在自變量的同一變化過程中，如果f(

3、x)為無窮大，則1f(x)為無窮??；反之，如果f(x)為無窮小，且f(x)0，則1f(x)為無窮大。三極限運算法則 定理1：有限個無窮小的和也是無窮小。 定理2：有界函數(shù)與無窮小的乘積是無窮小。 定理3：對于函數(shù)極限有如下的運算法則：如果，那么 也就是說，如果兩個函數(shù)都有極限，那么這兩個函數(shù)的和、差、積、商組成的函數(shù)極限，分別等于這兩個函數(shù)的極限的和、差、積、商（作為除數(shù)的函數(shù)的極限不能為0）。當C是常數(shù)，n是正整數(shù)時： 這些法則對于的情況仍然適用. 例題3：分析下列函數(shù)的極限： 例1求 例2求 例3求 分析：當時，分母的極限是0，不能直接運用上面的極限運用法則，注意函數(shù)在定義域內(nèi)，可以將分子

4、、分母約去公因式后變成，由此即可求出函數(shù)的極限。 例4 求 分析：當時，分子、分母都沒有極限，不能直接運用上面的商的極限運算法則。如果分子、分母都除以，所得到的分子、分母都有極限，就可以用商的極限運用法則計算。 例5求 分析：同例4一樣，不能直接用法則求極限. 如果分子、分母都除以，就可以運用法則計算了。例6； 例7例8； 例9例10 例11例12 第二節(jié) 函數(shù)的導(dǎo)數(shù)一引論兩個典型背景示例 例一：運動物體的瞬時速度 設(shè)質(zhì)點沿軸作直線運動，若己知其運動規(guī)律(即路程與時間的函數(shù)關(guān)系)為，求在時刻的瞬時速度。 解：(1) 求時段到的平均速度： (2) 平均速度的極限是瞬時速度. 即：因此，如果極限：

5、 存在，這個極限值就是質(zhì)點在時刻的瞬時速度。 例二：曲線的切線斜率： 設(shè)曲線由方程確定. 。要求在點的切線斜率。 （1）求區(qū)間到的弦的斜率: =;（2）弦斜率的極限是切線的斜率: =； （3）曲線：在點的切線： 斜率等于，切線的方程稱為： 二導(dǎo)數(shù)的定義 定義1：假設(shè)函數(shù)在點某鄰域有定義，如果極限=存在，則稱其值為函數(shù)在點的導(dǎo)數(shù), 并說在可導(dǎo)。在點的導(dǎo)數(shù)記作或或或函數(shù)在點的導(dǎo)數(shù)，就是在點函數(shù)關(guān)于自變量的變化率。運動質(zhì)點在時刻的瞬時速度是距離對時間的導(dǎo)數(shù)。曲線在點切線斜率是函數(shù)f對x的導(dǎo)數(shù)。三課堂練習(xí)： 例1常數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。 解：由導(dǎo)數(shù)定義(注意到)得到所以 .例2和的導(dǎo)數(shù)：解：= 同樣的方法可以

6、得到 . (注意幾何意義)三函數(shù)的求導(dǎo)法則: 定理1：若函數(shù)、在點都可導(dǎo)，則： 1對于任意常數(shù)，函數(shù)在點可導(dǎo)，并且. 2函數(shù)在點可導(dǎo)，并且 3函數(shù)在點可導(dǎo)，并且.4 如果，則在點可導(dǎo)，并且.示例1：f(x)=2x3-5x2+3x-7，求f(x)及f(3)解：f(x)= 6x2-10x+3 f(3)=47 示例2：求、的導(dǎo)數(shù) 解：同樣可以得到：.定理2：復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：如果在點x可導(dǎo)，而在點可導(dǎo)，則復(fù)合函數(shù)在點x可導(dǎo)，則其導(dǎo)數(shù)為：dydx=f ugx 或 dydx=dydududx示例4：y=sin2x1+x2，求dydx。解：dydx=2（1-x2）（1+x2）2cos2x1+x2四基本導(dǎo)數(shù)公

7、式1(為常數(shù))23；456789101112131415(sint)= cost16cost=- sint五課堂練習(xí)： 例1 設(shè)，計算 解： 例2 設(shè),計算 解：=若, 怎么辦？五高階導(dǎo)數(shù) 對變速直線運動而言，其速度v(t)是位置函數(shù)s(t)對時間t的導(dǎo)數(shù)，即：v=dsdt 或 v=s 同時，加速度a又是速度v對時間t的變化率，即速度v對時間t的導(dǎo)數(shù)：a=dvdt=ddtdsdt 或 a=s 這種導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)ddtdsdt或s叫做s對t的二階導(dǎo)數(shù)，記作：d2sdt2 或 s(t)一般的，函數(shù)y=f(x)的導(dǎo)數(shù)y=f(x)仍然是x的函數(shù)，我們把y=f(x)的導(dǎo)數(shù)叫做y=f(x)的二階導(dǎo)數(shù)，記作y或

8、d2ydx2。相應(yīng)的，二階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)，叫做三階導(dǎo)數(shù)，三階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)叫做四階導(dǎo)數(shù)，n-1階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)叫做n階導(dǎo)數(shù)。二階及二階以上的導(dǎo)數(shù)統(tǒng)稱為高階導(dǎo)數(shù)。示例：例4y=ax+b，求y解：y=a，y=0。例5s=sint，求s解：s=cost，s=-2sint例6y=2x-x2，求y解：y=122-2x2x-x2=1-x2x-x2y=-2x-x212-1-x2x-x2-322x-x2y=-2x-x212-1-x2-2x22x-x212（2x-x2）y=-2x+x2-1-x2（2x-x2）2x-x212=1（2x-x2）32第三節(jié) 函數(shù)的微分一引論 設(shè)質(zhì)點作直線運動，若己知其運動規(guī)律(即路程與時間的函數(shù)

9、關(guān)系)為，求在到()時間內(nèi)質(zhì)點的位移。 s=s(x)tt0sst=limt0st0-s(t0+t)t=s=t 上述情況下，稱函數(shù)在點t0可微，并稱dt為函數(shù)在點t0處的微分。導(dǎo)數(shù)是從函數(shù)對自變量變化的快慢來研究； 而微分則是直接研究函數(shù)的增量。二函數(shù)微分的定義 定義1：設(shè)在點的增量可表示成：=則稱函數(shù)在點可微。線性函數(shù)稱為函數(shù)在點的微分。記作：dy。通常把自變量x的增量x稱為自變量的微分，記作dx。即：=，或者=dy=fxdx三 基本初等函數(shù)微分公式 1基本初等函數(shù)微分公式1.(為常數(shù))2.3.;4.5.6. 7. 8. 9.10.11. 12. 13. 14. 2函數(shù)和、差、積、商的微分法則

10、四微分在近似計算中的應(yīng)用1分析：如果y=f（x）在點x0處的導(dǎo)數(shù)f(x)0，且x很小時，我們有：ydy=f(x0)x上式可改為：y=fx0+x-fx0f(x0)x或：fx0+xfx0+f(x0)x上式中，令x=x0+x，即：x=x-x0，則上式可改寫為：fxfx0+fx0x-x0 取x0=0，則得：fxf0+f0x2常用的近似公式（x取極小值時）：(1)n1+x1+1nx(2)sinxx(x用弧度作單位表達)(3)tanxx(x用弧度作單位表達)(4)cosxx(x用弧度作單位表達)(5)ex1+x(6)ln(1+x)x示例：例1計算sin3030解：sin3030=sin(6+360)0.5

11、076例2計算1.05解：1.051+120.05=1.025第四節(jié) 不定積分一不定積分的概念和性質(zhì) 1原函數(shù) （一） 原函數(shù)概念 定義1:如果在某區(qū)間上恒有，則稱是在區(qū)間上的一個原函數(shù)。 例如： 在區(qū)間，是的一個原函數(shù)； 在區(qū)間，是的一個原函數(shù)； 在區(qū)間，是的一個原函數(shù)；也是的一個原函數(shù)等等； （二） 原函數(shù)的性質(zhì)都是在區(qū)間上的原函數(shù)，則存在常數(shù)，使得?；蛘哒f，同一函數(shù)的兩個原函之間只差一個常數(shù)。 重要結(jié)論： 若在區(qū)間上存在原函數(shù)，則在區(qū)間上的所有原函數(shù)都可以寫成的形式。2 不定積分：（一）不定積分的定義：定義2：在區(qū)間I上，函數(shù)的帶有任意常數(shù)項的原函數(shù)稱為（或）在區(qū)間上的不定積分。記作：其

12、中，記號稱為積分號，稱為被積函數(shù)，稱為被積表達式，x稱為積分變量。由定義可知，如果F(x) 是f(x)在區(qū)間I上的一個原函數(shù)，那么F(x)+C就是f(x)的不定積分，即：示例: 例1求解：由于x33=x2，所以x33是x2的一個原函數(shù)，因此： 求不定積分是求微分的逆運算，因此任何一個微分公式，反過來就是一個求不定積分的公式。（二）基本積分表： 以下是基本初等函數(shù)微分公式變來的，稱為基本積分表.(1) (2) (3) ()(4) (5) (6) (7) (8) (9) (10) (11) (12) ()(13) (14) (15) （16）（17）（18）（19） ( );（20） ( );（2

13、1） ( );（22） （23）（24）（三）不定積分的性質(zhì)：性質(zhì)一: 求不定積分是求導(dǎo)數(shù)微分的逆運算：即（1） 若有原函數(shù)則：，. （2）若 ，可導(dǎo)，且導(dǎo)函數(shù)連續(xù)，則：, 性質(zhì)二：(不定積分運算的線性性) 若有原函數(shù)，則： （1）（2）若，則 示例： 例2： 求不定積分 解：= 例3：求不定積分 解：利用三角恒等式得到. 例4： 求不定積分 解：=（x0,sgnx=1，x=0,sgnx= 0，xb時，2（k為常數(shù)）3 4若，則對于任意常數(shù)，有： ; 性質(zhì)二：區(qū)間的可加性 若,，則,，則：; 性質(zhì)三：積分的不等式性質(zhì) 設(shè),若，則：. 推論1：設(shè), 若, 則 推論2：設(shè)但不恒為零,則, 則. (

14、) 推論3：設(shè),則,并且. 五牛頓萊布尼茨公式 定理1：( 牛頓萊布尼茨公式) 設(shè)，是在上的一個原函數(shù)，則有：.這就是Newton-Leibniz公式，又稱微積分基本公式。 該公式又可寫為： 示例： 例3：計算定積分 解：因為在區(qū)間是被積函數(shù)一個原函數(shù)，根據(jù)牛頓萊布尼茨公式得到：. 最好與不定積分求原函數(shù)結(jié)合起來：=例5： 計算 解： .七定積分在物理上的應(yīng)用1變力作功問題 質(zhì)量為的物體, 在外力的作用 (外力的方向與軸的夾角為)下，沿軸在從位移到，求外力所作的功。F(x) x . 例11在質(zhì)量為的質(zhì)點引力作用下，質(zhì)量為質(zhì)點從a點運動到b點所作的功？ 解： , 例13動能定理的推導(dǎo)： ,= 例14動量定理的推導(dǎo)： y h F(x) 0 x x+dx x dx l 2物體間引力問題 例14求線密度為的桿(桿長為) 對單位質(zhì)量質(zhì)點的引力。 , = =第六節(jié) 偏導(dǎo)一偏導(dǎo)數(shù)的定義及其計算法 1偏導(dǎo)數(shù)的定義：定義1：設(shè)函數(shù)z=f(x,y)在點（x0，y0）的某一領(lǐng)域內(nèi)有定義，當y固定在y0，而x在x0處有增量x時，相應(yīng)地函數(shù)有增量：fx0，+x，y0-f(x0，y0)如果limx0fx0，+x，y0-f(x0，y0)x存在，則稱此極限為函數(shù)z=f(x,y)在點（x0，y0）處對x的偏導(dǎo)數(shù)，記作：，或fx(x0，y0)類似的，可以定義函數(shù)z