新人教版高一數(shù)學(xué)必修一知識系統(tǒng)匯總

1、數(shù)學(xué)必修一知識系統(tǒng)匯總第一章 集合與函數(shù)概念一、集合1集合的含義及表示：元素：一般地，我們把研究對象統(tǒng)稱為元素。集合：一般地，我們把一些元素組成的總體叫做集合（簡稱為集）。 列舉法：把集合的元素一一列舉出來，并用大括號“”括起來表示集合的方法叫做列舉法。 集合的表示方法 描述法：用集合所含元素的共同特征表示集合的方法稱為描述法。圖示法：在數(shù)學(xué)中，我們經(jīng)常用平面上封閉曲線的內(nèi)部代表集合，這種圖稱為Venn圖。 自然語言。元素的特性：互異性，無序性，確定性。集合的分類 數(shù)集：x| 有限集：含有有限個元素的集合叫做有限集。點(diǎn)集：（x，y）| 無限集：含有無限個元素的集合叫做無限集。 （我們把不含任何

2、元素的集合叫做空集，記為，并規(guī)定：空集是任何集合的子集。） N：全體非負(fù)整數(shù)組成的集合成為非負(fù)整數(shù)集（或自然數(shù)集）。 N*（N+）：所有正整數(shù)組成的集合稱為正整數(shù)集。特殊的數(shù)集 Z：全體整數(shù)組成的集合稱為整數(shù)集。 Q：全體有理數(shù)組成的集合稱為有理數(shù)集。 R：全體實(shí)數(shù)組成的集合稱為實(shí)數(shù)集。2集合間的關(guān)系及其運(yùn)算：子集：一般地，對于兩個集合A，B，如果集合A中任意一個元素都是集合B中的元素，我們就說這兩個集合有包含關(guān)系，稱集合A為集合B的子集，記作。如果集合，但存在元素，且,我們稱集合A是集合B的真子集，記作。如果集合A是集合B的子集（），且集合B是集合A的子集（），此時，集合A與集合B中的元素是

3、一樣的，因此，集合A與集合B相等，記作A=B。我們把含有限個元素的集合A叫做有限集，用card來表示有限集合A中元素的個數(shù)。若card（A）= n，則A的子集數(shù)為2n，真子集數(shù)為（2n-1），非空真子集數(shù)為（2n-2）。一般地，由所有屬于集合A或?qū)儆诩螧的元素組成的集合，稱為集合A與B的并集，記作AB，即AB=x|xA,或xB。取法：皆要但不重復(fù)。性質(zhì)：AB=BA , A=A , AA=A ,AAB ,BAB.交集：一般地，由屬于集合A且屬于集合B的所有元素組成的集合，稱為A與B的交集，記作AB，即AB=x|xA,且xB。取法：取公共部分。性質(zhì)：AB=BA，A=，AA=A，ABA , ABB

4、.補(bǔ)集：對于一個集合A，由全集U中不屬于集合A的所有元素組成的集合稱為集合A相對于全集U的補(bǔ)集，簡稱為集合A的補(bǔ)集，記作，即。取法：U以內(nèi)，A以外。性質(zhì)： 摩根律：二、函數(shù)及其表示1.函數(shù)定義：一般地，我們有：設(shè)A，B是非空的數(shù)集，如果按照某種確定的對應(yīng)關(guān)系，使對于集合A中的任意一個數(shù)x，在集合B中都有唯一確定的數(shù)和它對應(yīng)，那么就稱為從集合A到集合B的一個函數(shù)，記作。其中，x叫做自變量，x的取值范圍A叫做函數(shù)的定義域；與x的值相對應(yīng)的y值叫做函數(shù)值，函數(shù)值的集合叫做函數(shù)的值域。2.函數(shù)的三要素：定義域，值域，對應(yīng)關(guān)系。3.函數(shù)的表示方法：解析法，圖像法，列表法。4.函數(shù)解析式的求證： 零點(diǎn)式：

5、 待定系數(shù)法 注意：二次函數(shù)解析式的設(shè)法 頂點(diǎn)式： 一般式： 換元法5.定義域求法：給出優(yōu)先；令函數(shù)解析式有意義；根據(jù)實(shí)際問題。6.函數(shù)值域的求法：觀察法；配方法；換元法；根據(jù)單調(diào)性；方程法（根據(jù)判別式）；分離常數(shù)法數(shù)形結(jié)合（圖像法）；復(fù)合函數(shù)求值法。7.分段函數(shù)：根據(jù)自變量的不同取值范圍，將函數(shù)分別用不同的形式表示出來，這種函數(shù)叫做分段函數(shù)。注意：分段函數(shù)是一個函數(shù)而不是幾個函數(shù)。8.區(qū)間：設(shè)是兩個實(shí)數(shù)，而且，我們規(guī)定：滿足不等式的實(shí)數(shù)x的集合叫做閉區(qū)間，表示為；滿足不等式的實(shí)數(shù)x的集合叫做開區(qū)間，表示為；滿足不等式或的實(shí)數(shù)x的集合叫做半開半閉區(qū)間，分別表示為。這里的實(shí)數(shù)都叫做相應(yīng)區(qū)間的端點(diǎn)

6、。注意：實(shí)數(shù)集R可以用區(qū)間表示為，“”讀作“無窮大”，“”讀作“負(fù)無窮大”，“”讀作“正無窮大”。我們把滿足的實(shí)數(shù)x的集合分別表示為。9.映射：一般地，我們有：設(shè)A,B是兩個非空的集合，如果按某一個確定的對應(yīng)關(guān)系，使對于集合A中的任意一個元素x，在集合B中都有唯一確定的元素y與之對應(yīng)，那么就稱為從集合A到集合B的一個映射。注意：定義中的關(guān)鍵詞“任意”、“唯一”；集合A中的元素可以多對一，不能一對多；集合A中的元素必有象，B中元素可以沒原象；映射與一般是不同的；聯(lián)系：函數(shù)是映射的特殊情況，映射是函數(shù)的推廣。規(guī)定：若是從A到B的映射，那么與A中元素對應(yīng)的B中的元素b叫做的象，叫做b的原象。A中元素

7、在B中必有象，且有唯一象；B中元素不一定有原象。規(guī)律：設(shè)A中有m個元素，B中有n個元素，則從A到B可以構(gòu)成nm個映射。三、函數(shù)的基本性質(zhì)1.單調(diào)性：一般地，設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)镮：增函數(shù)：如果對于定義域I內(nèi)某個區(qū)間D上的任意兩個自變量的值，當(dāng)時，都有，那么就說函數(shù)在區(qū)間D上時增函數(shù)。如果對于定義域I內(nèi)某個區(qū)間D上的任意兩個自變量的值，當(dāng)時，都有，那么就說函數(shù)在區(qū)間D上時減函數(shù)。2.判斷函數(shù)單調(diào)性的方法：圖像法；直接法；定義法。3.求函數(shù)單調(diào)性的步驟：取值；作差；判斷符號；得出結(jié)論。（注意：求單調(diào)區(qū)間時應(yīng)先求定義域。）4.復(fù)合函數(shù)單調(diào)性：同增異減。5.奇偶性：一般地，對于函數(shù)的定義域內(nèi)任意一個x，都

8、有，那么函數(shù)就叫做偶函數(shù)。一般地，如果對于函數(shù)的定義域內(nèi)任意一個x，都有，那么函數(shù)就叫做奇函數(shù)。6.復(fù)合函數(shù)奇偶性：全奇則奇，全偶則偶。7.證明函數(shù)奇偶性的步驟：求函數(shù)定義域；求的值；比較與的關(guān)系；得出結(jié)論。8.在奇函數(shù)中，或沒有意義。9.奇函數(shù)圖像關(guān)于原點(diǎn)對稱，偶函數(shù)圖像關(guān)于y軸對稱。10.奇函數(shù)在對稱區(qū)間上是有相同的單調(diào)性，相反的最值；偶函數(shù)在對稱區(qū)間上是有相反的單調(diào)性，相同的最值。11.對稱性：關(guān)于直線對稱；關(guān)于直線對稱。 關(guān)于點(diǎn)對稱；關(guān)于點(diǎn)對稱。12.周期性： 周期為T 周期為2T （為常數(shù)，且） 周期為2T13.平移規(guī)則： 左加 右減 上加 下減第二章 基本初等函數(shù)（）指數(shù)與指數(shù)冪的

9、運(yùn)算1一般地，如果，那么x叫做的次方根，其中，且2 n為奇數(shù)：的次方根有一個。記作.為負(fù)數(shù) n為偶數(shù)：負(fù)數(shù)沒有偶次方根。 n為奇數(shù)：的次方根有一個。記作.為正數(shù) n為偶數(shù)：的次方根有兩個。記作.0的次方根為0.記作=0.3根式的性質(zhì)：為奇數(shù)時， 為偶數(shù)時， 4正數(shù)的正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義：.正數(shù)的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義：.0的正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪等于0，0的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪沒有意義。5有理數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)：;.指數(shù)函數(shù)1一般地，函數(shù)y=ax（a0,且a1）叫做指數(shù)函數(shù)，其中x是自變量，函數(shù)的定義域是R。2一般地，指數(shù)函數(shù)y=ax（a0,且a1）的圖像和性質(zhì)如下表所示。0a1a1圖 像定義域R值 域（0，+）性

10、質(zhì)過定點(diǎn)（0，1），即x=0時，y=1在R上是減函數(shù)在R上是增函數(shù)當(dāng)x0時，y1當(dāng)x0時，0y1當(dāng)x0時，0y1當(dāng)x0時，y13判斷指數(shù)函數(shù)的底數(shù)大小的方法：在第一象限內(nèi)，從x軸開始，逆時針方向查找，先看到的圖像底數(shù)最小，最后看到的圖像底數(shù)最大。4注意：指數(shù)函數(shù)只能為一個自變量的形式；底數(shù)必須大于零且不等于一；冪的系數(shù)只能為一。5規(guī)定a0,且a1的原因：當(dāng)a0時，如a=-2,x=1/2時，則該式無意義；當(dāng)a=0時，0x中當(dāng)x0時，該式無意義；當(dāng)a=1時，1x=1沒有研究價值。對數(shù)與對數(shù)的運(yùn)算1 一般地，如果ax=N（a0,且a1），那么數(shù)x叫做以a為底N的對數(shù)，記作：logaN，其中a叫做對數(shù)

11、的底數(shù)，N叫做真數(shù)。2 通常我們將以10為底的對數(shù)叫做常用對數(shù)，并把log10N記為lg N.在科學(xué)技術(shù)中常使用以無理數(shù)e=2.71828為底的對數(shù)，以e為底的對數(shù)稱為自然對數(shù)，并且把logeN記為ln N.3 零和負(fù)數(shù)沒有對數(shù)。對數(shù)的性質(zhì) loga1=0 logaa=14 對數(shù)與指數(shù)間的關(guān)系：當(dāng)a0，a1時，ax=Nx= logaN5名稱辨別：式 子名 稱abc指數(shù)式ab=N底數(shù)指數(shù)冪對數(shù)式b=logaN底數(shù)對數(shù)真數(shù)5 對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)：如果a0，且a1，M0，N0，那么： loga(M·N)=logaM+logaN =logaM-logaN =n·logaM (nR) =

12、·logab =N logaaN=N logab= (c0,且c1）6 引申：logab·logbc·logcd·logde=logaelogab·logba=1logab +log=0logab =對數(shù)函數(shù)1 一般地，我們把函數(shù)y=logax（a0,且a1）叫做對數(shù)函數(shù)。其中x是自變量，函數(shù)的定義域是（0，+）。2 一般地對數(shù)函數(shù)y=logax（a0,且a1）的圖像和性質(zhì)如下表所示。0a1a1圖像定義域（0，+）值域R性質(zhì)過定點(diǎn)（1，0），即x=1時y=0在（0，+）上是減函數(shù)在（0，+）上是增函數(shù)當(dāng)0x1時，y0當(dāng)x1時，y0當(dāng)0x1時，y

13、0當(dāng)x1時，y03 補(bǔ)充：關(guān)于x軸對稱點(diǎn)（a,-b）M(a,b) 關(guān)于y軸對稱點(diǎn)（-a,b）關(guān)于原點(diǎn)對稱點(diǎn)（-a,-b）關(guān)于直線y=x對稱點(diǎn)（b,a）4 當(dāng)?shù)讛?shù)相同時，指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)互為 反函數(shù) 反函數(shù)。互為反函數(shù)的兩個函數(shù)圖像關(guān)于直線y=x對稱。冪函數(shù)1 一般地，函數(shù)y=x叫做冪函數(shù)。其中x是自變量，是常數(shù)。2 規(guī)定：=1或2或3或1/2或-13 所有冪函數(shù)在區(qū)間（0，+）上都有意義，并且函數(shù)圖像都過點(diǎn)（1，1）。冪函數(shù)y=x的性質(zhì) 若0，冪函數(shù)圖像都過點(diǎn)（0，0），（1，1），并且在區(qū)間0，+）上是增函數(shù)。 若0，冪函數(shù)在（0，+）上是減函數(shù)，當(dāng)x從右方趨向于0時，圖像在y軸右方無限逼

14、近y軸，當(dāng)x軸趨向于+時，圖像在x軸上方無限逼近x軸。4.y=xy=x2y=x3y=x-1定義域RRR0，+）（-，0）（0，+）值 域R0，+）R0，+）（-，0）（0，+）奇偶性奇函數(shù)偶函數(shù)奇函數(shù)非奇非偶函數(shù)奇函數(shù)單調(diào)性增函數(shù)（-，0減函數(shù)0，+）增函數(shù)增函數(shù)增函數(shù)減函數(shù)（-，0）（0，+）公共點(diǎn)均過點(diǎn)（1，1），且前四個圖像還均過點(diǎn)（0，0）5.圖像.y=x1 y=x2y=x3y=x-1第三章 函數(shù)與方程一、方程的根與函數(shù)的零點(diǎn)1.關(guān)于x的實(shí)系數(shù)一元二次方程，設(shè)， 方程有根的等價條件是x0；恒成立的等價條件是 ；恒成立的等價條件是 ；一根為正，一根為負(fù)的等價條件是 ；兩根為正的等價條件是

15、 ；兩根為負(fù)的等價條件是 ；一根為正，一根為零的等價條件是 ；一根為負(fù)，一根為零的等價條件是 ；兩根均大于m的等價條件是 ；兩根均小于m的等價條件是 。2.設(shè)判別式，則有：當(dāng)時，一元二次方程有兩個不等的實(shí)數(shù)根，相應(yīng)的二次函數(shù)的圖像與x軸有兩個交點(diǎn)；當(dāng)時，一元二次方程有兩個相等的實(shí)數(shù)根，相應(yīng)的二次函數(shù)的圖像與x軸有唯一的交點(diǎn)；當(dāng)時，一元二次方程沒有實(shí)數(shù)根，相應(yīng)的二次函數(shù)的圖像與x軸沒有交點(diǎn)。3.零點(diǎn)：對于函數(shù)，我們把使的實(shí)數(shù)x叫做函數(shù)的零點(diǎn)。4.方程有實(shí)數(shù)根函數(shù)的圖像與x軸有交點(diǎn)函數(shù)有零點(diǎn)。5.求函數(shù)零點(diǎn)的方法：代數(shù)法（解方程）；幾何法（圖像法）；6.求函數(shù)零點(diǎn)的步驟：令；解方程；寫出零點(diǎn)。7.一般地，我們有：如果函數(shù)在區(qū)間上的圖像是連續(xù)不斷的一條曲線，并且有，那么，函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有零點(diǎn)，即存在，使得，這個c也就是方程的根。二、用二分法求方程的近似解1.二分法：對于在區(qū)間上連續(xù)不斷且的函數(shù)，通過不斷地把函數(shù)的零點(diǎn)所在的區(qū)間一分為二，使區(qū)間的兩個端點(diǎn)逐步逼近零點(diǎn)，進(jìn)而得到零點(diǎn)近似值的方法叫做二分法。2.給定精確度，用二分法求函數(shù)零點(diǎn)近似值的步驟如下：確定區(qū)間，驗(yàn)證，給定精確度；求區(qū)間的中點(diǎn)c；計算