寒假配套特訓(xùn)100題

1、 寒假配套特訓(xùn)100題 特訓(xùn)題1、設(shè)，求f(x).解令，于是特訓(xùn)題2、 求極限解：特訓(xùn)題3、求.解分子、分母用3n除之，原式（注：主要用當(dāng)時，）特訓(xùn)題4、求下列各極限（1）（2）解（1）解一原式解二原式解三用洛必達法則1原式（2）解一原式解二類似（1）中解二用等價無窮小量代換解三類似（1）中解三用洛必達法則（2）解原式特訓(xùn)題5、求下列極限（1）（2）解（1）（2）解一解二特訓(xùn)題6、求下列極限（1）（2）（3）解（1）令則，當(dāng)時于是（2）令則，當(dāng)時，于是（3）特訓(xùn)題7、 求下列極限（1）（2）解（1）而由夾逼定理可知（2）而則夾逼定理可知特訓(xùn)題8、求.分析如果還想用夾逼定理中方法來考慮而，由此可

2、見，無法再用夾逼定理，因此我們改用定積分定義來考慮.解特訓(xùn)題9、求.解離散型不能直接用洛必達法則，故考慮原式.特訓(xùn)題10、求.解若直接用“”型洛必達法則1，則得（不好辦了，分母x的次數(shù)反而增加），為了避免分子求導(dǎo)數(shù)的復(fù)雜性，我們先用變量替換，令，于是(“”型)特訓(xùn)題11、求.解（“”型）特訓(xùn)題12、求.解原式特訓(xùn)題13、設(shè)函數(shù)在內(nèi)連續(xù)，則.解：1分析：由特訓(xùn)題14、求.解令，（見2中例3）特訓(xùn)題15、求（前面已用重要公式的方法）.解令，（“”型），特訓(xùn)題16、求.解令，特訓(xùn)題17、求極限.解：特訓(xùn)題18、求.解用等價無窮小量代換原式特訓(xùn)題19、求.解這個極限雖是“”型，但分子、分母分別求導(dǎo)數(shù)后

3、的極限不存在，因此不能用洛必達法則.原式特訓(xùn)題20、求.解（當(dāng)時）原式特訓(xùn)題21、設(shè)，求.解原式特訓(xùn)題22、設(shè)曲線與在原點相切，求.解由題設(shè)可知，于是特訓(xùn)題23、設(shè)，求.解（算術(shù)平均值幾何平均值）又，則因此單調(diào)減少，又有下界，根據(jù)準(zhǔn)則1，存在把兩邊取極限，得，A0，取，于是特訓(xùn)題24、求下列函數(shù)在分段點處的極限解特訓(xùn)題25、求.解特訓(xùn)題26、設(shè)，求a和b.解 由題設(shè)可知，1+a+b=0再對極限用洛必達法則特訓(xùn)題27、連續(xù)，則解：分析：，由連續(xù)，則特訓(xùn)題28、討論函數(shù)在點處的連續(xù)性。解因即有，故在點連續(xù).特訓(xùn)題29、討論函數(shù)在點的連續(xù)性.解因，因而不存在，故在點不連續(xù).特訓(xùn)題30、 設(shè)在處連續(xù)，

4、求常數(shù)k.解，由連續(xù)性可知特訓(xùn)題31、求函數(shù)的間斷點，并確定其類型.解顯然是間斷點，由于所以是的可去間斷點.特訓(xùn)題32、 求函數(shù)的間斷點，并確定其類型.解所給函數(shù)在點，-2，2沒有定義，因此，-2，2是所給函數(shù)的間斷點.下面確定它們的類型.對于，由于，故是第一類間斷點，且為跳躍間斷點.對于，由于故是第二類間斷點，且為無窮間斷點.對于，由于故是第一類間斷點，且為可去間斷點.若補充定義，則在連續(xù).特訓(xùn)題33、設(shè)在內(nèi)有定義，且則下列結(jié)論中正確的是（）(A) 必是的第一類間斷點(B)必是的第二類間斷點(C)必是的連續(xù)點(D)在處的連續(xù)性與a的取值有關(guān)解時是的連續(xù)點，時，是的可去間斷點故選D.特訓(xùn)題34

5、、 求.解因，而函數(shù)在點連續(xù)，所以特訓(xùn)題35、設(shè)在處連續(xù)，且，求.解由于在處連續(xù)，且，所以則特訓(xùn)題36、設(shè)在上連續(xù)，且，證明：在內(nèi)至少有一個根.證令，可知在上連續(xù)，由介值定理的推論，可知在內(nèi)至少有一個零點，即在內(nèi)至少有一個根.特訓(xùn)題37、求證：方程在內(nèi)恰有兩個根.證令，它是偶函數(shù)，所以只需討論在內(nèi)恰有一個根.，在上連續(xù)，根據(jù)介值定理推論，至少有一個，使.又因為，所以在內(nèi)單調(diào)增加，因此，在內(nèi)最多只有一個零點，于是在內(nèi)恰有一個零點，由偶函數(shù)的對稱性，在內(nèi)恰有兩個零點，也即所給方程在內(nèi)恰有兩個根.特訓(xùn)題38、設(shè)，其中在點處連續(xù)，求。解沒有假設(shè)可導(dǎo)，所以不能用導(dǎo)數(shù)的乘法公式，我們就用導(dǎo)數(shù)的定義。特訓(xùn)題

6、39、曲線在點處的切線方程為.解：.分析：設(shè)，斜率，在處，所以切線方程為，即特訓(xùn)題40、討論函數(shù)在處連續(xù)性與可導(dǎo)性。解函數(shù)在處連續(xù)，因為則但是，在處沒有導(dǎo)數(shù)，因為曲線在原點的切線不存在（見上圖）。特訓(xùn)題41、設(shè)函數(shù)試確定的值，使在點處可導(dǎo)。解可導(dǎo)一定連續(xù)，在處也是連續(xù)的，由要使在點處連續(xù)，必須有或又要使在點處可導(dǎo)，必須，即故當(dāng)時，在點處可導(dǎo)。特訓(xùn)題42、求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：（1）（2）解（1）（2）特訓(xùn)題43、求下列函數(shù)的微分（1）（2）解（1）（2）特訓(xùn)題44、設(shè)，求.解令則因此特訓(xùn)題45、設(shè)可微，求dy.解特訓(xùn)題46、設(shè)由方程所確定，求和.解一對方程兩邊關(guān)于x求導(dǎo)，y看作x的函數(shù)，按中間變量

7、處理.于是，解二對方程兩邊求微分，根據(jù)一階微分形式不變性.于是特訓(xùn)題47、求的導(dǎo)數(shù).解對x求導(dǎo)，得因此，特訓(xùn)題48、設(shè)，求.解特訓(xùn)題49、證明曲線上任一點處切線與兩坐標(biāo)軸所圍成的直角三角形面積恒為2.證所求切線方程為令，得切線截x軸的截距，令，得切線截y軸的截距，直角三角形面積特訓(xùn)題50、求曲線在處的切線方程.解，.，故切線方程為即特訓(xùn)題51、設(shè)函數(shù)y=y(x)由參數(shù)方程確定，則曲線y=y(x)在x=3處的法線與x軸交點的橫坐標(biāo)是 (A) . (B) . (C) . (D) . A 【詳解】 當(dāng)x=3時，有，得（舍去，此時y無意義），于是，可見過點x=3(此時y=ln2)的法線方程為：，令y=

8、0, 得其與x軸交點的橫坐標(biāo)為：, 故應(yīng)(A).特訓(xùn)題52、設(shè)函數(shù)由參數(shù)方程 確定, 則曲線向上凸的取值范圍為_【分析】判別由參數(shù)方程定義的曲線的凹凸性，先用由 定義的 求出二階導(dǎo)數(shù),再由 確定的取值范圍.【詳解】,令 .又 單調(diào)增, 在 時, 。(時，時，曲線凸.)特訓(xùn)題53、設(shè)在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，且，試證：必存在，使。證在上連續(xù)，在上連續(xù)，且有最大值和最小值,于是；，故。由連續(xù)函數(shù)介值定理可知，至少存在一點，使得因此，且在上連續(xù)，內(nèi)可導(dǎo)，由羅爾定理得出必存在，使得。特訓(xùn)題54、設(shè)在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，且.求證：存在使證由積分中值定理可知，存在c，使得得到對在上用羅爾定理（三個條件都滿足），故

9、存在，使特訓(xùn)題55、設(shè)，試證：.證令，它在上滿足拉格朗日中值定理條件，因此于是成立.特訓(xùn)題56、設(shè)不恒為常數(shù)的函數(shù)在上連續(xù)，內(nèi)可導(dǎo)，且，證明內(nèi)至少有一點，使得.證由題意可知存在使得如果，則在上用拉格朗日中值定理存在，使如果，則在上用拉格朗日中值定理存在，使，因此，必有，使得成立.特訓(xùn)題57、設(shè)，證明對任意，恒有證不妨假設(shè)，由拉格朗日中值定理有，從而可知，單調(diào)減少，于是這樣由兩式可知因此，成立.特訓(xùn)題58、設(shè)在上連續(xù)，內(nèi)可導(dǎo)，且，證明：存在，使證考慮柯西中值定理（待定）最后一步是把分子用拉格朗日中值定理.再把欲證的結(jié)論變形，兩式比較，看出令即可.類似地，欲證，則取即可特訓(xùn)題59、設(shè)函數(shù)在上二階可

10、導(dǎo)，且，.求證：存在，使得證先把在處展成拉格朗日型余項的一階泰勒公式再把在處展成拉格朗日型余項的一階泰勒公式在上面兩個公式中皆取則得兩式相減，得，于是因此亦即證明存在，使特訓(xùn)題60、設(shè)在上，則，或的大小順序是（）（A）（B）（C）（D）解選根據(jù)拉格朗日中值定理其中，又，單調(diào)增加因此，特訓(xùn)題61、設(shè)函數(shù)在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，且滿足，如果單調(diào)增加，求證在內(nèi)單調(diào)增加.證 用拉格朗日中值定理于是是單調(diào)增加，因此，則在內(nèi)單調(diào)增加特訓(xùn)題62、設(shè)函數(shù)在內(nèi)連續(xù)，其導(dǎo)函數(shù)的圖形如圖所示，則有（）（A）一個極小值點和兩個極大值點（B）兩個極小值點和一個極大值點（C）兩個極小值點和兩個極大值點（D）三個極小值點和一個

11、極大值點解有三個駐點和一個不可導(dǎo)點，考察它們兩側(cè)導(dǎo)數(shù)的符號，用第一充分判別法可知，最小駐點為極大值點，另一個較小駐點為極小值點，原點為不可導(dǎo)點是極大值點，最大的駐點為極小值點，故應(yīng)選C特訓(xùn)題63、討論的極值.解為極小值特訓(xùn)題64、 設(shè)在鄰域內(nèi)有定義，且，其中n為正整數(shù)，為常數(shù)，討論（對n）是否為極值.解，其中（）若n為正偶數(shù)，當(dāng)（充分小），則與k同號，當(dāng)k0，為極小值；當(dāng)k0，為極大值.（）若n為正奇數(shù)，當(dāng)（充分小），則在兩側(cè)異號，所以不是極值.特訓(xùn)題65、設(shè)，求的極值、單調(diào)區(qū)間和凹凸區(qū)間.解：. ,令，得.因為，所以.，得 ，得 因此，的單調(diào)增區(qū)間是；單調(diào)減區(qū)間是.由，可知為凹區(qū)間.由知為極

12、小值.特訓(xùn)題66、設(shè)，則 = _ .【分析】 本題屬基本題型，冪指函數(shù)的求導(dǎo)（或微分）問題可化為指數(shù)函數(shù)求導(dǎo)或取對數(shù)后轉(zhuǎn)化為隱函數(shù)求導(dǎo).【詳解】 方法一： =，于是，從而 =方法二： 兩邊取對數(shù)，對x求導(dǎo)，得，于是 ，故=特訓(xùn)題67、 曲線的斜漸近線方程為_【分析】 本題屬基本題型，直接用斜漸近線方程公式進行計算即可.【詳解】 因為a=，于是所求斜漸近線方程為【評注】 如何求垂直漸近線、水平漸近線和斜漸近線，是基本要求，應(yīng)熟練掌握。這里應(yīng)注意兩點：1）當(dāng)存在水平漸近線時，不需要再求斜漸近線；2）若當(dāng)時，極限不存在，則應(yīng)進一步討論或的情形，即在右或左側(cè)是否存在斜漸近線，本題定義域為x>0，

13、所以只考慮的情形.特訓(xùn)題68、當(dāng)時，與是等價無窮小，則k= _【分析】 題設(shè)相當(dāng)于已知，由此確定k即可.【詳解】 由題設(shè)， =，得【評注】 無窮小量比較問題是歷年考查較多的部分，本質(zhì)上，這類問題均轉(zhuǎn)化為極限的計算.特訓(xùn)題69、設(shè)函數(shù)，則f(x)在內(nèi)(A) 處處可導(dǎo). (B) 恰有一個不可導(dǎo)點.(C) 恰有兩個不可導(dǎo)點. (D) 至少有三個不可導(dǎo)點. 【分析】 先求出f(x)的表達式，再討論其可導(dǎo)情形.【詳解】 當(dāng)時，； 當(dāng)時，；當(dāng)時，即 可見f(x)僅在x=時不可導(dǎo)，故應(yīng)選(C).【評注】 本題綜合考查了數(shù)列極限和導(dǎo)數(shù)概念兩個知識點.特訓(xùn)題70、設(shè)函數(shù)則(A) x=0,x=1都是f(x)的第一

14、類間斷點. （B） x=0,x=1都是f(x)的第二類間斷點.(C) x=0是f(x)的第一類間斷點，x=1是f(x)的第二類間斷點.(D) x=0是f(x)的第二類間斷點，x=1是f(x)的第一類間斷點. 【分析】 顯然x=0,x=1為間斷點，其分類主要考慮左右極限.【詳解】 由于函數(shù)f(x)在x=0,x=1點處無定義，因此是間斷點.且 ，所以x=0為第二類間斷點；，所以x=1為第一類間斷點，故應(yīng)選(D).【評注】 應(yīng)特別注意：， 從而，特訓(xùn)題71、 若時， 與是等價無窮小，則a= .【分析】 根據(jù)等價無窮小量的定義，相當(dāng)于已知，反過來求a. 注意在計算過程中應(yīng)盡可能地應(yīng)用無窮小量的等價代換

15、進行化簡.【詳解】 當(dāng)時，.于是，根據(jù)題設(shè)有 ，故a=-4.特訓(xùn)題72、 設(shè)函數(shù)y=f(x)由方程所確定，則曲線y=f(x)在點(1,1)處的切線方程是 .【分析】 先求出在點(1,1)處的導(dǎo)數(shù)，然后利用點斜式寫出切線方程即可.【詳解】 等式兩邊直接對x求導(dǎo)，得，將x=1,y=1代入上式，有 故過點(1,1)處的切線方程為，即 特訓(xùn)題73、的麥克勞林公式中項的系數(shù)是 _【分析】 本題相當(dāng)于先求y=f(x)在點x=0處的n階導(dǎo)數(shù)值，則麥克勞林公式中項的系數(shù)是_【詳解】 因為 ，于是有，故麥克勞林公式中項的系數(shù)是特訓(xùn)題74設(shè)均為非負數(shù)列，且,則必有(A) 對任意n成立. (B) 對任意n成立.(C

16、) 極限不存在. (D) 極限不存在. 【分析】 本題考查極限概念，極限值與數(shù)列前面有限項的大小無關(guān)，可立即排除(A),(B)； 而極限是型未定式，可能存在也可能不存在，舉反例說明即可；極限屬型，必為無窮大量，即不存在.【詳解】 用舉反例法，取，則可立即排除(A),(B),(C)，因此正確選項為(D).特訓(xùn)題75設(shè)函數(shù) 問a為何值時，f(x)在x=0處連續(xù)；a為何值時，x=0是f(x)的可去間斷點？【分析】 分段函數(shù)在分段點x=0連續(xù)，要求既是左連續(xù)又是右連續(xù)，即【詳解】 = = =令，有 ，得或.當(dāng)a=-1時，即f(x)在x=0處連續(xù).當(dāng)a=-2時，因而x=0是f(x)的可去間斷點.【評注】

17、 本題為基本題型，考查了極限、連續(xù)與間斷等多個知識點，其中左右極限的計算有一定難度，在計算過程中應(yīng)盡量利用無窮小量的等價代換進行簡化.特訓(xùn)題76、設(shè)函數(shù)y=y(x)由參數(shù)方程所確定，求【分析】 本題為參數(shù)方程求二階導(dǎo)數(shù)，按參數(shù)方程求導(dǎo)的公式進行計算即可. 注意當(dāng)x=9 時，可相應(yīng)地確定參數(shù)t的取值.【詳解】由，得 所以 = =當(dāng)x=9時，由及t>1得t=2, 故特訓(xùn)題77、設(shè), 則的間斷點為 .【分析】本題屬于確定由極限定義的函數(shù)的連續(xù)性與間斷點.對不同的,先用求極限的方法得出的表達式, 再討論的間斷點.【詳解】顯然當(dāng)時,;當(dāng)時, ,所以 ,因為 故 為的間斷點.特訓(xùn)題78、設(shè)函數(shù)由參數(shù)

18、方程 確定, 則曲線向上凸的取值范圍為_【分析】判別由參數(shù)方程定義的曲線的凹凸性，先用由 定義的 求出二階導(dǎo)數(shù),再由 確定的取值范圍.【詳解】,令 .又 單調(diào)增, 在 時, 。(時，時，曲線凸.)特訓(xùn)題79、把時的無窮小量, , 排列起來, 使排在后面的是前一個的高階無窮小, 則正確的排列次序是（A） （B）（C） （D） （ ）【分析】對與變限積分有關(guān)的極限問題，一般可利用洛必塔法則實現(xiàn)對變限積分的求導(dǎo)并結(jié)合無窮小代換求解.【詳解】,即 .又 ,即 .從而按要求排列的順序為, 故選（B）.特訓(xùn)題80、設(shè), 則（A）是的極值點, 但不是曲線的拐點.（B）不是的極值點, 但是曲線的拐點.（C）是

19、的極值點, 且是曲線的拐點.（D）不是的極值點, 也不是曲線的拐點. （ ）【分析】求分段函數(shù)的極值點與拐點， 按要求只需討論兩方, 的符號.【詳解】,從而時, 凹, 時, 凸, 于是為拐點.又, 時, , 從而為極小值點.所以, 是極值點, 是曲線的拐點, 故選（C）.特訓(xùn)題81、設(shè)函數(shù)連續(xù), 且, 則存在, 使得（A）在內(nèi)單調(diào)增加.（B）在內(nèi)單調(diào)減小.（C）對任意的有.（D）對任意的有. ( )【分析】可借助于導(dǎo)數(shù)的定義及極限的性質(zhì)討論函數(shù)在附近的局部性質(zhì).【詳解】由導(dǎo)數(shù)的定義知,由極限的性質(zhì), , 使時, 有即時, ，時, ,故選（C）.特訓(xùn)題82、求極限.【分析】此極限屬于型未定式.可

20、利用羅必塔法則,并結(jié)合無窮小代換求解.【詳解1】 原式【詳解2】 原式特訓(xùn)題83、設(shè)函數(shù)在（）上有定義, 在區(qū)間上, , 若對任意的都滿足, 其中為常數(shù).()寫出在上的表達式;()問為何值時, 在處可導(dǎo).【分析】分段函數(shù)在分段點的可導(dǎo)性只能用導(dǎo)數(shù)定義討論.【詳解】()當(dāng),即時,.()由題設(shè)知 .令, 得.即當(dāng)時, 在處可導(dǎo).特訓(xùn)題84、設(shè), 證明.【分析】文字不等式可以借助于函數(shù)不等式的證明方法來證明,常用函數(shù)不等式的證明方法主要有單調(diào)性、極值和最值法等.【詳證1】設(shè), 則,所以當(dāng)時, , 故單調(diào)減小, 從而當(dāng)時, ,即當(dāng)時, 單調(diào)增加.因此, 當(dāng)時, , 即故 .【詳證2】設(shè), 則,時, ,

21、 從而當(dāng)時, ,時, 單調(diào)增加.時, 。令有即 .【詳證3】證 對函數(shù)在上應(yīng)用拉格朗日定理, 得, .設(shè), 則,當(dāng)時, , 所以單調(diào)減小,從而, 即,故 特訓(xùn)題85、曲線的水平漸近線方程為_特訓(xùn)題86、設(shè)函數(shù) 在x=0處連續(xù)，則a=_特訓(xùn)題87、設(shè)函數(shù)確定，則_ 當(dāng)x=0時，y=1， 又把方程每一項對x求導(dǎo)，特訓(xùn)題88、設(shè)函數(shù)具有二階導(dǎo)數(shù)，且為自變量x在點x0處的增量，則（ ）（A）（B）（C）（D）由嚴(yán)格單調(diào)增加是凹的即知特訓(xùn)題89、設(shè)函數(shù)則g(1)等于（ ）（A）（B）（C）（D），特訓(xùn)題90、試確定A，B，C的常數(shù)值，使其中是當(dāng).解：泰勒公式代入已知等式得整理得比較兩邊同次冪函數(shù)得B+1

22、=AC+B+=0式-得代入得代入得特訓(xùn)題91、設(shè)數(shù)列滿足，證明：（1）存在，并求極限 （2）計算證：（1）單調(diào)減少有下界根據(jù)準(zhǔn)則1，存在在兩邊取極限得因此（2）原式 離散散不能直接用洛必達法則先考慮 用洛必達法則特訓(xùn)題92、證明：當(dāng)時，證：令只需證明單調(diào)增加（嚴(yán)格） 單調(diào)減少（嚴(yán)格）又故單調(diào)增加（嚴(yán)格）得證特訓(xùn)題93、已知曲線L的方程（I）討論L的凹凸性（II）過點引L的切線，求切點，并寫出切線的方程（III）求此切線與L（對應(yīng)部分）及x軸所圍的平面圖形的面積解：（I）（II）切線方程為，設(shè)，則得點為（2，3），切線方程為（III）設(shè)L的方程則由于（2，3）在L上，由特訓(xùn)題94、當(dāng)時，與等價的

23、無窮小量是(A) . (B) . (C) . (D) . 【 】【答案】 應(yīng)選(B).【分析】 利用已知無窮小量的等價代換公式，盡量將四個選項先轉(zhuǎn)化為其等價無窮小量，再進行比較分析找出正確答案.【詳解】當(dāng)時，有； 可見應(yīng)選(B).特訓(xùn)題95、設(shè)函數(shù)f(x)在x=0處連續(xù)，下列命題錯誤的是：(A) 若存在，則f(0)=0. (B) 若存在，則f(0)=0. (C) 若存在，則存在. (D) 若存在，則存在【】【答案】 應(yīng)選(D).【分析】 本題為極限的逆問題，已知某極限存在的情況下，需要利用極限的四則運算等進行分析討論。【詳解】(A),(B)兩項中分母的極限為0，因此分子的極限也必須為0，均可推

24、導(dǎo)出f(0)=0.若存在，則，可見(C)也正確，故應(yīng)選(D). 事實上，可舉反例：在x=0處連續(xù)，且=存在，但在x=0處不可導(dǎo) .特訓(xùn)題96、曲線，漸近線的條數(shù)為(A) 0. (B) 1. (C) 2. (D) 3. 【】【答案】 應(yīng)選(D).【分析】 先找出無定義點，確定其是否為對應(yīng)垂直漸近線；再考慮水平或斜漸近線。【詳解】 因為，所以為垂直漸近線；又 ，所以y=0為水平漸近線；進一步，=，= =，于是有斜漸近線：y = x. 故應(yīng)選(D).特訓(xùn)題97、= .【答案】 應(yīng)填0.【詳解】 因為，而sinx+cosx有界，故=0.特訓(xùn)題98、設(shè)函數(shù)則= .【答案】 應(yīng)填【詳解】 一般地， ，從而 =特訓(xùn)題99