數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)畢業(yè)論文 淺談求解函數(shù)最值的幾種方法

1、厚德樹人篤學(xué)致用*遵義師范學(xué)院畢業(yè)論文（設(shè)計(jì)） 題目：淺談求解函數(shù)最值的幾種方法 系別 數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院 專業(yè) 數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué) 年級 2010級 姓名 錢紅利 學(xué)號 10410501041 指導(dǎo)教師 潘永會 2014年4月10日淺談求解函數(shù)最值的幾種方法錢紅利摘 要：函數(shù)的最值問題貫穿整個中學(xué)知識，最值問題在實(shí)際生活中的應(yīng)用比較廣泛而且極其重要，如線性規(guī)劃的最優(yōu)解問題，利潤的最大化問題等等。本文討論了中學(xué)數(shù)學(xué)中求解函數(shù)最值的幾種方法。如配方法、換元法、均值不等式法、函數(shù)的單調(diào)性法、導(dǎo)數(shù)法、數(shù)形結(jié)合法、反函數(shù)法。關(guān)鍵詞：函數(shù)；最值 數(shù)學(xué)是一切自然學(xué)科的基礎(chǔ)。學(xué)好數(shù)學(xué)就意味著要學(xué)會解題，當(dāng)我們遇

2、到問題時，常常想著以常用的、熟悉的方法解決，這僅僅只能得出問題的答案，對學(xué)生思維能力的培養(yǎng)沒有能夠發(fā)揮更大的作用，只有對數(shù)學(xué)思想、數(shù)學(xué)方法理解透徹并且會靈活運(yùn)用，才能在解題中既得出新的解法，又訓(xùn)練了學(xué)生的思維。正因?yàn)槿绱?，我們才提倡遇到一道?shù)學(xué)題使用多種解法，并且在解題過程中盡量多的體現(xiàn)數(shù)學(xué)思想。在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，知識是基礎(chǔ)，方法是手段，思想是深化，提高數(shù)學(xué)素質(zhì)的核心是提高學(xué)生對數(shù)學(xué)思想方法的認(rèn)識。所以，對學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)情況的考察最重要的就是對數(shù)學(xué)思想方法掌握情況的考察。 本文通過對高中數(shù)學(xué)例題的探究，總結(jié)出求解函數(shù)最值的幾種方法，充分體現(xiàn)了數(shù)學(xué)方法在求最值時的靈活應(yīng)用以及例題中所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想。一

3、、 配方法配方法使用的最基本的理論依據(jù)是完全平方公式。配方其實(shí)就是一種恒等變換，主要適用于已知或者未知中含有二次函數(shù)、二次方程、二次不等式、二次代數(shù)式以及求解形如的二元函數(shù)的最值問題等（將視為變量，視為常數(shù)）。結(jié)合所學(xué)知識，我們可以將完全平方式子延伸為形如 例1 已知，求函數(shù)的最值. 解 由 ，所以當(dāng)，時，函數(shù)取得最小值為.配方法就是對數(shù)學(xué)表達(dá)式進(jìn)行一種變形，通過配方找到未知與已知的聯(lián)系，找到突破口，達(dá)到化難為易的效果。什么樣的式子，什么時候配方這是使用配方法的重點(diǎn)，同時也是學(xué)習(xí)的難點(diǎn)。掌握配方法關(guān)鍵是要掌握“配”和“湊”的技巧。配方法也稱為“配湊法”。配方法求函數(shù)的最值時主要結(jié)合了偶次方的非

4、負(fù)性，從而得到函數(shù)的最值。二、換元法 所謂換元法就是求解數(shù)學(xué)問題時，用一個變量去代替一個式子，使得研究對象變?yōu)槌Ｒ娀蛘呤侨菀字纸鉀Q的形式，從而將復(fù)雜問題簡單化。實(shí)質(zhì)是等量代換，關(guān)鍵是構(gòu)造變量，目的是為了變換研究對象。特別是對數(shù)量關(guān)系較為復(fù)雜或計(jì)算量比較大的題目，合理運(yùn)用換元法可以將數(shù)量關(guān)系簡單化，也可以減輕計(jì)算量。 換元法通過引進(jìn)新的變量，將毫無關(guān)聯(lián)的變量與已知條件聯(lián)系起來，隱含的條件顯露出來，或者把條件與結(jié)論聯(lián)系起來，或者變?yōu)槌Ｒ姷男问剑梢詫⒏叽闻c低次互化、將分式化為整式，從而求出問題的答案。例2 求函數(shù)=的最值. 解 由題知，設(shè)=t，則 變形得 將帶入得 當(dāng)=,即=時，函數(shù)的最大值為

5、.中學(xué)生對含有根式、分式、高次的問題很難找到突破口，通過換元法可以將其變?yōu)槌Ｒ姷拇鷶?shù)式，使得問題變得簡單。在解題時，特別需要注意的是對于新引入的變量需要注意其取值范圍。三、均值不等式法運(yùn)用不等式法求最值時，其理論依據(jù)是運(yùn)用基本不等式，以及其變形公式。運(yùn)用不等式法時，必須滿足 “一正、二定、三相等”，通過將“和式”轉(zhuǎn)化為“積式”或者將“積式”轉(zhuǎn)化為“和式”求得最值（和定積最大，積定和最?。?。 要注意的是，有些題目直接看不出可以使用不等式法，可以通過變形、添項(xiàng)、裂項(xiàng)等手段使之運(yùn)用基本不等式。例3 求（）的最值. 解 = = 故 4+5=9當(dāng)且僅當(dāng)時，即=1時取得“=”.運(yùn)用均值不等式首先要考慮是否

6、滿足使用條件。特別注意，有些題目需要多次運(yùn)用不等式法才能得出結(jié)果，切記等號成立的條件必須要一致，否則可能導(dǎo)致錯誤的結(jié)論。四、函數(shù)的單調(diào)性法函數(shù)的單調(diào)性是函數(shù)的一個重要性質(zhì),在求函數(shù)極值、單調(diào)區(qū)間、值域或者最值時都會用到函數(shù)的單調(diào)性。函數(shù)的單調(diào)性法是中學(xué)數(shù)學(xué)里常用的一種方法，適用范圍較廣且難度不大。對于形如求解函數(shù)的最值問題時，如果運(yùn)用不等式法不能取得等號時，可考慮用函數(shù)的單調(diào)性法求解，體現(xiàn)出函數(shù)的單調(diào)性法適用的普遍性。例4 求函數(shù)的最值.分析 此時若用均值不等式求的最值，取得等號的條件是，即，而在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)無解，故函數(shù)不能取得最小值。故可考慮使用單調(diào)性法求解。解 令 則原函數(shù)變形為運(yùn)用定義法求

7、函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，得出函數(shù)在是增函數(shù)，所以當(dāng)時，函數(shù)取得最小值，所以即當(dāng)，也就是時，取得最小值.用函數(shù)的單調(diào)性法求解最值時，關(guān)鍵是確定為單調(diào)函數(shù)，并確定函數(shù)所在區(qū)間，這是中學(xué)生用此法解決問題的難點(diǎn)。它的優(yōu)點(diǎn)在于使用范圍較廣且難易程度不大，學(xué)生容易接受。五、導(dǎo)數(shù)法導(dǎo)數(shù)法求最值是中學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重點(diǎn)，對初學(xué)者也是難點(diǎn)。導(dǎo)數(shù)法求函數(shù)最值，首先將函數(shù)求導(dǎo)，然后判斷導(dǎo)函數(shù)的符號（即是正還是負(fù)）得到原函數(shù)的單調(diào)性，令導(dǎo)函數(shù)為0，從而求解出極值點(diǎn)。我們知道，函數(shù)的最值是在極值點(diǎn)，或者是在函數(shù)的定義域的端點(diǎn)取得，通過將極值點(diǎn)與函數(shù)定義域的端點(diǎn)分別帶入原函數(shù)，通過比較從而得到函數(shù)的最值。例5 求函數(shù)在區(qū)間-2,1上

8、的最值.解 令 解得.當(dāng)時，；當(dāng)時，；當(dāng)時，.綜上，函數(shù)的最小值為，最大值為.運(yùn)用導(dǎo)數(shù)法解決函數(shù)問題的優(yōu)勢在于它可以更容易快捷的判斷出函數(shù)的單調(diào)性，特別是對高次函數(shù)單調(diào)性的判斷，這是別的方法不能解決的。需要注意的是極值點(diǎn)不一定是最值點(diǎn)，有可能是在區(qū)間端點(diǎn)取得最值。六、數(shù)形結(jié)合法 數(shù)形結(jié)合的方法，其實(shí)是將抽象的數(shù)學(xué)語言與直觀的圖形結(jié)合起來，是代數(shù)問題與圖形之間的相互轉(zhuǎn)化，它可以使代數(shù)問題幾何化，幾何問題代數(shù)化。例6 已知拋物線，點(diǎn)是拋物線上一動點(diǎn)，點(diǎn)的坐標(biāo)為，求點(diǎn)到點(diǎn)的距離與到軸的距離之和的最小值. 解 將帶入拋物線，得所以點(diǎn)在拋物線外部，拋物線焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線：如圖過點(diǎn)作于點(diǎn)，交軸于點(diǎn)則 由圖知當(dāng)

9、點(diǎn)、三點(diǎn)共線時，取得最小值即的最小值為 所以的最小值為3.數(shù)形結(jié)合法的優(yōu)點(diǎn)是它可以將復(fù)雜抽象的代數(shù)問題用直觀形象的圖形表示出來，借助函數(shù)的圖像、幾何圖像自身的性質(zhì)來解決代數(shù)問題，從而使問題變得直觀、簡單。七、反函數(shù)法反函數(shù)法在中學(xué)數(shù)學(xué)的考題出現(xiàn)的頻率較低，在高考數(shù)學(xué)里也沒有要求，但對學(xué)生思維的培養(yǎng)很有幫助。反函數(shù)法適用于求解形如的函數(shù)的值域或者最值問題，如果直接求解函數(shù)的值域或者最值比較困難時，我們可以考慮用反函數(shù)法，先將式子變形為用表示的形式，再通過的范圍來確定變形后整個式子的范圍，從而得出函數(shù)的范圍，即函數(shù)的值域。例7 求函數(shù)的最值.解 因?yàn)?，故函?shù)的定義域?yàn)? 將原函數(shù)變形得，由于 那么

10、 解不等式得 所以，函數(shù)的最大值為. 反函數(shù)法其實(shí)是一種逆向思維，當(dāng)我們很難直接求出函數(shù)的值域時，可考慮將其變形，根據(jù)的范圍得出整個含式子的范圍，從而解出的值域，對學(xué)生數(shù)學(xué)思維的培養(yǎng)極其重要。以上例子的介紹，我們看到了解決最值問題的方法是多種多樣的，而各種方法其自身也有著獨(dú)具的特點(diǎn)。事實(shí)上，題型的多樣性，解題方法的靈活和綜合性強(qiáng)是最值問題的特點(diǎn)。解決這類問題，首先要充分的掌握高中數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)知識，然后在熟練掌握的基礎(chǔ)上靈活合理的選擇解題方法。通過總結(jié)我們可以發(fā)現(xiàn)以上各種解決最值問題的方法并不是單一的使用，解決一道題可能同時需要用到幾種數(shù)學(xué)方法，例如單調(diào)性與換元法結(jié)合使用，不等式與數(shù)形結(jié)合等等。這

11、樣不僅使得出題的范圍更廣，而且題目的靈活性更強(qiáng)，進(jìn)而加大了題目的難度，對學(xué)生的要求也更高了。近幾年來無論是全國卷還是部分省份的高考試卷中都出現(xiàn)了有關(guān)最值問題的求解，一方面體現(xiàn)出了最值問題在中學(xué)數(shù)學(xué)里的重要性，另一方面也從側(cè)面暗示在以后的高考中最值問題還會相繼的出現(xiàn)并占有一定比例，值得引起教師與學(xué)生的重視。參考文獻(xiàn)李慶社.思想是"靈魂"方法是"鑰匙".初中生學(xué)習(xí)·七彩，2008（06）.劉興楠.數(shù)形結(jié)合思想在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用.遼寧師范大學(xué)，2011.黃珂.淺析中學(xué)數(shù)學(xué)問題常見解題思路.讀寫算（教育教學(xué)研究），2011（11）.季林波.高考數(shù)學(xué)解題常用方法與策略.試題與研究(教學(xué)論壇),2