圓的基礎(chǔ)知識(shí)

1、24.1 圓教學(xué)設(shè)計(jì)一、教學(xué)目標(biāo)知識(shí)技能 : 1了解圓和圓的相關(guān)概念 , 知道圓實(shí)軸對(duì)稱圖形 , 理解并掌握垂直于弦 的直徑有哪些性質(zhì) . 2 了解弧、弦、圓心角、圓周角的定義，明確它們之間的聯(lián)系.數(shù)學(xué)思考 : 1在引入圓的定義過(guò)程中，明確與圓相關(guān)的定義，體會(huì)數(shù)學(xué)概念間的 聯(lián)系 . 2 在探究弧、弦、圓心角、圓周角之間的聯(lián)系的過(guò)程中，培養(yǎng)學(xué)生的觀察、總結(jié)及 概括能力 .問(wèn)題解決 : 1 在明確垂直于弦的直徑的性質(zhì)后，能根據(jù)這個(gè)性質(zhì)解決一些簡(jiǎn)單的 實(shí)際問(wèn)題 .2 能根據(jù)弧、弦、圓心角、圓周角的相關(guān)性質(zhì)解決一些簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題 .情感態(tài)度： 在引入圓的定義及運(yùn)用相關(guān)性質(zhì)解決實(shí)際問(wèn)題的過(guò)程中， 感悟數(shù)

2、學(xué)源于 生活又服務(wù)于生活 . 在探索過(guò)程中，形成實(shí)事求是的態(tài)度和勇于創(chuàng)新的精神.二、重難點(diǎn)分析教學(xué)重點(diǎn)： 垂徑定理及其推論；圓周角定理及其推論垂徑定理及其推論反映了圓的重要性質(zhì)， 是圓的軸對(duì)稱性的具體化， 也是證明線段 相等、角相等、 垂直關(guān)系的重要依據(jù)，同時(shí)也為進(jìn)行圓的計(jì)算和作圖提供了方法和依據(jù)；圓 周角定理及其推論對(duì)于角的計(jì)算、 證明角相等、 弧、弦相等等問(wèn)題提供了十分簡(jiǎn)便的方法 所 以垂徑定理及其推論、圓周角定理及其推論是本小節(jié)的重點(diǎn)對(duì)于垂徑定理， 可以結(jié)合圓的軸對(duì)稱性和等腰三角形的軸對(duì)稱性， 引導(dǎo)學(xué)生去發(fā)現(xiàn) “思考”欄目圖中相等的線段和弧，再利用疊合法推證出垂徑定理對(duì)于垂徑定理的推論，

3、 可以按條件畫出圖形， 讓學(xué)生觀察、 思考， 得出結(jié)論 要注意讓學(xué)生區(qū)分它們的題設(shè)和結(jié)論， 強(qiáng)調(diào)“弦不是直徑”的條件圓周角定理的證明， 分三種情況進(jìn)行討論第一種情況是特殊情況，是證明的基礎(chǔ)，其他兩 種情況都可以轉(zhuǎn)化為第一種情況來(lái)解決， 轉(zhuǎn)化的條件是添加以角的頂點(diǎn)為端點(diǎn)的直徑為輔助 線這種由特殊到一般的思想方法，應(yīng)當(dāng)讓學(xué)生掌握教學(xué)難點(diǎn)： 垂徑定理及其推論；圓周角定理的證明垂徑定理及其推論的條件和結(jié)論比較復(fù)雜， 容易混淆， 圓周角定理的證明要用到完 全歸納法，學(xué)生對(duì)于分類證明的必要性不易理解，所以這兩部分內(nèi)容是本節(jié)的難點(diǎn)圓是生活中常見的圖形 , 學(xué)生小學(xué)時(shí)對(duì)它已經(jīng)有了初步接觸 , 對(duì)于圓的基本性質(zhì)

4、有 所了解 . 但是對(duì)于垂徑定理和推論、圓周角定理和推論及其理論推導(dǎo)還比較陌生，教師應(yīng)該 鼓勵(lì)引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)動(dòng)手操作、動(dòng)腦思考等途徑去發(fā)現(xiàn)結(jié)論，加深認(rèn)識(shí) .三、學(xué)習(xí)者學(xué)習(xí)特征分析圓是生活中常見的圖形 , 學(xué)生小學(xué)時(shí)對(duì)它已經(jīng)有了初步接觸 , 對(duì)于圓的基本性質(zhì)有 所了解 . 但是對(duì)于垂徑定理和推論、圓周角定理和推論及其理論推導(dǎo)還比較陌生，教師應(yīng)該 鼓勵(lì)引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)動(dòng)手操作、動(dòng)腦思考等途徑去發(fā)現(xiàn)結(jié)論，加深認(rèn)識(shí) .四、教學(xué)過(guò)程（一）創(chuàng)設(shè)情境，引入新課圓是一種和諧、美麗的圖形，圓形物體在生活中隨處可見 . 在小學(xué)我們已經(jīng)認(rèn)識(shí)了 圓這種基本的幾何圖形，并能計(jì)算圓的周長(zhǎng)和面積 .早在戰(zhàn)國(guó)時(shí)期， 墨經(jīng)一書中就有

5、關(guān)于“圓”的記載， 原文為“圓， 一中同長(zhǎng)也”. 這是給圓下的定義，意思是說(shuō)圓上各點(diǎn)到圓心的距離都等于半徑 .現(xiàn)實(shí)生活中，路上行駛的各種車輛都是圓形的輪子，為什么車輪做成圓形的？為什么不做成橢圓形和四邊形的呢？這一節(jié)我們就一起來(lái)學(xué)習(xí)圓的有關(guān)知識(shí)，并且來(lái)解決上述的疑問(wèn)（二）合作交流，探索新知1觀察圖形，引入概念（1 ）圓是生活中常見的圖形，許多物體都給我們以圓的形象（多媒體圖片引入）（2）觀察畫圓的過(guò)程，你能由此說(shuō)出圓的形成過(guò)程嗎？（3）圓的概念：讓學(xué)生根據(jù)上面所找出的特點(diǎn)，描述什么樣的圖形是圓（學(xué)生可以在討論、 交流的基礎(chǔ)上自由發(fā)言；絕大部分學(xué)生能夠比較準(zhǔn)確的描述出圓的定義，部分學(xué)生沒(méi)有說(shuō)準(zhǔn)確

6、, 在其他學(xué)生帶動(dòng)下也能夠說(shuō)出）在學(xué)生充分交流的基礎(chǔ)上得到圓的定義：在一個(gè)平面內(nèi)，線段 0A繞它固定的一個(gè)端點(diǎn) 0旋轉(zhuǎn)一周，另一個(gè)端點(diǎn) A形成的圖 形叫做圓，固定的端點(diǎn) 0叫做圓心，線段 0A叫做半徑.（多媒體動(dòng)畫引入）（4）圓的表示方法以點(diǎn)0為圓心的圓，記作“O 0',讀作“圓 O （5）從畫圓的過(guò)程可以看出： 圓上各點(diǎn)到定點(diǎn)（圓心 0的距離都等于定長(zhǎng)（半徑 r）; 到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)都在同一個(gè)圓上.0的距離等于定長(zhǎng)r的點(diǎn)的 在幾何中十分重要， 因?yàn)橐虼耍瑘A心為0半徑為r的圓可以看成是所有到定點(diǎn) 集合.（把一個(gè)幾何圖形看成是滿足某種條件的點(diǎn)的集合的思想，這實(shí)際上就是關(guān)于軌跡的概

7、念.圓，實(shí)際上是“到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)”的軌跡.事實(shí)上，保證了圖形上點(diǎn)的純粹性，即不雜；保證了圖形的完備性，即沒(méi)有漏掉滿足這種條 件的點(diǎn)同時(shí)符合，保證了圖形上的點(diǎn)“不雜不漏”）（6）由車輪為什么是圓形，讓學(xué)生感受圓在生活中的重要性.問(wèn)題1，車輪為什么做成圓形?問(wèn)題2,如果做成正方形會(huì)有什么結(jié)果？（通過(guò)車輪實(shí)例，首先讓學(xué)生感受圓是生活中大量存在的圖形.教學(xué)時(shí)給學(xué)生展示正方形車輪在行走時(shí)存在的問(wèn)題，使學(xué)生感受圓形的車輪運(yùn)轉(zhuǎn)起來(lái)最平穩(wěn).）把車輪做成圓形，車輪上各點(diǎn)到車輪中心（圓心）的距離都等于車輪的半徑，當(dāng)車輪在平面上滾動(dòng)時(shí)，車輪中心與平面的距離保持不變，因此，當(dāng)車輛在平坦的路上行駛時(shí)，坐車的人

8、會(huì)感覺到非常平穩(wěn)，這也是車輪都做成圓形的數(shù)學(xué)道理.2. 與圓有關(guān)的概念（1） 連接圓上任意兩點(diǎn)的線段（如線段AC叫做弦（2）經(jīng)過(guò)圓心的弦（如圖中的 二）叫做直徑.（3）圓上任意兩點(diǎn)間的部分叫做圓弧，簡(jiǎn)稱弧.小于半圓的?。ㄈ鐖D中的叫做劣??；大于半圓的弧（用三個(gè)字母表示，如圖中的ABC,）叫做優(yōu)弧.（4）圓的任意一條直徑的兩個(gè)端點(diǎn)把圓分成兩條弧，每一條弧都叫做半圓.（5） 能夠重合的兩個(gè)圓叫做等圓.（容易看出半徑相等的兩個(gè)圓是等圓，反過(guò)來(lái), 同圓或等圓的半徑相等）（6 ）在同圓或等圓中，能夠互相重合的弧叫做等弧.（對(duì)于和圓有關(guān)的這些概念，應(yīng)讓學(xué)生借助圖形進(jìn)行理解，并弄清楚它們之間的聯(lián)系和區(qū) 別.例

9、如，直徑是弦，但弦不一定是直徑. 半圓是弧，但弧不一定是半圓； 半圓即不是劣弧， 也不是優(yōu)弧.）3. 垂直于弦的直徑（1）創(chuàng)設(shè)情景引入新課問(wèn)題：你知道趙州橋嗎？它是1300多年前我國(guó)隋代建造的石拱橋 ，是我國(guó)古代人民 勤勞與智慧的結(jié)晶.它的主橋是圓弧形 ，它的跨度（弧所對(duì)的弦的長(zhǎng)）為37.4m,拱高（弧的中 點(diǎn)到弦的距離）為7.2m.你能求出趙州橋主橋拱的半徑嗎？）（2）圓的對(duì)稱性的探究 活動(dòng)：用紙剪一個(gè)圓，沿著圓的任意一條直徑對(duì)折，重復(fù)幾次，你發(fā)現(xiàn)了什么？由此你能得到什么結(jié)論？（學(xué)生可能會(huì)找到1條，2條，3條教師不要過(guò)早地去評(píng)判，應(yīng)該把機(jī)會(huì)留給學(xué)生， 讓他們?cè)诨ハ嘟涣髦校?認(rèn)識(shí)到圓的對(duì)稱軸有

10、無(wú)數(shù)多條，要鼓勵(lì)學(xué)生表達(dá)自己的想法） 得到結(jié)論：圓是軸對(duì)稱圖形，任何一條直徑所在直線都是它的對(duì)稱軸.（3）垂徑定理及其逆定理 垂徑定理的探究如圖，AB是OO的一條弦，做直徑 CD使CDLAB垂足為E.（ 1）圓是軸對(duì)稱圖 形嗎？如果是，它的對(duì)稱軸是什么？ （2）你能發(fā)現(xiàn)圖中有哪些相等的線段和弧嗎？為什么？（旨在通過(guò)這樣復(fù)合圖形的軸對(duì)稱性探索垂徑定理，教學(xué)時(shí)應(yīng)鼓勵(lì)學(xué)生探索方式的多樣性.引導(dǎo)學(xué)生理解， 證明垂徑定理的基本思路是：先構(gòu)造等腰三角形， 由垂直于弦得出平分弦；然后將直徑看做圓的對(duì)稱軸，利用軸對(duì)稱圖形對(duì)應(yīng)元素相等的性質(zhì)得出平分弧的結(jié)論）（多媒體動(dòng)畫引入）垂徑定理：垂直于弦的直徑平分弦，并且

11、平分弦所對(duì)的兩條弧. 垂徑定理的逆定理的探究（仿照前面的證明過(guò)程，鼓勵(lì)學(xué)生獨(dú)立探究，然后通過(guò)同學(xué)間的交流得出結(jié)論） 垂徑定理的逆定理：平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對(duì)的兩條弧. 解決求趙州橋拱半徑的問(wèn)題4. 弧，弦，圓心角（1）通過(guò)實(shí)驗(yàn)探索圓的另一個(gè)特性如圖，將圓心角/ AOB繞圓心O旋轉(zhuǎn)到/ A OB的位置，你能發(fā)現(xiàn)哪些等量關(guān)系？ 為什么？（多媒體圖片引入）（教科書展示了一種證明方法一一疊合法，教學(xué)時(shí)要鼓勵(lì)學(xué)生用多種方法探索圖形的性質(zhì)，學(xué)生的想法未必完善，但只要有合理的成分就應(yīng)給予肯定和鼓 勵(lì).） 結(jié)論：在同圓或等圓中，相等的圓心角所的弧相等，所對(duì)的弦也相等.（2 ）對(duì)（1）

12、中結(jié)論的逆命題的探究在同圓或等圓中，如果兩條弧相等，那么它們所對(duì)的圓心角 ,所對(duì)的弦在同圓或等圓中，如果兩條弦相等，那么他們所對(duì)的圓心角 ，所對(duì)的弧 .（教學(xué)時(shí)仍要鼓勵(lì)學(xué)生用多種方法進(jìn)行探索）（3 ）應(yīng)用新知，體驗(yàn)成功-，/ ACB=60，求證：/ AOBM BOCMAOC.例.如圖，在OO中,AB - AC5. 圓周角（1）創(chuàng)設(shè)情境引入概念如圖是一個(gè)圓柱形的海洋館的橫截面示意圖，人們可以通過(guò)其中的圓弧形玻璃窗二觀看窗內(nèi)的海洋動(dòng)物， 同學(xué)甲站在圓心 0的位置，同學(xué)乙站在正對(duì)著玻璃窗的靠墻的位置C,他們的視角（/ AOB和/ACB有什么關(guān)系？如果同學(xué)丙，丁分別站在其他靠墻的位置D和E,他們的視角

13、（/ ADB和/AEB和同學(xué)乙的視角相同嗎？概念：頂點(diǎn)在圓上，并且兩邊都與圓相交的角叫做圓周角.（意在引出同弧所對(duì)的圓心角與圓周角，同弧所對(duì)的圓周角之間的大小關(guān)系.教學(xué)時(shí)要引導(dǎo)學(xué)生分析圓周角有兩個(gè)特征：角的頂點(diǎn)在圓上；兩邊在圓內(nèi)的部分是圓的兩條弦）（2）圓的相關(guān)性質(zhì) 動(dòng)手實(shí)踐活動(dòng)一：分別量一下 】'二所對(duì)的兩個(gè)圓周角的度數(shù)，比較一下，再變動(dòng)點(diǎn)C在圓周上的位置，圓周角的度數(shù)有沒(méi)有變化？你能發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律？活動(dòng)二：再分別量出圖中 上匚所對(duì)的圓周角和圓心角的度數(shù)，比較一下，你有什么發(fā)現(xiàn)？（利用一些計(jì)算機(jī)軟件，可以很方便的度量圓周角，圓心角，有條件的話可以試一試）得到結(jié)論：同弧所對(duì)的圓周角的度數(shù)

14、沒(méi)有變化，并且它的度數(shù)恰好等于這條弧所對(duì)的圓心角的度數(shù)的一半. 為了進(jìn)一步研究上面發(fā)現(xiàn)的結(jié)論，在O0任取一個(gè)圓周角/ BAC將圓對(duì)折，使折痕經(jīng)過(guò)圓心 0和/BAC的頂點(diǎn)A.由于A的位置的取法可能不同，這時(shí)折痕可能會(huì)：在圓周角的一條邊上；在圓周角的內(nèi)部；在圓周角的外部.（學(xué)生解決這一問(wèn)題是有一定難度的，應(yīng)給學(xué)生留有時(shí)間和空間，讓他們進(jìn)行思考引導(dǎo)學(xué)生觀察后兩種情況， 讓學(xué)生思考：這兩種情況能否轉(zhuǎn)化為第一種情況？如何轉(zhuǎn)化？ 當(dāng)解決一個(gè)問(wèn)題有困難時(shí)，我們可以首先考慮其特殊情形，然后再設(shè)法解決一般問(wèn)題.這是解決問(wèn)題時(shí)常用的策略.）由此得到圓周角定理： 在同圓或等圓中，同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等，都等于這

15、條弧所對(duì)的圓心角的一半.進(jìn)一步我們還可以得到下面的推論：半徑（或直徑）所對(duì)的圓周角是直角，90°的圓周角所對(duì)的弦是直徑.由圓周角定理可知：在同圓或等圓中，如果兩個(gè)圓周角相等，它們所對(duì)的弧一定相等.（3）圓內(nèi)接多邊形的定義及其相關(guān)性質(zhì) 定義：如果一個(gè)多邊形的所有頂點(diǎn)都在同一個(gè)圓上，這個(gè)多邊形叫做圓內(nèi)接多邊形，這個(gè)圓叫做這個(gè)多邊形的外接圓. 利用圓周角定理，我們的得到關(guān)于圓內(nèi)接四邊形的一個(gè)性質(zhì)： 圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ).（三）應(yīng)用新知，體驗(yàn)成功利用資源庫(kù)中的“典型例題”進(jìn)行教學(xué)（四）課堂小結(jié)，體驗(yàn)收獲（PPT顯示）這堂課你學(xué)會(huì)了哪些知識(shí)？有何體會(huì)？（學(xué)生小結(jié)）1. 圓的有關(guān)概念；2. 垂

16、徑定理及其逆定理；3. 弧，弦，圓心角的相關(guān)性質(zhì)；4. 圓周角的概念及相關(guān)性質(zhì)；（五）拓展延伸，布置作業(yè)利用資源庫(kù)中或手頭的相關(guān)材料進(jìn)行布置.五、學(xué)習(xí)評(píng)價(jià)：（一）選擇題1.如圖，如果 AB為OO的直徑，弦CDLAB垂足為E,那么下列結(jié)論中，？錯(cuò)誤的是（ ）亠J -(A) CE=DE(B) BCBD(C)Z BACK BAD .( D) AC>AD1題圖2.如圖, 是（ ）在OO3題圖中，P是弦AB的中點(diǎn)，CD是過(guò)點(diǎn)P的直徑,?則下列結(jié)論中不正確的(A) AB丄CD .(B)Z A0B=4 ACD(C)' 一 汕(D) PO=PD3.如圖，OO中,如果山=2 ：，那么（(A) AB

17、=AC( B) AB=AC ( C) AB<2AC( D) AB>2AC4.如圖，A、B C三點(diǎn)在OO上，/ AOC=100，則/ ABC等于(A) 140° .(B) 110°. ( C) 120°. ( D) 130° .圖5. 如圖，/ 1、/ 2、/ 3、(A)/ 4</ 1</ 2</ 3 . / 4</ 1</ 3=/ 2.6. 如圖，AD是OO的直徑,Z46題圖的大小關(guān)系是()(B)/ 4</ 仁/ 3</ 2.( C)/ 4</ 1</ 3/2 .( D)AC是弦，OBL

18、AD 若 OB=5 且/ CAD=30 ,貝U BC等于(A) 3.( B) 3+J-一； . ( C) 5-八；.(D) 5.（二）填空題9題10題圖11題圖8. P為OO內(nèi)一點(diǎn)，OP=3cm OO半徑為5cm,則經(jīng)過(guò)P點(diǎn)的最短弦長(zhǎng)為長(zhǎng)弦長(zhǎng)為.9. 如圖，OE OF分別為OO的弦AB 寫一個(gè)正確的結(jié)論）10. 如圖，AB和DE是OO的直徑，弦11. 如圖，A、B是OO的直徑，C D、CD的弦心距，如果 OE=OF那么AC/D E,若弦 BE=3 則弦 CE=E都是圓上的點(diǎn)，貝U;最（只需Z 1+Z 2=r(三)解答題12. 如圖，00直徑AB和弦CD相交于點(diǎn) E, AE=2, EB=6,Z DEB=30，求弦 CD長(zhǎng).13. 如圖，以ABCD的頂點(diǎn)A為圓心，AB為半徑作圓，分別交BC AD于 E、F,若Z D=50 , 求 BE 的度數(shù)和 EF